Dilogaritmo cuántico

En matemáticas, el dilogaritmo cuántico es una función especial definida por la fórmula

${\displaystyle \phi(x)\equiv(x;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-xq^{n}),\quad |q|<1}$

Es lo mismo que la función q -exponencial . $Estilo de visualización eq(x)$

Sean " q -variables conmutativas", es decir, elementos de un álgebra no conmutativa adecuada que satisfaga la relación de Weyl . Entonces, el dilogaritmo cuántico satisface la identidad de Schützenberger. ${\estilo de visualización u,v}$${\displaystyle uv=qvu}$

${\displaystyle \phi (u)\phi (v)=\phi (u+v),}$

La identidad de Faddeev-Volkov

${\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u+v-vu),}$

y la identidad de Faddeev-Kashaev

${\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u)\phi (-vu)\phi (v).}$

Se sabe que este último es una generalización cuántica de la identidad dilogarítmica de cinco términos de Rogers .

El dilogaritmo cuántico de Faddeev se define mediante la siguiente fórmula: $Estilo de visualización: {\displaystyle \Phi_{b}(w)}$

${\displaystyle \Phi _{b}(z)=\exp \left({\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-2izw}}{\sinh(wb )\sinh(w/b)}}{\frac {dw}{w}}\right),}$

donde el contorno de integración sigue el eje real fuera de un pequeño entorno del origen y se desvía hacia el semiplano superior cerca del origen. La misma función puede describirse mediante la fórmula integral de Woronowicz: ${\estilo de visualización C}$

${\displaystyle \Phi _{b}(x)=\exp \left({\frac {i}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\log(1+e^{tb^{2}+2\pi bx})}{1+e^{t}}}\,dt\right).}$

Ludwig Faddeev descubrió la identidad cuántica del pentágono:

${\displaystyle \Phi _{b}({\hat {p}})\Phi _{b}({\hat {q}})=\Phi _{b}({\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}+{\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}),}$

donde y son operadores de momento y posición mecánicos cuánticos autoadjuntos (normalizados) que satisfacen la relación de conmutación de Heisenberg ${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {q}}}$

${\displaystyle [{\hat {p}},{\hat {q}}]={\frac {1}{2\pi i}}}$

y la relación de inversión

${\displaystyle \Phi _{b}(x)\Phi _{b}(-x)=\Phi _{b}(0)^{2}e^{\pi ix^{2}},\quad \Phi _{b}(0)=e^{{\frac {\pi i}{24}}\left(b^{2}+b^{-2}\right)}.}$

El dilogaritmo cuántico encuentra aplicaciones en física matemática , topología cuántica y teoría del álgebra de grupos .

La relación precisa entre la q -exponencial y se expresa mediante la igualdad ${\displaystyle \Phi_{b}}$

${\displaystyle \Phi _{b}(z)={\frac {E_{e^{2\pi ib^{2}}}(-e^{\pi ib^{2}+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^{2}}}(-e^{-\pi i/b^{2}+2\pi z/b})}},}$

válido para . ${\displaystyle \operatorname {Im} b^{2}>0}$

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• Dilogaritmo cuántico en el laboratorio n