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Superposición cuántica

Superposición cuántica de estados y decoherencia La superposición cuántica es un principio fundamental de la mecánica cuántica que establece que las combinaciones lineales de so...

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Superposición cuántica de estados y decoherencia

La superposición cuántica es un principio fundamental de la mecánica cuántica que establece que las combinaciones lineales de soluciones de la ecuación de Schrödinger también son soluciones de dicha ecuación. Esto se debe a que la ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal en el tiempo y la posición. Más precisamente, el estado de un sistema viene dado por una combinación lineal de todas las autofunciones de la ecuación de Schrödinger que rigen dicho sistema.

Un ejemplo es un cúbit utilizado en el procesamiento de información cuántica . Un estado de cúbit es, en general, una superposición de los estados base.|0⟩{\displaystyle |0\rangle }y|1⟩{\displaystyle |1\rangle }:

|Ψ⟩=do0|0⟩+do1|1⟩,{\displaystyle |\Psi \rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle,}

dónde|Ψ⟩{\displaystyle |\Psi \rangle }es el estado cuántico del cúbit, y|0⟩{\displaystyle |0\rangle },|1⟩{\displaystyle |1\rangle }denotan soluciones particulares de la ecuación de Schrödinger en notación de Dirac ponderadas por las dos amplitudes de probabilidaddo0{\displaystyle c_{0}}ydo1{\displaystyle c_{1}}que ambos son números complejos. Aquí|0⟩{\displaystyle |0\rangle }corresponde al bit 0 clásico y|1⟩{\displaystyle |1\rangle }al clásico 1 bit. Las probabilidades de medir el sistema en el|0⟩{\displaystyle |0\rangle }o|1⟩{\displaystyle |1\rangle }Los estados son dados por|do0|2{\displaystyle |c_{0}|^{2}}y|do1|2{\displaystyle |c_{1}|^{2}}respectivamente (véase la regla de Born ). Antes de que se produzca la medición, el cúbit se encuentra en una superposición de ambos estados.

Las franjas de interferencia en el experimento de la doble rendija proporcionan otro ejemplo del principio de superposición.

postulado de onda

La teoría de la mecánica cuántica postula que una ecuación de onda describe completamente el estado de un sistema cuántico en todo momento. Además, esta ecuación diferencial está restringida a ser lineal y homogénea . Estas condiciones significan que para cualesquiera dos soluciones de la ecuación de onda,Ψ1{\displaystyle \Psi _{1}}yΨ2{\displaystyle \Psi _{2}}Una combinación lineal de esas soluciones también resuelve la ecuación de onda: Ψ=do1Ψ1+do2Ψ2{\displaystyle \Psi =c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}} para coeficientes complejos arbitrariosdo1{\displaystyle c_{1}}ydo2{\displaystyle c_{2}}. [ 1 ] : 61 Si la ecuación de onda tiene más de dos soluciones, las combinaciones de todas esas soluciones son nuevamente soluciones válidas.

Transformación

La ecuación de onda cuántica se puede resolver utilizando funciones de posición,Ψ(r→){\displaystyle \Psi ({\vec {r}})}o utilizando funciones de momento,Φ(pag→){\displaystyle \Phi ({\vec {p}})}y, en consecuencia, la superposición de funciones de momento también son soluciones: Φ(pag→)=d1Φ1(pag→)+d2Φ2(pag→){\displaystyle \Phi ({\vec {p}})=d_{1}\Phi _{1}({\vec {p}})+d_{2}\Phi _{2}({\vec {p}})} Las soluciones de posición y momento están relacionadas por una transformación lineal , una transformada de Fourier . Esta transformación es en sí misma una superposición cuántica, y cada función de onda de posición puede representarse como una superposición de funciones de onda de momento y viceversa. Estas superposiciones involucran un número infinito de ondas componentes. [ 1 ] : 244

Generalización a estados base

Otras transformaciones expresan una solución cuántica como una superposición de autovectores , cada uno correspondiente a un posible resultado de una medición en el sistema cuántico. Un autovectorψi{\displaystyle \psi _{i}}para un operador matemático,A^{\displaystyle {\hat {A}}}, tiene la ecuación A^ψi=λiψi{\displaystyle {\hat {A}}\psi _{i}=\lambda _{i}\psi _{i}} dóndeλi{\displaystyle \lambda _{i}}es uno de los posibles valores cuánticos medidos para el observableA{\displaystyle A}Una superposición de estos autovectores puede representar cualquier solución: Ψ=∑norteaiψi.{\displaystyle \Psi =\sum _{n}a_{i}\psi _{i}.} Los estados comoψi{\displaystyle \psi _{i}}se denominan estados base.

Notación compacta para superposiciones

Es posible realizar operaciones matemáticas importantes sobre soluciones de sistemas cuánticos utilizando únicamente los coeficientes de la superposición, omitiendo los detalles de las funciones superpuestas. Esto da lugar a sistemas cuánticos expresados ​​en la notación bra-ket de Dirac : [ 1 ] : 245|v⟩=d1|1⟩+d2|2⟩{\displaystyle |v\rangle =d_{1}|1\rangle +d_{2}|2\rangle } Este enfoque resulta especialmente eficaz para sistemas como el espín cuántico, que carece de un análogo de coordenadas clásicas. Esta notación abreviada es muy común en libros de texto y artículos sobre mecánica cuántica, y la superposición de estados base es una herramienta fundamental en este campo.

Consecuencias

Paul Dirac describió el principio de superposición de la siguiente manera:

La naturaleza no clásica del proceso de superposición se evidencia claramente al considerar la superposición de dos estados, A y B , de modo que existe una observación que, al realizarse sobre el sistema en estado A , conduce con certeza a un resultado particular, digamos a, y al realizarse sobre el sistema en estado B, conduce con certeza a un resultado diferente, digamos b . ¿Cuál será el resultado de la observación al realizarse sobre el sistema en el estado superpuesto? La respuesta es que el resultado será a veces a y a veces b , según una ley de probabilidad que depende de los pesos relativos de A y B en el proceso de superposición. Nunca será diferente de ambos, a y b [es decir, a o b ]. El carácter intermedio del estado formado por superposición se expresa, por lo tanto, a través de la probabilidad de un resultado particular para una observación, que es intermedia entre las probabilidades correspondientes para los estados originales, y no a través de que el resultado en sí mismo sea intermedio entre los resultados correspondientes para los estados originales. [ 2 ]

Anton Zeilinger , refiriéndose al ejemplo prototípico del experimento de la doble rendija , ha profundizado en la creación y destrucción de la superposición cuántica:

"[L]a superposición de amplitudes... solo es válida si no hay forma de saber, ni siquiera en principio, qué trayectoria tomó la partícula. Es importante comprender que esto no implica que un observador realmente tome nota de lo que sucede. Basta con destruir el patrón de interferencia, si la información sobre la trayectoria es accesible en principio desde el experimento o incluso si está dispersa en el entorno y más allá de cualquier posibilidad técnica de recuperación, pero en principio sigue estando 'ahí fuera'. La ausencia de dicha información es el criterio esencial para que aparezca la interferencia cuántica. [ 3 ]

Teoría

formalismo general

Cualquier estado cuántico puede expandirse como una suma o superposición de los autoestados de un operador hermitiano, como el hamiltoniano, porque los autoestados forman una base completa:

|α⟩=∑nortedonorte|norte⟩,{\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _ {n}c_ {n}|n\rangle ,}

dónde|norte⟩{\displaystyle |n\rangle }son los autoestados de energía del hamiltoniano. Para variables continuas como los autoestados de posición,|incógnita⟩{\displaystyle |x\rangle }:

|α⟩=∫dincógnita′|incógnita′⟩⟨incógnita′|α⟩,{\displaystyle |\alpha \rangle =\int dx'|x'\rangle \langle x'|\alpha \rangle ,}

dóndeϕα(incógnita)=⟨incógnita|α⟩{\displaystyle \phi _{\alpha }(x)=\langle x|\alpha \rangle }es la proyección del estado en el|incógnita⟩{\displaystyle |x\rangle }base y se denomina función de onda de la partícula. En ambos casos observamos que|α⟩{\displaystyle |\alpha \rangle }puede expandirse como una superposición de un número infinito de estados base.

Ejemplo

Dada la ecuación de Schrödinger

H^|norte⟩=minorte|norte⟩,{\displaystyle {\sombrero {H}}|n\rangle =E_ {n}|n\rangle ,}

dónde|norte⟩{\displaystyle |n\rangle }indexa el conjunto de autoestados del hamiltoniano con autovalores de energíaminorte,{\displaystyle E_{n},}inmediatamente vemos que

H^(|norte⟩+|norte′⟩)=minorte|norte⟩+minorte′|norte′⟩,{\displaystyle {\hat {H}}{\big (}|n\rangle +|n'\rangle {\big )}=E_{n}|n\rangle +E_{n'}|n'\rangle ,}

dónde

|Ψ⟩=|norte⟩+|norte′⟩{\displaystyle |\Psi \rangle =|n\rangle +|n'\rangle }

is a solution of the Schrödinger equation but is not generally an eigenstate because En{\displaystyle E_{n}} and En′{\displaystyle E_{n'}} are not generally equal. We say that |Ψ⟩{\displaystyle |\Psi \rangle } is made up of a superposition of energy eigenstates. Now consider the more concrete case of an electron that has either spin up or down. We now index the eigenstates with the spinors in the z^{\displaystyle {\hat {z}}} basis:

|Ψ⟩=c1|↑⟩+c2|↓⟩,{\displaystyle |\Psi \rangle =c_{1}|{\uparrow }\rangle +c_{2}|{\downarrow }\rangle ,}

where |↑⟩{\displaystyle |{\uparrow }\rangle } and |↓⟩{\displaystyle |{\downarrow }\rangle } denote spin-up and spin-down states respectively. As previously discussed, the magnitudes of the complex coefficients give the probability of finding the electron in either definite spin state:

P(|↑⟩)=|c1|2,{\displaystyle P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2},}
P(|↓⟩)=|c2|2,{\displaystyle P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{2}|^{2},}
Ptotal=P(|↑⟩)+P(|↓⟩)=|c1|2+|c2|2=1,{\displaystyle P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1,}

where the probability of finding the particle with either spin up or down is normalized to 1. Notice that c1{\displaystyle c_{1}} and c2{\displaystyle c_{2}} are complex numbers, so that

|Ψ⟩=35i|↑⟩+45|↓⟩.{\displaystyle |\Psi \rangle ={\frac {3}{5}}i|{\uparrow }\rangle +{\frac {4}{5}}|{\downarrow }\rangle .}

is an example of an allowed state. We now get

P(|↑⟩)=|3i5|2=925,{\displaystyle P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {3i}{5}}\right|^{2}={\frac {9}{25}},}
P(|↓⟩)=|45|2=1625,{\displaystyle P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}=\left|{\frac {4}{5}}\right|^{2}={\frac {16}{25}},}
Ptotal=P(|↑⟩)+P(|↓⟩)=925+1625=1.{\displaystyle P_{\text{total}}=P{\big (}|{\uparrow }\rangle {\big )}+P{\big (}|{\downarrow }\rangle {\big )}={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1.}

If we consider a qubit with both position and spin, the state is a superposition of all possibilities for both:

Ψ=ψ+(x)⊗|↑⟩+ψ−(x)⊗|↓⟩,{\displaystyle \Psi =\psi _{+}(x)\otimes |{\uparrow }\rangle +\psi _{-}(x)\otimes |{\downarrow }\rangle ,}

where we have a general state Ψ{\displaystyle \Psi } is the sum of the tensor products of the position space wave functions and spinors.

Experiments

Successful experiments involving superpositions of relatively large (by the standards of quantum physics) objects have been performed.

  • A berylliumion has been trapped in a superposed state.[4]
  • A double slit experiment has been performed with molecules as large as buckyballs and functionalized oligoporphyrins with up to 2000 atoms.[5][6]
  • Molecules with masses exceeding 10,000 and composed of over 810 atoms have successfully been superposed,[7] and metal clusters with masses over 170,000 Da and containing more than 7,000 atoms have also been demonstrated in quantum superposition.[8]
  • Very sensitive magnetometers have been realized using superconducting quantum interference devices (SQUIDS) that operate using quantum interference effects in superconducting circuits.
  • A piezoelectric "tuning fork" has been constructed, which can be placed into a superposition of vibrating and non-vibrating states. The resonator comprises about 10 trillion atoms.[9]
  • Recent research indicates that chlorophyll within plants appears to exploit the feature of quantum superposition to achieve greater efficiency in transporting energy, allowing pigment proteins to be spaced further apart than would otherwise be possible.[10][11]

In quantum computers

En las computadoras cuánticas , un cúbit es el análogo del bit de información clásico , pero en lugar de tener uno de dos valores distintos, los cúbits son una superposición de dos valores. [ 12 ] : 13 Controlar esta superposición de cúbits es un desafío fundamental en la computación cuántica. La superposición debe ser robusta frente a interacciones no deseadas, y sin embargo, las interacciones son necesarias para la computación con cúbits. Los sistemas de cúbits, como los espines nucleares con una pequeña fuerza de acoplamiento, son robustos frente a perturbaciones externas, pero ese mismo acoplamiento pequeño dificulta la lectura de los resultados. [ 12 ] : 278

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 Messiah, Albert (1976). Mecánica cuántica. 1 (2.ª  ed.). Ámsterdam: North-Holland. ISBN 978-0-471-59766-7.
  2. ↑ PAM Dirac (1947). Los principios de la mecánica cuántica (2.ª ed.). Clarendon Press. pág. 12.  
  3. ↑ Zeilinger A (1999). "Experimento y fundamentos de la física cuántica". Rev. Mod. Phys . 71 (2): S288– S297. Bibcode : 1999RvMPS..71..288Z . doi : 10.1103/revmodphys.71.s288 .
  4. ↑ Monroe, C.; Meekhof, DM; King, BE; Wineland, DJ (24 de mayo de 1996). "Un estado de superposición de un átomo tipo "gato de Schrödinger" . Science . 272 ​​(5265): 1131– 1136. Bibcode : 1996Sci...272.1131M . doi : 10.1126/science.272.5265.1131 . ISSN 0036-8075 . PMID 8662445 .  
  5. ↑ "Dualidad onda-partícula del C60" . 31 de marzo de 2012. Archivado del original el 31 de marzo de 2012.{{cite web}}: CS1 maint: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )
  6. ↑ Yaakov Y. Fein; Philipp Geyer; Patrick Zwick; Filip Kiałka; Sebastian Pedalino; Marcel Mayor; Stefan Gerlich; Markus Arndt (septiembre de 2019). "Superposición cuántica de moléculas más allá de 25 kDa". Nature Physics . 15 (12): 1242– 1245. Bibcode : 2019NatPh..15.1242F . doi : 10.1038/s41567-019-0663-9 . S2CID 203638258 . 
  7. ↑ Eibenberger, S., Gerlich, S., Arndt, M., Mayor, M., Tüxen, J. (2013). "Interferencia de ondas de materia con partículas seleccionadas de una biblioteca molecular con masas superiores a 10 000 uma", Physical Chemistry Chemical Physics , 15 : 14696-14700 arXiv : 1310.8343
  8. ↑ Pedalino, Sebastian; Ramírez-Galindo, Bruno E.; Ferstl, Richard; Hornberger, Klaus; Arndt, Markus; Gerlich, Stefan (22 de enero de 2026). "Explorando la mecánica cuántica con interferometría de ondas de materia de nanopartículas" . Nature . 649 (8098): 866– 870. doi : 10.1038/s41586-025-09917-9 . ISSN 0028-0836 . PMC 12823444. PMID 41566007 .   
  9. ↑ O'Connell, AD; Hofheinz, M.; Ansmann, M.; Bialczak, Radoslaw C.; Lenander, M.; Lucero, Erik; Neeley, M.; Sank, D.; Wang, H.; Weides, M.; Wenner, J.; Martinis, John M.; Cleland, AN (abril de 2010). "Estado fundamental cuántico y control de un solo fonón de un resonador mecánico" . Nature . 464 (7289): 697–703 . Bibcode : 2010Natur.464..697O . doi : 10.1038/nature08967 . ISSN 0028-0836 . PMID 20237473 .  
  10. ↑ Scholes, Gregory; Elisabetta Collini; Cathy Y. Wong; Krystyna E. Wilk; Paul MG Curmi; Paul Brumer; Gregory D. Scholes (4 de febrero de 2010). "Captación de luz coherentemente conectada en algas marinas fotosintéticas a temperatura ambiente". Nature . 463 ( 7281): 644– 647. Bibcode : 2010Natur.463..644C . doi : 10.1038/nature08811 . PMID 20130647. S2CID 4369439 .  
  11. ↑ Moyer, Michael (septiembre de 2009). "Entrelazamiento cuántico, fotosíntesis y mejores células solares" . Scientific American . Consultado el 12 de mayo de 2010 .
  12. 1 2 Nielsen, Michael A. ; Chuang, Isaac (2010). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-1-10700-217-3OCLC 43641333​​ 

Lecturas adicionales

  • Bohr, N. (1927/1928). El postulado cuántico y el desarrollo reciente de la teoría atómica, Nature Supplement 14 de abril de 1928, 121 : 580–590 .
  • Cohen-Tannoudji, C. , Diu, B., Laloë, F. (1973/1977). Mecánica cuántica , traducido del francés por S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, segunda edición, volumen 1, Wiley, Nueva York, ISBN 0471164321.
  • Einstein, A. (1949). Observaciones sobre los ensayos reunidos en este volumen cooperativo, traducido del alemán original por el editor, pp.  665–688 en Schilpp, PA editor (1949), Albert Einstein: Filósofo-Científico , volumen II , Open Court, La Salle IL.
  • Feynman, RP , Leighton, RB, Sands, M. (1965). The Feynman Lectures on Physics , volumen 3 , Addison-Wesley, Reading, MA.
  • Merzbacher, E. (1961/1970). Mecánica cuántica , segunda edición, Wiley, Nueva York.
  • Messiah, A. (1961). Mecánica cuántica , volumen 1, traducido por GM Temmer del francés Mécanique Quantique , North-Holland, Ámsterdam.
  • Wheeler, JA ; Zurek, WH (1983). Teoría cuántica y medición . Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0521632358OCLC 43641333​​ 
  • Williams, Colin P. (2011). Exploraciones en computación cuántica . Springer . ISBN 978-1-84628-887-6.
  • Yanofsky, Noson S.; Mannucci, Mirco (2013). Computación cuántica para científicos informáticos . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-87996-5.
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