Información mutua cuántica

En la teoría de la información cuántica , la información mutua cuántica (IMC) , o información mutua de von Neumann , en honor a John von Neumann , es una medida de correlación entre subsistemas de un estado cuántico . Es el análogo en mecánica cuántica de la información mutua de Shannon .

Para simplificar, se asumirá que todos los objetos del artículo son de dimensión finita.

La definición de entropía mutua cuántica está motivada por el caso clásico. Para una distribución de probabilidad de dos variables p ( x , y ), las dos distribuciones marginales son:

${\displaystyle p(x)=\sum _{y}p(x,y),\qquad p(y)=\sum _{x}p(x,y).}$

La información mutua clásica I ( X : Y ) se define por

${\displaystyle I(X:Y)=S(p(x))+S(p(y))-S(p(x,y))}$

donde S ( q ) denota la entropía de Shannon de la distribución de probabilidad q .

Se puede calcular directamente

${\displaystyle {\begin{aligned}S(p(x))+S(p(y))&=-\left(\sum _{x}p_{x}\log p(x)+\sum _{y}p_{y}\log p(y)\right)\\&=-\left(\sum _{x}\left(\sum _{y'}p(x,y')\log \sum _{y'}p(x,y')\right)+\sum _{y}\left(\sum _{x'}p(x',y)\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\left(\sum _{x,y}p(x,y)\left(\log \sum _{y'}p(x,y')+\log \sum _{x'}p(x',y)\right)\right)\\&=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x)p(y)\end{aligned}}}$

Entonces la información mutua es

${\displaystyle I(X:Y)=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}},}$

Donde el logaritmo se toma en base 2 para obtener la información mutua en bits . Pero esto es precisamente la entropía relativa entre p ( x , y ) y p ( x ) p ( y ). En otras palabras, si suponemos que las dos variables x e y no están correlacionadas, la información mutua es la discrepancia en la incertidumbre resultante de esta suposición (posiblemente errónea).

De la propiedad de entropía relativa se deduce que I ( X : Y ) ≥ 0 y la igualdad se cumple si y solo si p ( x , y ) = p ( x ) p ( y ).

La contraparte cuántica de las distribuciones de probabilidad clásicas se modela con matrices de densidad .

Consideremos un sistema cuántico que se puede dividir en dos partes, A y B, de manera que se pueden realizar mediciones independientes en cualquiera de ellas. El espacio de estados de todo el sistema cuántico es entonces el producto tensorial de los espacios de las dos partes .

${\displaystyle H_{AB}:=H_{A}\otimes H_{B}.}$

Sea ρ ^AB una matriz de densidad que actúa sobre estados en H _AB . La entropía de von Neumann de una matriz de densidad S( ρ ), es la analogía cuántica de la entropía de Shannon.

${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} \rho \log \rho .}$

Para una distribución de probabilidad p ( x , y ), las distribuciones marginales se obtienen integrando las variables x o y . La operación correspondiente para matrices de densidad es la traza parcial . Así, se puede asignar a ρ un estado en el subsistema A mediante

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho ^{AB}}$

donde Tr _B es la traza parcial con respecto al sistema B. Este es el estado reducido de ρ ^AB en el sistema A. La entropía de von Neumann reducida de ρ ^AB con respecto al sistema A es

${\displaystyle \;S(\rho ^{A}).}$

S ( ρ ^B ) se define de la misma manera.

Ahora se puede observar que la definición de información mutua cuántica, correspondiente a la definición clásica, debería ser la siguiente.

${\displaystyle \;I(A\!:\!B):=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB}).}$

La información mutua cuántica puede interpretarse de la misma manera que en el caso clásico: se puede demostrar que

${\displaystyle I(A\!:\!B)=S(\rho ^{AB}\|\rho ^{A}\otimes \rho ^{B})}$

dónde${\displaystyle S(\cdot \|\cdot )}$denota la entropía relativa cuántica . Cabe señalar que existe una generalización alternativa de la información mutua al caso cuántico. La diferencia entre ambas para un estado dado se denomina discordia cuántica , una medida de las correlaciones cuánticas del estado en cuestión.

Cuando el estado${\displaystyle \rho ^{AB}}$es puro (y por lo tanto${\displaystyle S(\rho ^{AB})=0}$), la información mutua es el doble de la entropía de entrelazamiento del estado:

${\displaystyle I(A\!:\!B)=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})=2S(\rho ^{A})}$

Sin embargo, una información mutua cuántica positiva no es necesariamente indicativa de entrelazamiento. Una mezcla clásica de estados separables siempre tendrá entrelazamiento cero, pero puede tener QMI distinto de cero, como por ejemplo:

${\displaystyle \rho ^{AB}={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I(A\!:\!B)&=S(\rho ^{A})+S(\rho ^{B})-S(\rho ^{AB})\\&=S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)+S\left({\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)\right)-S\left({\frac {1}{2}}(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)\right)\\&=\log 2+\log 2-\log 2=\log 2\end{aligned}}}$

En este caso, el estado es simplemente un estado clásicamente correlacionado .