Transformación cuántica de valores singulares

La transformación de valores singulares cuánticos es un marco para el diseño de algoritmos cuánticos . Engloba una variedad de algoritmos cuánticos para problemas que pueden resolverse con álgebra lineal , incluyendo simulación hamiltoniana , problemas de búsqueda y resolución de sistemas lineales . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Fue introducida en 2018 por András Gilyén, Yuan Su, Guang Hao Low y Nathan Wiebe, generalizando algoritmos para simulación hamiltoniana de Guang Hao Low e Isaac Chuang inspirados en el procesamiento de señales. ^{[ 4 ]}

La primitiva básica de la transformación de valores singulares cuánticos es la codificación por bloques. Un circuito cuántico es una codificación por bloques de una matriz A si implementa una matriz unitaria U tal que U contiene A en una submatriz específica. Por ejemplo, si${\displaystyle (\langle 0|\otimes I)U(|0\rangle \otimes |\phi \rangle )=A|\phi \rangle }$, entonces U es una codificación por bloques de A.

El algoritmo fundamental de QSVT es uno que convierte una codificación de bloques de A en una codificación de bloques de${\displaystyle p(A,A^{\dagger })}$, donde p es un polinomio de grado d y${\displaystyle A^{\dagger }}$denota la transpuesta conjugada , con solo d aplicaciones del circuito y un cúbit auxiliar. Esto se puede hacer para una gran clase de polinomios p que corresponden a la aplicación de un polinomio a los valores singulares de A , dando como resultado una "transformación de valores singulares".

También se puede realizar una variante de este algoritmo cuando A es hermitiana , lo que corresponde a una "transformación de valores propios". Es decir, dada una codificación por bloques de A con descomposición en valores propios de una matriz${\displaystyle A=\sum \lambda _{i}u_{i}u_{i}^{\dagger }}$, se puede obtener una codificación de bloques para${\displaystyle \sum p(\lambda _{i})u_{i}u_{i}^{\dagger }}$, siempre que p esté acotado. ^{[ 4 ]}

Entrada : Una matriz${\displaystyle A}$cuya descomposición en valores singulares es${\displaystyle A=W\Sigma V^{\dagger }}$dónde${\displaystyle \Sigma }$son los valores singulares de A

Entrada : Un polinomio${\displaystyle P}$

Salida : Una unidad donde${\displaystyle P}$se ha aplicado a los valores singulares de${\displaystyle A}$:${\displaystyle {\begin{bmatrix}WP(\Sigma )V^{\dagger }&.\\.&.\end{bmatrix}}}$

1. Prepare una unidad${\displaystyle U}$que codifica${\displaystyle A}$en la parte superior izquierda de${\displaystyle U}$, eso es${\displaystyle U={\begin{bmatrix}A&.\\.&.\end{bmatrix}}}$
2. Inicializar un${\displaystyle n}$estado del cúbit${\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}}$
3. Si el polinomio es impar, aplique${\displaystyle {\tilde {\Pi }}_{\phi _{1}}U\prod _{k=1}^{\frac {d-1}{2}}\Pi _{\phi _{2k}}U^{\dagger }{\tilde {\Pi }}_{\phi _{2k+1}}U}$a${\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}}$
4. Si el polinomio es par, se aplica${\displaystyle \prod _{k=1}^{\frac {d}{2}}\Pi _{\phi _{2k}-1}U^{\dagger }{\tilde {\Pi }}_{\phi _{2k}}U}$a${\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}}$

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• Algoritmo cuántico
• algoritmo HHL
• Aprendizaje automático cuántico
• Procesamiento digital de señales

• Implementación del algoritmo QSVT para la inversión de matrices con Classiq