Cálculo estocástico cuántico

El cálculo estocástico cuántico es una generalización del cálculo estocástico a variables no conmutativas . ^{[ 1 ]} Las herramientas proporcionadas por el cálculo estocástico cuántico son de gran utilidad para modelar la evolución aleatoria de sistemas sometidos a medición , como en las trayectorias cuánticas. ^{[ 2 ]}^{: 148} Así como la ecuación maestra de Lindblad proporciona una generalización cuántica a la ecuación de Fokker-Planck , el cálculo estocástico cuántico permite la derivación de ecuaciones diferenciales estocásticas cuánticas (EDEC) que son análogas a las ecuaciones clásicas de Langevin .

En el resto de este artículo, el cálculo estocástico se denominará cálculo estocástico clásico , con el fin de distinguirlo claramente del cálculo estocástico cuántico.

Baños calientes

Un escenario físico importante en el que se necesita un cálculo estocástico cuántico es el caso de un sistema que interactúa con un baño térmico . En muchas circunstancias, es apropiado modelar el baño térmico como un conjunto de osciladores armónicos . Un tipo de interacción entre el sistema y el baño se puede modelar (después de realizar una transformación canónica ) mediante el siguiente hamiltoniano : ^{[ 3 ]}^{: 42, 45}

H=H_{\mathrm {sys} }(\mathbf {Z} )+{\frac {1}{2}}\sum _{n}\left((p_{n}-\kappa _{n}X)^{2}+\omega _{n}^{2}q_{n}^{2}\right)\,,

dónde $H_{\mathrm {sys} }$ es el hamiltoniano del sistema, $\mathbf {Z}$ es un vector que contiene las variables del sistema correspondientes a un número finito de grados de libertad, $n$ es un índice para los diferentes modos de baño, $\omega _{n}$ es la frecuencia de un modo particular, $p_{n}$ y $q_{n}$ son operadores de baño para un modo particular, $X$ es un operador de sistema, y $\kappa _{n}$ Cuantifica el acoplamiento entre el sistema y un modo de baño particular.

En este escenario, la ecuación de movimiento para un operador de sistema arbitrario $Y$ Se denomina ecuación de Langevin cuántica y puede escribirse como: ^{[ 3 ]}^{: 46–47}

${\dot {Y}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\mathrm {sys} },Y(t)]-{\frac {i}{2\hbar }}\left[X,\left\{Y(t),\xi (t)-\int _{t_{0}}^{t}f(t-t_{0}){\dot {X}}(t^{\prime })\mathrm {d} t^{\prime }-f(t-t_{0})X(t_{0})\right\}\right]\,,$

dónde $[\cdot ,\cdot ]$ y $\{\cdot ,\cdot \}$ denotan el conmutador y el anticonmutador (respectivamente), la función de memoria $f$ se define como:

f(t)\equiv \sum _{n}\kappa _{n}^{2}\cos(\omega _{n}t)\,,

y el operador de ruido dependiente del tiempo $\xi$ se define como:

\xi (t)\equiv i\sum _{n}\kappa _{n}{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{n}}{2}}}\left(-a_{n}(t_{0})e^{-i\omega _{n}(t-t_{0})}+a_{n}^{\dagger }(t_{0})e^{i\omega _{n}(t-t_{0})}\right)\,,

donde el operador de aniquilación de baños $a_{n}$ se define como:

a_{n}\equiv {\frac {\omega _{n}q_{n}+ip_{n}}{\sqrt {2\hbar \omega _{n}}}}\,.

Con frecuencia, esta ecuación es más general de lo necesario, y se realizan aproximaciones adicionales para simplificarla.

formalismo del ruido blanco

Para muchos propósitos, es conveniente hacer aproximaciones sobre la naturaleza del baño térmico para lograr un formalismo de ruido blanco . En tal caso, la interacción puede modelarse mediante el hamiltoniano. $H=H_{\mathrm {sys} }+H_{B}+H_{\mathrm {int} }$ donde: ^{[ 4 ]}^{: 3762}

H_{B}=\hbar \int _ {-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,\omega b^{\dagger }(\omega )b(\omega )\,,

y

H_{\mathrm {int} }=i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,\kappa (\omega )\left(b^{\dagger }(\omega )cc^{\dagger }b(\omega )\right)\,,

dónde $b(\omega )$ son operadores de aniquilación para el baño con la relación de conmutación $[b(\omega ),b^{\dagger }(\omega ^{\prime })]=\delta (\omega -\omega ^{\prime })$ , $c$ es un operador en el sistema, $\kappa (\omega)$ cuantifica la fuerza del acoplamiento de los modos del baño al sistema, y $H_{\mathrm {sys} }$ describe la evolución del sistema libre. ^{[ 3 ]}^{: 148} Este modelo utiliza la aproximación de onda rotatoria y extiende el límite inferior de $\omega$ a $-\infty$ para admitir un formalismo de ruido blanco matemáticamente simple. Las intensidades de acoplamiento también se suelen simplificar a una constante en lo que a veces se denomina la primera aproximación de Markov: ^{[ 4 ]}^{: 3763}

\kappa (\omega )={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}\,.

Los sistemas acoplados a un baño de osciladores armónicos pueden considerarse como impulsados por una entrada de ruido y que irradian una salida de ruido. ^{[ 3 ]}^{: 43} El operador de ruido de entrada en el tiempo $t$ se define por: ^{[ 3 ]}^{: 150}^{[ 4 ]}^{: 3763}

b_{\mathrm {in} }(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \,e^{-i\omega (t-t_{0})}b_{0}(\omega )\,,

dónde $b_{0}(\omega )=\left.b(\omega )\right\vert _{t=t_{0}}$ , ya que este operador se expresa en la imagen de Heisenberg . Satisfacción de la relación de conmutación $[b_{\mathrm {in} }(t),b_{\mathrm {in} }^{\dagger }(t^{\prime })]=\delta (tt^{\prime })$ permite que el modelo tenga una correspondencia estricta con una ecuación maestra markoviana . ^{[ 2 ]}^{: 142}

En el contexto de ruido blanco descrito hasta ahora, la ecuación de Langevin cuántica para un operador de sistema arbitrario $a$ adopta una forma más simple: ^{[ 4 ]}^{: 3763}

Para el caso que más se corresponde con el ruido blanco clásico, la entrada al sistema se describe mediante un operador de densidad que da el siguiente valor esperado : ^{[ 3 ]}^{: 154}

Proceso de Wiener cuántico

Para definir la integración estocástica cuántica, es importante definir un proceso de Wiener cuántico : ^{[ 3 ]}^{: 155}^{[ 4 ]}^{: 3765}

B(t,t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}b_{\mathrm {in} }(t^{\prime })\mathrm {d} t^{\prime }\,.

Esta definición otorga al proceso de Wiener cuántico la relación de conmutación. $[B(t,t_{0}),B^{\dagger }(t,t_{0})]=t-t_{0}$ . La propiedad de los operadores de aniquilación del baño en ( WN2 ) implica que el proceso de Wiener cuántico tiene un valor esperado de:

\langle B^{\dagger }(t,t_{0})B(t,t_{0})\rangle _{\rho (t,t_{0})}=N(t-t_{0})\,.

Los procesos cuánticos de Wiener también se especifican de tal manera que sus distribuciones de cuasiprobabilidad sean gaussianas mediante la definición del operador de densidad:

\rho (t,t_{0})=(1-e^{-\kappa })\exp \left[-{\frac {\kappa B^{\dagger }(t,t_{0})B(t,t_{0})}{t-t_{0}}}\right]\,,

dónde $N=1/(e^{\kappa }-1)$ . ^{[ 4 ]}^{: 3765}

Integración estocástica cuántica

La evolución estocástica de los operadores del sistema también puede definirse en términos de la integración estocástica de ecuaciones dadas.

Integral de Itô cuántica

La integral de Itô cuántica de un operador de sistema $g(t)$ está dado por: ^{[ 3 ]}^{: 155}

(\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(t_{i})\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,

donde la negrita ( I ) que precede a la integral representa Itô. Una de las características de definir la integral de esta manera es que los incrementos $\mathrm {d} B$ y $\mathrm {d} B^{\dagger }$ Comuníquese con el operador del sistema.

ecuación diferencial estocástica cuántica de Itô

Para definir la QSDE de Itô , es necesario conocer algo sobre las estadísticas del baño. ^{[ 3 ]}^{: 159} En el contexto del formalismo de ruido blanco descrito anteriormente, la QSDE de Itô se puede definir como: ^{[ 3 ]}^{: 156}

(\mathbf {I} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t+\gamma \left((N+1){\mathcal {D}}[c^{\dagger }]a+N{\mathcal {D}}[c]a\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,,

donde la ecuación se ha simplificado utilizando el superoperador de Lindblad : ^{[ 2 ]}^{: 105}

{\mathcal {D}}[A]a\equiv AaA^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(A^{\dagger }Aa+aA^{\dagger }A\right)\,.

Esta ecuación diferencial se interpreta como la definición del operador del sistema. $a$ como la integral cuántica de Itô del lado derecho, y es equivalente a la ecuación de Langevin ( WN1 ). ^{[ 4 ]}^{: 3765}

Integral de Stratonovich cuántica

La integral de Stratonovich cuántica de un operador de sistema $g(t)$ está dado por: ^{[ 3 ]}^{: 157}

(\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {g(t_{i})+g(t_{i+1})}{2}}\left(B(t_{i+1},t_{0})-B(t_{i},t_{0})\right)\,,

donde la ( S ) en negrita que precede a la integral representa a Stratonovich. A diferencia de la formulación de Itô, los incrementos en la integral de Stratonovich no conmutan con el operador del sistema, y se puede demostrar que: ^{[ 3 ]}

(\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })-(\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} B(t^{\prime })g(t^{\prime })={\frac {\sqrt {\gamma }}{2}}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.

ecuación diferencial estocástica cuántica de Stratonovich

La QSDE de Stratonovich se puede definir como: ^{[ 3 ]}^{: 158}

(\mathbf {S} )\,\mathrm {d} a=-{\frac {i}{\hbar }}[a,H_{\mathrm {sys} }]\mathrm {d} t-{\frac {\gamma }{2}}\left([a,c^{\dagger }]c-c^{\dagger }[a,c]\right)\mathrm {d} t-{\sqrt {\gamma }}\left([a,c^{\dagger }]\mathrm {d} B(t)-\mathrm {d} B^{\dagger }(t)[a,c]\right)\,.

Esta ecuación diferencial se interpreta como la definición del operador del sistema. $a$ como la integral de Stratonovich cuántica del lado derecho, y tiene la misma forma que la ecuación de Langevin ( WN1 ). ^{[ 4 ]}^{: 3766–3767}

Relación entre las integrales de Itô y Stratonovich

Las dos definiciones de integrales estocásticas cuánticas se relacionan entre sí de la siguiente manera, suponiendo un baño con $N$ definido como antes: ^{[ 3 ]}

(\mathbf {S} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })=(\mathbf {I} )\int _{t_{0}}^{t}g(t^{\prime })\mathrm {d} B(t^{\prime })+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\gamma }}N\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} t^{\prime }\,[g(t^{\prime }),c(t^{\prime })]\,.

Reglas del cálculo

Al igual que con el cálculo estocástico clásico, la regla de producto apropiada se puede derivar para la integración de Itô y Stratonovich, respectivamente: ^{[ 3 ]}^{: 156, 159}

(\mathbf {I} )\,\mathrm {d} (ab)=a\,\mathrm {d} b+b\,\mathrm {d} a+\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b\,,

(\mathbf {S} )\,\mathrm {d} (ab)=a\,\mathrm {d} b+\mathrm {d} a\,b\,.

Como ocurre en el cálculo estocástico clásico, la forma de Stratonovich es la que preserva el cálculo ordinario (que en este caso no conmuta). Una peculiaridad de la generalización cuántica es la necesidad de definir tanto la integración de Itô como la de Stratonovich para demostrar que la forma de Stratonovich preserva las reglas del cálculo no conmutativo. ^{[ 3 ]}^{: 155}

trayectorias cuánticas

Las trayectorias cuánticas pueden considerarse, en general, como el camino a través del espacio de Hilbert que recorre el estado de un sistema cuántico a lo largo del tiempo. En un entorno estocástico, estas trayectorias suelen estar condicionadas a los resultados de las mediciones. La evolución markoviana no condicionada de un sistema cuántico (promediada sobre todos los posibles resultados de las mediciones) viene dada por una ecuación de Lindblad. Para describir la evolución condicionada en estos casos, es necesario desentrañar la ecuación de Lindblad eligiendo una QSDE consistente . En el caso de que el estado del sistema condicionado sea siempre puro , el desentrañamiento podría realizarse mediante una ecuación de Schrödinger estocástica (SSE). Si el estado puede volverse mixto, entonces es necesario utilizar una ecuación maestra estocástica (SME). ^{[ 2 ]}^{: 148}

Ejemplos de desenredos

Considere la siguiente ecuación maestra de Lindblad para un sistema que interactúa con un baño de vacío: ^{[ 2 ]}^{: 145}

{\dot {\rho }}={\mathcal {D}}[c]\rho -i[H_{\mathrm {sys} },\rho ]\,.

Esto describe la evolución del estado del sistema promediada sobre los resultados de cualquier medición particular que se pueda realizar en el baño. El siguiente SME describe la evolución del sistema condicionada a los resultados de una medición continua de conteo de fotones realizada en el baño:

\mathrm {d} \rho _{I}(t)=\left(\mathrm {d} N(t){\mathcal {G}}[c]-\mathrm {d} t{\mathcal {H}}[iH_{\mathrm {sys} }+{\frac {1}{2}}c^{\dagger }c]\right)\rho _{I}(t)\,,

dónde

{\begin{array}{rcl}{\mathcal {G}}[r]\rho &\equiv &{\frac {r\rho r^{\dagger }}{\operatorname {Tr} [r\rho r^{\dagger }]}}-\rho \\{\mathcal {H}}[r]\rho &\equiv &r\rho +\rho r^{\dagger }-\operatorname {Tr} [r\rho +\rho r^{\dagger }]\rho \end{array}}

son superoperadores no lineales y $N(t)$ es el fotoconteo, que indica cuántos fotones se han detectado en el tiempo $t$ y dando la siguiente probabilidad de salto: ^{[ 2 ]}^{: 152, 155}

\operatorname {E} [\mathrm {d} N(t)]=\mathrm {d} t\operatorname {Tr} [c^{\dagger }c\rho _{I}(t)]\,,

dónde $\operatorname {E} [\cdot ]$ denota el valor esperado. Otro tipo de medición que se podría realizar en el baño es la detección homodina , que da como resultado trayectorias cuánticas dadas por el siguiente SME :

\mathrm {d} \rho _{J}(t)=-i[H_{\mathrm {sys} },\rho _{J}(t)]\mathrm {d} t+\mathrm {d} t{\mathcal {D}}[c]\rho _{J}(t)+\mathrm {d} W(t){\mathcal {H}}[c]\rho _{J}(t)\,,

dónde $\mathrm {d} W(t)$ es un incremento de Wiener que satisface: ^{[ 2 ]}^{: 161}

{\begin{array}{rcl}\mathrm {d} W(t)^{2}&=&\mathrm {d} t\\\operatorname {E} [\mathrm {d} W(t)]&=&0\,.\end{array}}

Aunque estas dos PYMES parecen radicalmente diferentes, el cálculo de su evolución prevista muestra que ambas son, en efecto, desenlaces de la misma ecuación maestra de Lindlad:

\operatorname {E} [\mathrm {d} \rho _{I}(t)]=\operatorname {E} [\mathrm {d} \rho _{J}(t)]={\dot {\rho }}\mathrm {d} t\,.

Consideraciones computacionales

Una aplicación importante de las trayectorias cuánticas es la reducción de los recursos computacionales necesarios para simular una ecuación maestra. Para un espacio de Hilbert de dimensión d , la cantidad de números reales necesarios para almacenar la matriz de densidad es del orden ^ded² , y el tiempo necesario para calcular la evolución de la ecuación maestra es del orden ^ded⁴ . Almacenar el vector de estado para una SSE , por otro lado, solo requiere una cantidad de números reales del orden de d , y el tiempo para calcular la evolución de la trayectoria es solo del orden ^ded² . La evolución de la ecuación maestra se puede aproximar promediando sobre muchas trayectorias individuales simuladas usando la SSE , una técnica a veces denominada enfoque de función de onda de Monte Carlo . ^[⁵^] Aunque el número de trayectorias calculadas n debe ser muy grande para aproximar con precisión la ecuación maestra, se pueden obtener buenos resultados para recuentos de trayectorias mucho menores que d² ^. Esta técnica no solo produce un tiempo de cálculo más rápido, sino que también permite la simulación de ecuaciones maestras en máquinas que no tienen suficiente memoria para almacenar toda la matriz de densidad. ^[²^]^:¹⁵³

Referencias

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