Modelo crítico de Potts de tres estados

La CFT de Potts de tres estados , también conocida como CFT de parafermiones , es una teoría de campos conforme en dos dimensiones. Es un modelo mínimo con carga central . Se considera el modelo mínimo más simple con una función de partición no diagonal en caracteres de Virasoro , así como la CFT no trivial más simple con el álgebra W como simetría. ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$ ${\displaystyle c=4/5}$

El modelo crítico de Potts de tres estados tiene una carga central de , y por lo tanto pertenece a la familia discreta de modelos mínimos unitarios con carga central menor que uno. Estas teorías de campos conformes están completamente clasificadas y, en su mayor parte, bien comprendidas. ${\displaystyle c=4/5}$

La función de partición modular del modelo crítico de Potts de tres estados está dada por

${\displaystyle Z=|\chi _{1,1}+\chi _{4,1}|^{2}+|\chi _{2,1}+\chi _{3,1}|^{ 2}+2|\chi_{4,3}|^{2}+2|\chi_{3,3}|^{2}}$

Aquí se hace referencia al carácter Virasoro, que se obtiene al tomar la traza sobre el módulo Verma generado a partir del operador primario Virasoro etiquetado con números enteros . El etiquetado es una convención estándar para los operadores primarios de los modelos mínimos. ${\displaystyle \chi_{r,s}(q)\equiv {\textrm {Tr}}_{(r,s)}(q^{L_{0}-c/24})}$${\estilo de visualización r,s}$${\estilo de visualización (r,s)}$${\estilo de visualización c<1}$

Además, el modelo crítico de tres estados de Potts es simétrico no solo bajo el álgebra de Virasoro, sino también bajo un álgebra ampliada llamada álgebra W que incluye el álgebra de Virasoro así como algunas corrientes de espín 3. Las primarias W holomorfas locales están dadas por . Las primarias W antiholomorfas locales están dadas de manera similar por con las mismas dimensiones de escala. Cada campo en la teoría es una combinación de un campo primario de álgebra W holomorfa y antiholomorfa, o un descendiente de dicho campo generado al actuar con generadores de álgebra W. Algunas primarias del álgebra de Virasoro, como la primaria, no son primarias del álgebra W. ${\displaystyle 1,\epsilon ,\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}}$${\displaystyle 1,{\bar {\epsilon }},{\bar {\sigma }}_{1},{\bar {\sigma }}_{2},{\bar {\psi }}_{1},{\bar {\psi }}_{2}}$${\estilo de visualización (3,1)}$

La función de partición es diagonal cuando se expresa en términos de caracteres del álgebra W (donde las trazas se toman sobre representaciones irreducibles del álgebra W, en lugar de sobre representaciones irreducibles del álgebra de Virasoro). Como y , podemos escribir ${\displaystyle \chi _{1}=\chi _{1,1}+\chi _{4,1}}$${\displaystyle \chi _{\epsilon }=\chi _{2,1}+\chi _{3,1}}$

${\displaystyle Z=|\chi _{1}|^{2}+|\chi _{\epsilon }|^{2}+|\chi _{\psi _{1}}|^{2}+ |\chi _{\psi _{2}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{1}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{2}}|^ {2}}$

Los operadores se cargan bajo la acción de una simetría global. Es decir, bajo una transformación global global, toman fases y para . Las reglas de fusión que rigen las expansiones de productos de operadores que involucran estos campos respetan la acción de esta transformación. También existe una simetría de conjugación de carga que intercambia . A veces, en la literatura se utiliza la notación en lugar de . ${\displaystyle \sigma _ {1}, \sigma _ {2}, \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$${\displaystyle \sigma _{a}\to e^{2\pi ia/3}\sigma _{a}}$${\displaystyle \psi _{a}\to e^{2\pi ia/3}\psi _{a}}$${\displaystyle a=1,2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$${\displaystyle \sigma _{1}\leftrightarrow \sigma _{2},\psi _{1}\leftrightarrow \psi _{2}}$${\displaystyle \sigma ,\sigma ^{\dagger },\psi ,\psi ^{\dagger }}$${\displaystyle \sigma _ {1}, \sigma _ {2}, \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$

El modelo crítico de Potts de tres estados es una de las dos teorías de campos conformes modularmente invariantes que existen con carga central . La otra teoría de este tipo es el modelo tetracrítico de Ising, que tiene una función de partición diagonal en términos de caracteres de Virasoro. Es posible obtener el modelo crítico de Potts de tres estados a partir del modelo tetracrítico de Ising aplicando una transformación orbifold a este último. ${\displaystyle c=4/5}$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$

La teoría crítica del campo conforme de Potts de tres estados se puede realizar como la teoría efectiva de baja energía en la transición de fase del modelo de Potts cuántico unidimensional de tres estados.

El hamiltoniano del modelo cuántico de Potts de tres estados viene dado por

${\displaystyle H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))}$

Aquí y son parámetros positivos. El primer término acopla los grados de libertad en los sitios vecinos más cercanos en la red. y son matrices de reloj que satisfacen y la relación de conmutación del mismo sitio donde . ${\displaystyle J}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle X^{3}=Z^{3}=1}$${\displaystyle ZX=\omega XZ}$${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Este hamiltoniano es simétrico bajo cualquier permutación de los tres estados propios en cada sitio, siempre que se realice la misma permutación en cada sitio. Por lo tanto, se dice que tiene una simetría global. Un subgrupo de esta simetría se genera mediante el operador unitario . ${\displaystyle Z}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$

En una dimensión, el modelo tiene dos fases con huecos, la fase ordenada y la fase desordenada. La fase ordenada ocurre en y se caracteriza por un valor de expectativa de estado fundamental distinto de cero del parámetro de orden en cualquier sitio . El estado fundamental en esta fase rompe explícitamente la simetría global y, por lo tanto, es triplemente degenerado. La fase desordenada ocurre en y se caracteriza por un solo estado fundamental. Entre estas dos fases hay una transición de fase en . En este valor particular de , el hamiltoniano no tiene huecos con una energía de estado fundamental de , donde es la longitud de la cadena. En otras palabras, en el límite de una cadena infinitamente larga, los valores propios de energía más bajos del hamiltoniano están espaciados infinitesimalmente cerca uno del otro. Como es el caso de la mayoría de las teorías unidimensionales sin huecos, es posible describir la física de baja energía del modelo de Potts de 3 estados utilizando una teoría de campo conforme de 1+1 dimensiones; en este modelo reticular particular, esa teoría de campo conforme no es otra que el modelo crítico de Potts de tres estados. ${\displaystyle 0<g<1}$${\displaystyle Z_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle g}$${\displaystyle E_{0}=-({\frac {4}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }})JL}$${\displaystyle L}$

En el flujo del grupo de renormalización, los operadores de red en el modelo de Potts de tres estados cuánticos fluyen hacia campos en la teoría de campos conforme. En general, comprender qué operadores fluyen hacia qué campos es difícil y no es obvio. Los argumentos analíticos y numéricos sugieren una correspondencia entre algunos operadores de red y campos CFT de la siguiente manera. ^[3] Los índices de red se asignan a las posiciones de campo correspondientes en el espacio-tiempo, y se ignoran los prefactores de números reales no universales. ${\displaystyle j}$${\displaystyle z,{\bar {z}}}$

• ${\displaystyle Z_{j}\sim \Phi _{\sigma _{1},{\bar {\sigma }}_{1}}(z,{\bar {z}})}$, el campo -dimensional compuesto por partes holomorfas y antiholomorfas y${\displaystyle {\frac {2}{15}}}$${\displaystyle \sigma _{1}(z)}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}_{1}({\bar {z}})}$
• ${\displaystyle Z_{j}^{\dagger }\sim \Phi _{\sigma _{2},{\bar {\sigma }}_{2}}(z,{\bar {z}})}$
• ${\displaystyle Z_{j}Z_{j+1}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}(X_{j}+X_{j+1})+{\textrm {h.c.}}\sim \Phi _{\epsilon ,{\bar {\epsilon }}}(z,{\bar {z}})}$Como se puede ver en el lenguaje reticular, agregar este operador a cada sitio del hamiltoniano tiene el efecto de alejarse de 1. Este operador se llama operador térmico, porque en el análogo de la mecánica estadística clásica del modelo reticular cuántico, el ajuste sería equivalente a cambiar la temperatura alejándose de la temperatura crítica.${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle -Z_{j}Z_{j+1}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}(X_{j}+X_{j+1})+{\textrm {h.c.}}+{\frac {4}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}\sim T(z)+{\bar {T}}({\bar {z}})}$, el campo tensor de tensión-energía de dimensión 2.
• ${\displaystyle Z_{j}(2-3\omega ^{2}X_{j}-3\omega X_{j}^{2})-2Z_{j}^{\dagger }(Z_{j-1}^{\dagger }+Z_{j+1}^{\dagger })\sim \psi _{1}(z){\bar {\psi }}_{1}({\bar {z}})}$