Cuasi-derivada

En matemáticas , la cuasiderivada es una de las varias generalizaciones de la derivada de una función entre dos espacios de Banach . La cuasiderivada es una versión ligeramente más fuerte de la derivada de Gateaux , aunque más débil que la derivada de Fréchet .

Sea f  : A → F una función continua de un conjunto abierto A en un espacio de Banach E a otro espacio de Banach F . Entonces la cuasi-derivada de f en x ₀ ∈ A es una transformación lineal u  : E → F con la siguiente propiedad: para toda función continua g  : [0,1] → A con g (0)= x ₀ tal que g ′ (0) ∈ E existe,

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f(g(t))-f(x_{0})}{t}}=u(g'(0)).}$

Si existe tal aplicación lineal u , entonces se dice que f es cuasi-diferenciable en x ₀ .

No es necesario asumir la continuidad de u , sino que se deduce de la definición de la cuasiderivada. Si f es diferenciable en el sentido de Fréchet en x ₀ , entonces, por la regla de la cadena , f también es cuasi-diferenciable y su cuasi-derivada es igual a su derivada de Fréchet en x ₀ . Lo contrario es cierto siempre que E sea de dimensión finita. Finalmente, si f es cuasi-diferenciable, entonces es diferenciable en el sentido de Gateaux y su derivada de Gateaux es igual a su cuasi-derivada.

• Dieudonné, J (1969). Fundamentos del análisis moderno . Academic Press.