Función cuasiperiódica

En matemáticas , una función cuasiperiódica es una función que tiene cierta similitud con una función periódica . ^{[ 1 ]} Una función${\displaystyle f}$es cuasiperiódico con cuasiperíodo${\displaystyle \omega }$si${\displaystyle f(z+\omega )=g(z,f(z))}$, dónde${\displaystyle g}$es una función " más simple " que${\displaystyle f}$El significado de " más simple " es vago.

Un caso sencillo (a veces llamado cuasiperiódico aritmético) es cuando la función obedece la ecuación:

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+C}$

Otro caso (a veces llamado cuasiperiódico geométrico) es cuando la función obedece la ecuación:

${\displaystyle f(z+\omega )=Cf(z)}$

Un ejemplo de esto es la función theta de Jacobi , donde

${\displaystyle \vartheta (z+\tau$ ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),}

muestra que para fijo${\displaystyle \tau }$tiene cuasiperíodo${\displaystyle \tau }$; también es periódica con periodo uno. Otro ejemplo lo proporciona la función sigma de Weierstrass , que es cuasiperiódica en dos cuasiperíodos independientes, los períodos de la función ℘ de Weierstrass correspondiente . El teorema de Bloch dice que las autofunciones de una ecuación de Schrödinger periódica (u otras ecuaciones lineales periódicas) pueden encontrarse en forma cuasiperiódica, y una forma relacionada de solución cuasiperiódica para ecuaciones diferenciales lineales periódicas se expresa mediante la teoría de Floquet .

Funciones con una ecuación funcional aditiva

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+az+b\ }$

También se denominan cuasiperiódicas. Un ejemplo de esto es la función zeta de Weierstrass , donde

${\displaystyle \zeta (z+\omega ,\Lambda )=\zeta (z,\Lambda )+\eta (\omega ,\Lambda )\ }$

para un η independiente de z cuando ω es un período de la función ℘ de Weierstrass correspondiente.

En el caso especial donde${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)}$Decimos que f es periódica con periodo ω en la red periódica.${\displaystyle \Lambda }$.

Las señales cuasiperiódicas en el contexto del procesamiento de audio no son funciones cuasiperiódicas en el sentido aquí definido; más bien, poseen la naturaleza de funciones casi periódicas , por lo que conviene consultar el artículo correspondiente. La noción más vaga y general de cuasiperiodicidad tiene aún menos que ver con las funciones cuasiperiódicas en el sentido matemático.

Un ejemplo útil es la función:

${\displaystyle f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)}$

Si la razón A / B es racional , tendrá un período verdadero, pero si A / B es irracional no hay un período verdadero, sino una sucesión de períodos "casi" cada vez más precisos.

• movimiento cuasiperiódico

• Función cuasiperiódica en PlanetMath