Adaptación de fase cuasi-perfecta

La adaptación de fase cuasi-periódica es una técnica de óptica no lineal que permite un flujo neto positivo de energía desde la frecuencia de bombeo hacia las frecuencias de señal e idler mediante la creación de una estructura periódica en el medio no lineal. El momento se conserva, como es necesario para la adaptación de fase, a través de una contribución de momento adicional correspondiente al vector de onda de la estructura periódica. En consecuencia, en principio, cualquier proceso de mezcla de tres ondas que satisfaga la conservación de la energía puede adaptarse a la fase. Por ejemplo, todas las frecuencias ópticas involucradas pueden ser colineales, tener la misma polarización y viajar a través del medio en direcciones arbitrarias. Esto permite utilizar el coeficiente no lineal más grande del material en la interacción no lineal. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La cuasi-sincronización de fase garantiza un flujo de energía positivo desde la frecuencia de bombeo hacia las frecuencias de señal e idler, aunque todas las frecuencias involucradas no estén sincronizadas entre sí. La energía siempre fluirá de bombeo a señal mientras la diferencia de fase entre las dos ondas ópticas sea inferior a 180 grados. Más allá de los 180 grados, la energía fluye de vuelta desde la señal hacia la frecuencia de bombeo. La longitud de coherencia es la longitud del medio en la que la fase de bombeo y la suma de las frecuencias de idler y señal están desfasadas 180 grados. En cada longitud de coherencia, los ejes del cristal se invierten, lo que permite que la energía continúe fluyendo positivamente desde bombeo hacia las frecuencias de señal e idler.

La técnica más comúnmente utilizada para crear cristales con cuasi-sincronización de fase ha sido la polarización periódica . ^{[ 3 ]} Un material popular para esto es el niobato de litio . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Más recientemente, se logró un control de fase continuo sobre la no linealidad local utilizando metasuperficies no lineales con propiedades ópticas lineales homogéneas pero polarizabilidad no lineal efectiva espacialmente variable. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} Los campos ópticos están fuertemente confinados dentro o alrededor de las nanoestructuras, por lo que las interacciones no lineales pueden realizarse con un área ultrapequeña de hasta 10  nm a 100  nm y pueden dispersarse en todas las direcciones para producir más frecuencias. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Por lo tanto, se puede lograr una sincronización de fase relajada en la dimensión de nanoescala. ^{[ 12 ]}

En óptica no lineal, la generación de nuevas frecuencias es el resultado de la respuesta de polarización no lineal del cristal debido a una frecuencia de bombeo típicamente monocromática de alta intensidad. Cuando se invierte el eje del cristal, la onda de polarización se desplaza 180°, asegurando así un flujo de energía positivo hacia el haz de señal y el haz idler. En el caso de la generación de frecuencia suma , donde las ondas en frecuencias${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}}$se mezclan para producir${\displaystyle \omega _ {3} = \ omega _ {1} + \ omega _ {2}}$La ecuación de polarización se puede expresar mediante:

${\displaystyle P_{3}=4dA_{1}A_{2}e^{i(k_{1}+k_{2})z},}$

dónde${\displaystyle d}$es el coeficiente de susceptibilidad no lineal,${\displaystyle i}$representa la unidad imaginaria ,${\displaystyle A}$son las amplitudes de valor complejo, y${\displaystyle k=\omega /c}$es el número de onda . En esta representación vectorial del dominio de la frecuencia , el signo de la${\displaystyle d}$El coeficiente se invierte cuando se invierte el eje cristalino no lineal (anisotrópico),

${\displaystyle P_{3}=-4dA_{1}A_{2}e^{i(k_{1}+k_{2})z}=4dA_{1}A_{2}e^{i((k_{1}+k_{2})z}e^{i\pi }.}$

Calculemos la amplitud de la señal generada no linealmente en el caso de generación de segundo armónico , donde un bombeo fuerte en${\displaystyle \omega _{1}}$produce una señal de frecuencia duplicada en${\displaystyle \omega _{2}=2\omega _{1}}$, suponiendo una amplitud de bombeo constante (aproximación de bombeo no agotado).

La longitud de onda de la señal se puede expresar como una suma sobre el número de dominios que existen en el cristal. En general, la tasa de cambio espacial de la amplitud de la señal es

${\displaystyle {\frac {\partial A_{2}}{\partial z}}=A_{1}^{2}\chi e^{i\Delta kz},}$

dónde${\displaystyle A_{2}}$es la amplitud de frecuencia generada y${\displaystyle A_{1}}$es la amplitud de la frecuencia de la bomba y${\displaystyle \Delta k}$es el desajuste de fase entre las dos ondas ópticas.${\displaystyle \chi }$Se refiere a la susceptibilidad no lineal del cristal.

En el caso de un cristal polarizado periódicamente, el eje del cristal se invierte 180 grados en cada dominio alterno, lo que cambia el signo de${\displaystyle \chi }$. Para el${\displaystyle n^{th}}$dominio${\displaystyle \chi }$puede expresarse como

${\displaystyle \chi =\chi _{0}(-1)^{n}}$

dónde${\displaystyle n}$es el índice del dominio polarizado. La amplitud total de la señal${\displaystyle A_{2}}$puede expresarse como una suma

${\displaystyle A_{2}=A_{1}^{2}\chi _{0}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}\int _{\Lambda n}^{\Lambda (n+1)}e^{i\Delta kz}\partial z}$

dónde${\displaystyle \Lambda }$es el espaciado entre polos en el cristal. La ecuación anterior se integra para

${\displaystyle A_{2}=-{\frac {iA_{1}^{2}\chi _{0}}{\Delta k}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}(e^{i\Delta k\Lambda (n+1)}-e^{i\Delta k\Lambda n})}$

y se reduce a

${\displaystyle A_{2}=-iA_{1}^{2}\chi _{0}{\frac {e^{i\Delta k\Lambda }-1}{\Delta k}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}e^{i\Delta k\Lambda n}}$

La suma produce

${\displaystyle s=\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}e^{i\Delta k\Lambda n}=1-e^{i\Delta k\Lambda }+e^{i2\Delta k\Lambda }-e^{i3\Delta k\Lambda }+...+(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda (N-2)}-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda (N-1)}.}$

Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por un factor de${\displaystyle e^{i\Delta k\Lambda }}$conduce a

${\displaystyle se^{i\Delta k\Lambda }=e^{i\Delta k\Lambda }-e^{i2\Delta k\Lambda }+e^{i3\Delta k\Lambda }+...+(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda (N-1)}-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda N}.}$

Sumando ambas ecuaciones se obtiene la relación

${\displaystyle s(1+e^{i\Delta k\Lambda })=1-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda N}.}$

Resolver para${\displaystyle s}$da

${\displaystyle s={\frac {1-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda N}}{1+e^{i\Delta k\Lambda }}},}$

lo que conduce a

${\displaystyle A_{2}=-iA_{1}^{2}\chi _{0}\left({\frac {e^{i\Delta k\Lambda }-1}{\Delta k}}\right)\left({\frac {1-(-1)^{N}e^{i\Delta k\Lambda N}}{e^{i\Delta k\Lambda }+1}}\right).}$

La intensidad total de SHG se puede expresar mediante

${\displaystyle I_{2}=A_{2}A_{2}^{*}=\left|A_{1}\right|^{4}\chi _{0}^{2}\Lambda ^{2}{\mbox{sinc}}^{2}(\Delta k\Lambda /2)\left({\frac {1-(-1)^{N}\cos(\Delta k\Lambda N)}{1+\cos(\Delta k\Lambda )}}\right).}$

En el caso de${\displaystyle \Lambda ={\frac {\pi }{\Delta k}}}$La parte derecha de la ecuación anterior no está definida, por lo que el límite debe tomarse cuando${\displaystyle \Delta k\Lambda \rightarrow \pi }$invocando la regla de L'Hôpital .

${\displaystyle \lim _{\Delta k\Lambda \to \pi }{\frac {1-(-1)^{N}\cos(\Delta k\Lambda N)}{1+\cos(\Delta k\Lambda )}}=N^{2}}$

Lo que conduce a la intensidad de la señal.

${\displaystyle I_{2}={\frac {4\left|A_{1}\right|^{4}\chi _{0}^{2}L^{2}}{\pi ^{2}}}.}$

Para permitir diferentes anchos de dominio, es decir${\displaystyle \Lambda ={\frac {m\pi }{\Delta k}}}$, para${\displaystyle m=1,3,5,...}$La ecuación anterior se convierte en:

${\displaystyle I_{2}=A_{2}A_{2}^{*}=\left|A_{1}\right|^{4}\chi _{0}^{2}\Lambda ^{2}{\mbox{sinc}}^{2}(m\Delta k\Lambda /2)\left({\frac {1-(-1)^{N}\cos(m\Delta k\Lambda N)}{1+\cos(m\Delta k\Lambda )}}\right).}$

Con${\displaystyle \Lambda ={\frac {m\pi }{\Delta k}}}$la intensidad se convierte

${\displaystyle I_{2}={\frac {4\left|A_{1}\right|^{4}\chi _{0}^{2}L^{2}}{m^{2}\pi ^{2}}}.}$

Esto permite que exista una cuasi-sincronización de fases en diferentes anchos de dominio.${\displaystyle \Lambda }$Sin embargo, de esta ecuación se desprende que, a medida que aumenta el orden de coincidencia de cuasi-fase,${\displaystyle m}$aumenta, la eficiencia disminuye en${\displaystyle m^{2}}$Por ejemplo, para la adaptación de cuasi-fase de tercer orden, solo se utiliza efectivamente un tercio del cristal para la generación de la frecuencia de la señal; en consecuencia, la amplitud de la longitud de onda de la señal es solo un tercio de la amplitud que tendría un cristal de la misma longitud para la adaptación de cuasi-fase de primer orden.

El ancho del dominio se calcula mediante la ecuación de Sellmeier y utilizando relaciones de vector de onda . En el caso de DFG, esta relación se cumple.${\displaystyle \Delta k=k_{1}-k_{2}-k_{3}}$, dónde${\displaystyle k_{1},k_{2},{\mbox{and }}k_{3}}$son los vectores de onda de la bomba, la señal y el idler, y${\displaystyle k_{i}={\frac {2\pi n(\lambda _{i})}{\lambda _{i}}}}$. Calculando${\displaystyle \Delta k}$Para las diferentes frecuencias, el ancho del dominio se puede calcular a partir de la relación${\displaystyle \Lambda ={\frac {\pi }{\Delta k}}}$.

Este método permite la generación de un estado hiperentrelazado de dos fotones de alta pureza. En el acoplamiento de cuasi-fase ortogonal (OQPM), ^{[ 13 ]} una estructura cristalina de capa delgada se combina con polarización periódica a lo largo de direcciones ortogonales. Al combinar la conversión descendente periódica de fotones polarizados ortogonalmente con la polarización periódica que corrige el desajuste de fase, la estructura se autocorrige para el desfase longitudinal (retraso) a medida que ocurre y antes de que se acumule. La radiación de conversión descendente paramétrica espontánea (SPDC) superpuesta de la superred crea un estado entrelazado de dos fotones de alta pureza.