Variedad cuasiproyectiva

En matemáticas , una variedad cuasiproyectiva en geometría algebraica es un subconjunto localmente cerrado de una variedad proyectiva , es decir, la intersección dentro de algún espacio proyectivo de un subconjunto Zariski-abierto y un subconjunto Zariski-cerrado . Una definición similar se utiliza en la teoría de esquemas , donde un esquema cuasiproyectivo es un subesquema localmente cerrado de algún espacio proyectivo . ^{[ 1 ]}

Un espacio afín es un subconjunto abierto de Zariski de un espacio proyectivo , y dado que cualquier subconjunto afín cerrado${\displaystyle U}$puede expresarse como una intersección de la finalización proyectiva${\displaystyle {\bar {U}}}$Dado que el espacio afín está incrustado en el espacio proyectivo, esto implica que cualquier variedad afín es cuasiproyectiva. Existen subconjuntos localmente cerrados del espacio proyectivo que no son afines, por lo que la cuasiproyección es más general que la afinidad. El complemento de un punto en el espacio proyectivo de dimensión al menos 2 da como resultado una variedad cuasiproyectiva no afín. Este es también un ejemplo de una variedad cuasiproyectiva que no es ni afín ni proyectiva.

Dado que las variedades cuasiproyectivas generalizan tanto las variedades afines como las proyectivas, a veces se las denomina simplemente variedades . Las variedades isomorfas a las variedades algebraicas afines como variedades cuasiproyectivas (véase Morfismo de variedades algebraicas ) se denominan variedades afines ; de forma similar para las variedades proyectivas. Por ejemplo, el complemento de un punto en la recta afín, es decir,${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\}}$, es isomorfo al conjunto cero del polinomio${\displaystyle xy-1}$en el plano afín. Como un conjunto afín${\displaystyle X}$no es cerrado (cuando se supone que el cuerpo base es algebraicamente cerrado o al menos infinito) ya que cualquier subconjunto cerrado propio de${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$es finito. De manera más general, la variedad${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\setminus \{f=0\}}$, con${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, es isomorfo a la hipersuperficie en${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$dada por la ecuación${\displaystyle x_{n+1}f-1=0}$. ^{[ 2 ]} Por otro ejemplo, el complemento de cualquier cónica en el espacio proyectivo de dimensión 2 es afín. Las variedades isomorfas a subconjuntos abiertos de variedades afines se denominan cuasi-afines .

Las variedades cuasiproyectivas (al igual que su generalización, los esquemas ) son localmente afines en el mismo sentido en que una variedad es localmente euclidiana : cada punto de una variedad cuasiproyectiva tiene un entorno que es una variedad afín. Esto proporciona una base de conjuntos afines para la topología de Zariski en una variedad cuasiproyectiva.

• Variedad algebraica abstracta , a veces sinónimo de "variedad cuasiproyectiva".
• esquema divisorial , una generalización de una variedad cuasiproyectiva