Morfismo cuasi-separado

En geometría algebraica , un morfismo de esquemas f de X a Y se llama cuasi-separado si la aplicación diagonal de X a X × _Y X es cuasi-compacta (lo que significa que la imagen inversa de cualquier conjunto abierto cuasi-compacto es cuasi-compacta). Un esquema X se llama cuasi-separado si el morfismo a Spec Z es cuasi-separado. Los espacios algebraicos cuasi-separados y las pilas algebraicas y los morfismos entre ellos se definen de manera similar, aunque algunos autores incluyen la condición de que X sea cuasi-separado como parte de la definición de un espacio algebraico o pila algebraica X. Los morfismos cuasi-separados fueron introducidos por Grothendieck y Dieudonné (1964 , 1.2.1) como una generalización de los morfismos separados, que requieren que la aplicación diagonal sea una inmersión cerrada .

Todos los morfismos separados (y todos los morfismos de esquemas noetherianos ) son automáticamente cuasi-separados. Los morfismos cuasi-separados son importantes para los espacios algebraicos y las pilas algebraicas, donde muchos morfismos naturales son cuasi-separados pero no separados.

La condición de que un morfismo sea cuasi-separado suele presentarse junto con la condición de que sea cuasi-compacto.

Decimos que un espacio topológico X es cuasi-separado si la intersección de dos subconjuntos abiertos cuasi-compactos de X es cuasi-compacta. Decimos que una aplicación continua de espacios topológicos f de X a Y es cuasi-separada si la imagen inversa a lo largo de f de cada subconjunto abierto cuasi-separado de Y es cuasi-separada. Entonces, un esquema (o un morfismo de esquemas) es cuasi-separado en el sentido de la teoría de esquemas si y solo si es cuasi-separado en el sentido topológico, véase Grothendieck y Dieudonné (1964 , 1.2.6, 1.2.7) .

• Si X es un esquema localmente noetheriano, entonces cualquier morfismo de X a cualquier esquema es cuasi-separado, y en particular X es un esquema cuasi-separado.
• Cualquier esquema o morfismo separado es cuasi-separado.
• La línea con dos orígenes sobre un campo está casi separada sobre el campo, pero no separada.
• Si X es un "espacio vectorial de dimensión infinita con dos orígenes" sobre un cuerpo K, entonces el morfismo de X a spec K no es cuasi-separado. Más precisamente, X consiste en dos copias de Spec K [ x ₁ , x ₂ ,....] unidas mediante la identificación de los puntos no nulos en cada copia.
• El cociente de un espacio algebraico por un grupo discreto infinito que actúa libremente a menudo no es cuasi-separado. Por ejemplo, si K es un cuerpo de característica 0 , entonces el cociente de la recta afín por el grupo Z de los enteros es un espacio algebraico que no es cuasi-separado. Este espacio algebraico es también un ejemplo de un objeto de grupo en la categoría de espacios algebraicos que no es un esquema; los espacios algebraicos cuasi-separados que son objetos de grupo son siempre esquemas de grupo . Hay ejemplos similares dados al tomar el cociente del esquema de grupo G _m por un subgrupo infinito, o el cociente de los números complejos por un retículo .

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007/bf02684747 . SEÑOR 0173675 .