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Transformación de Lorentz de bicuaternión

En relatividad especial , una transformación de Lorentz de bicuaterniones es una formulación de la transformación de Lorentz que utiliza bicuaterniones . [ 1 ] Transformación de...

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En relatividad especial , una transformación de Lorentz de bicuaterniones es una formulación de la transformación de Lorentz que utiliza bicuaterniones . [ 1 ]

Transformación de Lorentz

En la relatividad especial , una transformación de Lorentz es una transformación lineal real de las coordenadas cartesianas del espaciotiempo .t{\displaystyle t},​​incógnita{\displaystyle x},​​y{\displaystyle y},​​z{\displaystyle z}⁠ que preserva el cuadrado del intervalo espacio-temporal del espacio-tiempo de Minkowski [ 2 ] .

do2t2−incógnita2−y2−z2{\displaystyle c^{2}\,t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Aquí,do{\displaystyle c}es la velocidad de la luz. Usando la matriz de 4 × 4η{\displaystyle \eta }del tensor métrico , esto es

incógnitaTηincógnita=[dotincógnitayz][10000−10000−10000−1][dotincógnitayz]{\displaystyle X^{\text{T}}\eta \,X={\begin{bmatrix}c\,t&x&y&z\end{bmatrix}}\;{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{bmatrix}}\;{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\\\end{bmatrix}}}

AquíincógnitaT{\displaystyle X^{\text{T}}}es la transpuesta de la matriz deincógnita{\displaystyle X}.​

Cualquier transformación de este tipo es una transformación de Lorentz. Dichas transformaciones pueden realizarse mediante diferentes formalismos. Mencionaremos primero otros dos formalismos antes de continuar con el tratamiento de las transformaciones de Lorentz de bicuaterniones.

Un formalismo o forma de implementar las transformaciones de Lorentz es dejarincógnita′=Aincógnita{\displaystyle X'=A\,X}[ 3 ] : 9 [ 4 ] [ 5 ] , dondeA{\displaystyle A}es una matriz real de 4 × 4 que hace

do2t′2−incógnita′2−y′2−z′2=do2t2−incógnita2−y2−z2{\displaystyle c^{2}\,t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}=c^{2}\,t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Aquí t es el tiempo y x, y, z son las coordenadas espaciales cartesianas . Esto es así siATηA=η{\displaystyle A^{\text{T}}\eta \,A=\eta }. [ 3 ] : 9 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

Otro formalismo o forma de realizar transformaciones de Lorentz es dejar que las coordenadas del espacio-tiempo se representen mediante una matriz hermitiana de 2 × 2 [ 9 ] : 4 [ 10 ]

incógnita=[dot+zincógnita−iyincógnita+iydot−z]{\displaystyle X={\begin{bmatrix}c\,t+z&x-i\,y\\x+i\,y&c\,tz\end{bmatrix}}}

Aquíi{\displaystyle i}es la raíz cuadrada de−1{\displaystyle -1}. El determinante deincógnita{\displaystyle X}es el intervalo espaciotemporal al cuadrado. Sea A ahora una matriz compleja de 2 × 2 con determinante 1 y seaA†{\displaystyle A^{\dagger }}sea ​​el conjugado hermitiano de A (el conjugado complejo de la transpuesta de A). Entoncesincógnita′=A†incógnitaA{\displaystyle X'=A^{\dagger }X\,A}[ 11 ] : 34 [ 9 ] : 2 [ 10 ] : 3tiene el mismo determinante queincógnita{\displaystyle X}puesto que el determinante de un producto es el producto de los determinantes y puesto que el determinante deA†{\displaystyle A^{\dagger }}es el conjugado complejo del determinante deA{\displaystyle A}, así también es 1. Por lo tantoincógnita{\displaystyle X}yincógnita′{\displaystyle X'}tienen el mismo intervalo espaciotemporal al cuadrado. Además,incógnita′{\displaystyle X'}es hermitiano ya que el conjugado hermitiano de un producto es el producto de los conjugados hermitianos en orden inverso y dado que(A†)†=A{\displaystyle (A^{\dagger })^{\dagger }=A}y puestoincógnita†=incógnita{\displaystyle X^{\dagger }=X}⁠ . Por lo tanto, se trata de una transformación de Lorentz.

Este artículo trata las transformaciones de Lorentz de bicuaterniones [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] sin reflexiones , como la inversión temporal T o la inversión espacial P. Un autor, en Otras transformaciones de Lorentz [ 16 ] : 40, 38–39 (§3.2.3), sí trata las transformaciones de Lorentz de bicuaterniones con reflexiones. Los bicuaterniones a veces se denominan cuaterniones complejos o cuaterniones complejizados o incluso simplemente cuaterniones en la literatura. Los bicuaterniones se diferencian de los cuaterniones solo en que los coeficientes de las bases ⁠{1,I,J,K}{\displaystyle \{1,\mathbf {I} ,\mathbf {J} ,\mathbf {K} \}}Los números pueden ser complejos en lugar de reales. Por lo tanto, los cuaterniones reales y los bicuaterniones, tal como los definimos, difieren únicamente en el campo algebraico.

Como se explicará, los bicuaterniones que representan estas transformaciones de Lorentz son de norma +1 y pueden representarse de forma no única mediante el subgrupo de matrices complejas de 2 × 2 con determinante +1. Existen representaciones para la base de bicuaterniones.{1,I,J,K}{\displaystyle \{1,\mathbf {I} ,\mathbf {J} ,\mathbf {K} \}}en términos de matrices complejas de 2 × 2 que tienen la misma tabla de multiplicación. La matriz identidad de 2 × 2 siempre representa 1. Como también se discutirá, para cualquier representación dada, existe una correspondencia biunívoca entre todas las matrices complejas de 2 × 2 y todos los bicuaterniones, y una correspondencia biunívoca entre los bicuaterniones de norma +1, que son aquellos que representan transformaciones de Lorentz, y las matrices complejas de 2 × 2 de determinante +1. Una correspondencia biunívoca que preserva todas las propiedades algebraicas es un isomorfismo . Un isomorfismo particular que se discutirá en detalle es1→I2×2,I→−iσincógnita,J→−iσy,K→−iσz{\displaystyle 1\rightarrow I_{2\times 2},\;\mathbf {I} \rightarrow -i\,\sigma _{x},\;\mathbf {J} \rightarrow -i\,\sigma _{y},\;\mathbf {K} \rightarrow -i\,\sigma _{z}}, dondeI2×2{\displaystyle I_{2\times 2}}es la matriz identidad de 2 × 2 ,i{\displaystyle i}es la raíz cuadrada de−1{\displaystyle -1}y​σincógnita,σy,σz{\displaystyle \sigma _{x},\,\sigma _{y},\,\sigma _{z}}son las matrices de Pauli .

Cuaterniones

Los bicuaterniones tienen la forma [ 17 ] : 447

Q=a+bI+doJ+dK{\displaystyle {\textbf {Q}}=a+b\,{\textbf {I}}+c\,{\textbf {J}}+d\,{\textbf {K}}}

para complejoa{\displaystyle a},​​b{\displaystyle b},​​do{\displaystyle c}y​​d{\displaystyle d}Aquí​a{\displaystyle a}es la parte escalar ybI+doJ+dK{\displaystyle b\,\mathbf {I} +c\,\mathbf {J} +d\,\mathbf {K} }es la parte vectorial. Son un álgebra asociativa no conmutativa unitaria con multiplicación distributiva . Los escalares conmutan con los elementos de la base.{1,I,J,K}{\displaystyle \{1{\text{,}}\,\mathbf {I} {\text{,}}\,\mathbf {J} {\text{,}}\mathbf {K} \}}. Los elementos básicosI{\displaystyle {\textbf {Yo}}},​​J{\displaystyle {\textbf {J}}}y​​K{\displaystyle {\textbf {K}}}Satisfacer​ II=JJ=KK=IJK=−1{\displaystyle {\textbf {I}}\;{\textbf {I}}={\textbf {J}}\;{\textbf {J}}={\textbf {K}}\;{\textbf {K}}={\textbf {I}}\;{\textbf {J}}\;{\textbf {K}}=-1}

A partir de estas, utilizando la asociatividad, se deduce que tenemos el siguiente conjunto de relaciones:

IJ=−JI=KJK=−KJ=IKI=−IK=J{\displaystyle {\textbf {I}}\;{\textbf {J}}=-{\textbf {J}}\;{\textbf {I}}={\textbf {K}}\quad \;{\textbf {J}}\;{\textbf {K}}=-{\textbf {K}}\;{\textbf {J}}={\textbf {I}}\quad \;{\textbf {K}}\;{\textbf {I}}=-{\textbf {I}}\;{\textbf {K}}={\textbf {J}}\quad }

Dos de estas relaciones se demuestran de la siguiente manera:

I=I(−IJK)=(−II)(JK)=JK{\displaystyle \mathbf {I} \,=\,\mathbf {I} (-\mathbf {I} \,\mathbf {J} \,\mathbf {K} )\,=\,(-\mathbf {I} \,\mathbf {I} )\,(\mathbf {J} \,\mathbf {K} )\,=\,\mathbf {J} \,\mathbf {K} }

y

KJ=(−IJK)(KJ)=(−I)(J(KK)J)=−I{\displaystyle \mathbf {K} \,\mathbf {J} \,=\,(-\mathbf {I} \,\mathbf {J} \,\mathbf {K} )\,(\mathbf {K} \,\mathbf {J} \,)\,=\,(-\mathbf {I} )\,(\mathbf {J} \,(\mathbf {K} \,\mathbf {K} )\,\mathbf {J} )\,=\,-\mathbf {I} }

prueba

JK=−KJ=I{\displaystyle \mathbf {J} \,\mathbf {K} \,=-\mathbf {K} \,\mathbf {J} \,=\,\mathbf {I} }

Las demás relaciones se demuestran de manera similar. Nótese que estas relaciones son las mismas siI,J, y K{\displaystyle \mathbf {I} {\text{,}}\,\mathbf {J} {\text{, and }}\mathbf {K} }se permutan cíclicamente. La permutación cíclica se demuestra observando, por ejemplo, que

IJK=(I)(JK)=(JK)(I)=JKI{\displaystyle \mathbf {I} \,\mathbf {J} \,\mathbf {K} \,=\,(\mathbf {I} )\,(\mathbf {J} \,\mathbf {K} )\,=\,(\mathbf {J} \,\mathbf {K} )\,(\mathbf {I} )\,=\,\mathbf {J} \,\mathbf {K} \,\mathbf {I} }

Los cuaterniones reales se pueden usar para hacer rotaciones espaciales, [ 18 ] pero no para hacer transformaciones de Lorentz con transformaciones de Lorentz, que son transformaciones de un marco de referencia inercial a otro en movimiento relativo uniforme. Pero sia{\displaystyle a},​​b{\displaystyle b},​​do{\displaystyle c}y​​d{\displaystyle d}Se permite que sean complejos, pueden serlo. [ 1 ] : 158–162 [ 19 ]

Perspectiva histórica

Los cuaterniones fueron descubiertos en 1843 por William Rowan Hamilton [ 20 ] . Durante mucho tiempo buscó una generalización tridimensional de los números complejos , que pudiera representar rotaciones en el espacio tridimensional como lo hacen los números complejos en el plano complejo . La dificultad radicaba en que dicha generalización solo es posible en cuatro dimensiones. Durante muchos años, los cuaterniones se utilizaron ampliamente en muchos campos, pero a finales del siglo XIX fueron reemplazados por el cálculo vectorial desarrollado por Gibbs y Heaviside [ 21 ] . Tanto el producto escalar como el producto vectorial tienen su origen en los cuaterniones, al separar las partes escalar y vectorial del producto de dos cuaterniones vectoriales [ 22 ] . Los cuaterniones vectoriales y los bicuaterniones vectoriales tienen partes escalares nulas. La parte escalar de dicho producto es el negativo del producto escalar y la parte vectorial es el producto vectorial [ 23 ] . Los cuaterniones, originalmente sobre los números reales, fueron extendidos sobre los números complejos por el propio Hamilton, llamándolos bicuaterniones [ 24 ] . En la relatividad especial pueden representar transformaciones de Lorentz [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] así como rotaciones espaciales.

Voight [ 29 ] (Capítulo 1) documenta cómo los cuaterniones condujeron a avances en álgebra, geometría, teoría de números y otros campos. Señala en la conclusión del capítulo 1 que "...los cuaterniones producen expresiones elegantes para las transformaciones de Lorentz, la base de la teoría moderna de la relatividad" y señala que los cuaterniones se utilizan en gráficos por computadora y control de actitud. Y Girard [ 30 ] señala que "Desde los inicios de la relatividad especial, los cuaterniones complejos se han utilizado para formular esa teoría", haciendo referencia al libro de L. Silberstein de 1914, en el que se discuten varias formas de realizar transformaciones de Lorentz [ 31 ] .

La relatividad general requiere otras herramientas, como el cálculo tensorial o las formas diferenciales [ 32 ] . Las transformaciones de Lorentz en la relatividad especial son transformaciones de coordenadas cartesianas entre sistemas de referencia inerciales que preservan el intervalo espaciotemporal al cuadrado . En la relatividad general se utilizan coordenadas y transformaciones de coordenadas más generales. Esto se debe a que el espaciotiempo está curvado de acuerdo con las ecuaciones de campo de Einstein, que están determinadas por la distribución de masa-energía, de modo que las coordenadas solo pueden elegirse localmente para que el tensor métrico esté cerca degramoμν=diagnóstico(−1,1,1,1){\displaystyle g_{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,1,1,1)}[ 33 ] . Diferentes sistemas de coordenadas son útiles. Por ejemplo, para lageometría de Schwarzschildexisten las coordenadas estándar de Schwarzschild, las coordenadas isotrópicas, las coordenadas de Eddington-Finkelstein y las coordenadas de Kruskal-Szekeres [ 34 ] .

Las ecuaciones de campo de Einstein en la relatividad general se pueden obtener de muchas maneras diferentes, como mediante el cálculo tensorial, mediante el cálculo de variaciones con un lagrangiano [ 35 ] o mediante formas diferenciales [ 36 ] , que se pueden usar para derivar las 2-formas bivectoriales de Riemann (también conocidas como tensores) y que también pueden tratar marcos móviles. La relatividad general también se puede presentar utilizando el álgebra de Clifford.H⊗H{\displaystyle \mathbb {H} \otimes \mathbb {H} }encimaR{\displaystyle \mathbb {R} }[ 37 ] , dondeH{\displaystyle \mathbb {H} }son los cuaterniones,R{\displaystyle \mathbb {R} }es lo real, yH⊗H{\displaystyle \mathbb {H} \otimes \mathbb {H} }es un producto tensorial. Ese enfoque es el más cercano a lo que se presenta aquí. Las álgebras de Clifford pueden representar muchos sistemas matemáticos en física [ 38 ] . Por ejemplo, los números complejos son un álgebra de Clifford con un generador.mi0=i{\displaystyle \mathbf {e} _{0}=i}conmi02=−1{\displaystyle \mathbf {e} _{0}^{2}=-1}y los cuaterniones reales son un álgebra de Clifford con dos generadoresmi0=J, mi1=K{\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {J} {\text{, }}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {K} }, de modo quemi02=−1, mi12=−1, mi0mi1=−mi1mi0{\displaystyle \mathbf {e} _{0}^{2}=-1{\text{, }}\mathbf {e} _{1}^{2}=-1{\text{, }}\mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{0}}. El elemento baseI{\displaystyle \mathbf {I} }se genera a partir de los dos generadores comoI=mi0mi1{\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{1}}

bicuaterniones de Minkowski

Utilizamos un bicuaternión que representat{\displaystyle t},​​incógnita{\displaystyle x},​​y{\displaystyle y},​​z{\displaystyle z}que fue utilizado por PAM Dirac, [ 39 ] : 4 que tiene la forma: [ 9 ] : 4

incógnita=dot+iincógnitaI+iyJ+izK{\displaystyle {\textbf {X}}=c\,t+i\,x\,{\textbf {I}}+i\,y\,{\textbf {J}}\,+i\,z\,{\textbf {K}}}

Aquí,i{\displaystyle i}es la raíz cuadrada de −1 y la velocidad de la luzdo=1{\displaystyle c=1}De ahora en adelante, lo llamaremos bicuaternión de Minkowski. Girard [ 40 ] se refiere a estos como cuaterniones minkowskianos o minquats.

La razón de esta definición es que su norma es el intervalo espaciotemporal al cuadrado .t2−incógnita2−y2−z2{\displaystyle t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}⁠ . La norma se define como [ 41 ]

norte(a+bI+doJ+dK)=a2+b2+do2+d2{\displaystyle \mathbf {N} (a+b\,\mathbf {I} +c\,\mathbf {J} +d\,\mathbf {K} )=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}

y tiene la importante propiedad de que la norma de un producto es el producto de las normas, lo que hace que los bicuaterniones sean un álgebra de composición . [ 42 ] Un cuaternión real distinto de cero siempre tiene norma real positiva, pero un cuaternión complejo distinto de cero puede tener una norma con cualquier valor complejo, incluido el cero.

Un bicuaterniónQ=a+bI+doJ+dK{\displaystyle {\textbf {Q}}=a+b\,{\textbf {I}}+c\,{\textbf {J}}\,+d\,{\textbf {K}}}con complejoa{\displaystyle a},​​b{\displaystyle b},​​do{\displaystyle c},​​d{\displaystyle d}Tiene dos tipos de conjugados:

  • El biconjugado es

Q∗=a−bI−bJ−dK{\displaystyle Q^{*}=a-b\mathbf {I} -b\mathbf {J} -d\mathbf {K} }

Q¯=a¯+b¯I+do¯J+d¯K{\displaystyle {\bar {Q}}={\bar {a}}+{\bar {b}}\mathbf {I} +{\bar {c}}\mathbf {J} +{\bar {d}}\mathbf {K} }

La barra superior¯{\displaystyle {\bar {}}}denota conjugación compleja. El biconjugado de un producto es el producto de los biconjugados en orden inverso [ 1 ] . Nótese que un bicuaternión y su biconjugado tienen la misma norma, de modo quenorte(Q∗)=norte(Q){\displaystyle N(\mathbf {Q} ^{*})=N(\mathbf {Q} )}y que la norma del conjugado complejo de un bicuaternión es el conjugado complejo de su norma, de modo quenorte(Q¯)=norte(Q)¯{\displaystyle N({\overline {\mathbf {Q} }})={\overline {N(\mathbf {Q} )}}}. Las operaciones denotadas por el superíndice de asterisco y por la barra superior se definen como en el artículo Biquaternion .

Para un bicuaternión de Minkowski

incógnita¯∗=incógnita{\displaystyle {\overline {\mathbf {X} }}^{*}=\mathbf {X} }

Como se puede observar en la definición, esta es una condición necesaria y suficiente para un bicuaternión.incógnita{\displaystyle \mathbf {X} }ser un bicuaternión de Minkowski.

También se necesita la identidad.

incógnitaincógnita∗=incógnitaincógnita¯=t2−incógnita2−y2−z2{\displaystyle \mathbf {X} \,\mathbf {X} ^{*}=\mathbf {X} \,{\overline {\mathbf {X} }}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Formas de transformación de Lorentz de bicuaternión

Forma general

DejarQ{\displaystyle \mathbf {Q} }sea ​​un bicuaternión de norma uno y deje queincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }sea ​​un bicuaternión de Minkowski. Entonces [ 9 ] : 4

incógnita′=Q¯∗incógnitaQ=(Q¯∗incógnitaQ¯)∗{\displaystyle \mathbf {X} '={\overline {\mathbf {Q} }}^{*}\,{\textbf {X}}\,{\textbf {Q}}={{\overline {({\overline {\mathbf {Q} }}^{*}\,{\textbf {X}}\,{\textbf {Q}}}})}^{*}}

Al reemplazarQ{\displaystyle \mathbf {Q} }porQ¯∗{\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} }}^{*}}, esto también podría escribirse como

incógnita′=QincógnitaQ¯∗=(QincógnitaQ¯∗¯)∗{\displaystyle \mathbf {X} '=\mathbf {Q} \,{\textbf {X}}\,{\overline {\textbf {Q}}}^{*}={{\overline {(\mathbf {Q} \,{\textbf {X}}\,{\overline {\textbf {Q}}}^{*}}})}^{*}}

Debido a las segundas igualdades en estas dos ecuaciones equivalentes,incógnita′{\displaystyle \mathbf {X} '}es un bicuaternión de Minkowski. Y siQ{\displaystyle \mathbf {Q} }tiene norma 1, entonces la norma deincógnita′{\displaystyle \mathbf {X} '}es igual a la norma deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }⁠ . Esto es así desdenorte(incógnita′)=|norte(Q)|2norte(incógnita){\displaystyle N(\mathbf {X} ')\,=\,|N(\mathbf {Q} )|^{2}\,N(X)}. Se trata entonces de una transformación lineal de un bicuaternión de Minkowski en otro bicuaternión de Minkowski que tiene el mismo intervalo espaciotemporal al cuadrado. Por lo tanto, es una transformación de Lorentz. Como se mencionó anteriormente, existen otras transformaciones de Lorentz que no son transformaciones de Lorentz ortócronas propiamente dichas. Como se discute en Girard [ 43 ] : 40–41 (§3.2.3), estas son

incógnita′=−QincógnitaQ¯∗incógnita′=+Qincógnita∗Q¯∗incógnita′=−Qincógnita∗Q¯∗{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} '&=-\,\mathbf {Q} \,{\textbf {X}}\,{\overline {\textbf {Q}}}^{*}\\\mathbf {X} '&=+\,\mathbf {Q} \,{\textbf {X}}^{*}\,{\overline {\textbf {Q}}}^{*}\\\mathbf {X} '&=-\,\mathbf {Q} \,{\textbf {X}}^{*}\,{\overline {\textbf {Q}}}^{*}\end{aligned}}}

Girard utiliza una notación diferente, como un subíndice.do{\displaystyle _{c}}para el biconjugado y un asterisco en superíndice∗{\displaystyle ^{*}}para el conjugado complejo. En estas variantes,incógnita′{\displaystyle \mathbf {X} '}es un bicuaternión de Minkowski siincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }es ynorte(incógnita′)=norte(incógnita){\displaystyle N(\mathbf {X} ')=N(\mathbf {X} )}de modo que el cuadrado del intervalo espacio-temporal permanezca inalterado. SiQ=1{\displaystyle \mathbf {Q} =1}, entonces estas variantes representan una combinación de P y T, P y T, respectivamente, donde P es paridad o inversión deincógnita,y,z{\displaystyle x,y,z}y T es la inversión del tiempo.

Rotación espacial de bicuaterniones y formas de Lorentz boost

Dejarnorte{\displaystyle \mathbf {n} }ser la dirección real bicuaternión norte=norte1I+norte2J+norte3K de tal manera que norte12+norte32+norte32=1{\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}\,\mathbf {I} +n_{2}\,\mathbf {J} +n_{3}\,\mathbf {K} \;{\text{ such that }}\,n_{1}^{2}+n_{3}^{2}+n_{3}^{2}=1}

Las rotaciones espaciales están representadas por [ 44 ] : 6

R=exp⁡(−θ2norte)=porque⁡(θ2)−nortepecado⁡(θ2){\displaystyle \mathbf {R} =\exp(-{\tfrac {\theta }{2}}\,\mathbf {n} )=\cos({\tfrac {\theta }{2}})-\mathbf {n} \,\sin({\tfrac {\theta }{2}})}

R{\displaystyle \mathbf {R} }Tiene norma 1 y, por lo tanto, representa una transformación de Lorentz. No cambia la parte escalar, por lo que debe ser una rotación.

Una rotación por un ángulo deθ{\displaystyle \theta }La coordenada respecto al eje z viene dada por:

exp⁡(θ2K)(t+iincógnitaI+iyJ+izK)exp⁡(−θ2K)=t+i(incógnitaporque⁡θ−ypecado⁡θ)I+i(incógnitapecado⁡θ+yporque⁡θ)J+izK{\displaystyle {\begin{aligned}&\exp({\tfrac {\theta }{2}}\,\mathbf {K} )\,(t+\,i\,x\,\mathbf {I} \,+\,i\,y\,\,\mathbf {J} \,+\,i\,z\,\,\mathbf {K} )\,\exp(-{\tfrac {\theta }{2}}\,\mathbf {K} )\,\\&=\,t+\,i\,(x\,\cos \theta \,-\,y\,\sin \theta )\,\mathbf {I} \,+\,i\,(x\,\sin \theta \,+\,y\,\cos \theta )\,\mathbf {J} \,+\,i\,z\,\,\mathbf {K} \end{aligned}}}

Esta es la transformación de coordenadas [ 45 ] : 375

t′=tincógnita′=incógnitaporque⁡(θ)−ypecado⁡(θ)y′=incógnitapecado⁡(θ)+yporque⁡(θ)z′=z{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x\,\cos(\theta )-y\,\sin(\theta )\\y'&=x\,\sin(\theta )+y\,\cos(\theta )\\z'&=z\\\end{aligned}}}

Los impulsos están representados por [ 44 ] : 10

B=exp⁡(−iα2norte)=aporrear⁡(α2)−inortesinh⁡(α2){\displaystyle \mathbf {B} =\exp(-i\,{\tfrac {\alpha }{2}}\,\mathbf {n} )=\cosh({\tfrac {\alpha }{2}})-i\,\mathbf {n} \,\sinh({\tfrac {\alpha }{2}})}

B{\displaystyle \mathbf {B} }también tiene norma 1 y, por lo tanto, también representa una transformación de Lorentz. No cambia la parte vectorial normal anorte{\displaystyle \mathbf {n} }y por lo tanto debe ser un Lorentz boost. Además, aparte de tener norma uno, un Lorentz boost es un biquaternión de Minkowski ya que no se modifica pori→−i,I→−I,J→−J,K→−K{\displaystyle i\rightarrow -i{\text{,}}\,I\rightarrow -I{\text{,}}\,J\rightarrow -J{\text{,}}K\rightarrow -K}, que da el conjugado complejo del biconjugado. El biconjugado denorte{\displaystyle \mathbf {n} }es−norte{\displaystyle -\mathbf {n} }.

Un impulso en la dirección x viene dado por:

exp⁡(−iα2I)(t+iincógnitaI+iyJ+izK)exp⁡(−iα2I)=(taporrear⁡α−incógnitasinh⁡α)+i(incógnitaaporrear⁡α−tsinh⁡α)I+iyJ+izK{\displaystyle {\begin{aligned}&\exp(-i\,{\tfrac {\alpha }{2}}\,\mathbf {I} )\,(t+\,i\,x\,\mathbf {I} \,+\,i\,y\,\,\mathbf {J} \,+\,i\,z\,\,\mathbf {K} )\,\exp(-i\,{\tfrac {\alpha }{2}}\,\mathbf {I} )\,\\&=\,(t\,\cosh \alpha \,-\,x\,\sinh \alpha )\,+\,i\,(x\,\cosh \alpha \,-\,t\,\sinh \alpha )\,\mathbf {I} \,+\,i\,y\,\mathbf {J} \,+\,i\,z\,\mathbf {K} \end{aligned}}}

Esto representa la transformación de coordenadas: [ 45 ]

t′=aporrear⁡(α)t−sinh⁡(α)incógnitaincógnita′=aporrear⁡(α)incógnita−sinh⁡(α)ty′=yz′=z{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\cosh(\alpha )\,t-\sinh(\alpha )\,x\\x'&=\cosh(\alpha )\,x-\sinh(\alpha )\,t\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}

Expresar las exponenciales como funciones trigonométricas circulares o hiperbólicas es básicamente la fórmula de De Moivre .

Como lo discute Girard [ 46 ] , cualquier transformación de Lorentz ortócrona propia (sin inversión de tiempo o espacio) puede escribirse como el producto de una transformación de Lorentz pura y una rotación espacial pura en cualquier orden. Por ejemplo, dada una transformación de Lorentz de bicuaterniónQ{\displaystyle {\textbf {Q}}}, puede escribirse como el productoQ=BR{\displaystyle \mathbf {Q} \,=\,\mathbf {B} \mathbf {R} }, dóndeB{\displaystyle \mathbf {B} }es un refuerzo de Lorentz yR{\displaystyle \mathbf {R} }es una rotación al observar queQQ¯∗=BRR¯∗B¯∗=B(RR−1)B=B2{\displaystyle \mathbf {Q} \,{\bar {\mathbf {Q} }}^{*}\,=\,\mathbf {B} \,\mathbf {R} {\bar {\mathbf {R} }}^{*}\,{\bar {\mathbf {B} }}^{*}\,=\,\mathbf {B} \,(\mathbf {R} \,\mathbf {R} ^{-1})\,\mathbf {B} \,=\mathbf {B} ^{2}}. Tenga en cuenta que desdeQQ¯∗=(QQ¯∗)¯∗{\displaystyle \mathbf {Q} \,{\bar {\mathbf {Q} }}^{*}\,=\,{\overline {(\mathbf {Q} \,{\bar {\mathbf {Q} }}^{*})}}^{*}}, esoB2{\displaystyle \mathbf {B} ^{2}}es un bicuaternión de Minkowski y dado que las normas deQ{\displaystyle \mathbf {Q} }y Q¯∗{\displaystyle {\bar {\mathbf {Q} }}^{*}}son ambos uno y puesto que la norma de un producto es el producto de las normas, entoncesQQ¯∗{\displaystyle \mathbf {Q} \,{\bar {\mathbf {Q} }}^{*}}tiene norma uno. Por lo tantoB2{\displaystyle \mathbf {B} ^{2}}tiene las propiedades requeridas para un impulso de Lorentz puro ya que es un bicuaternión de Minkowski de norma uno. La raíz cuadrada deB2{\displaystyle \mathbf {B} ^{2}}puede calcularse como se discute en Girard [ 47 ] . Alternativamente, dado queB2=aporrear⁡(α)−inortesinh⁡(α){\displaystyle \mathbf {B} ^{2}\,=\,\cosh(\alpha )\,-\,i\,\mathbf {n} \,\sinh(\alpha )}, entoncesα{\displaystyle \alpha }puede determinarse a partir de la parte escalar ynorte{\displaystyle \mathbf {n} }luego determinado a partir de la parte vectorial. Esto daB=aporrear⁡(α2)−inortesinh⁡(α2){\displaystyle \mathbf {B} \,=\,\cosh({\frac {\alpha }{2}})\,-\,i\,\mathbf {n} \,\sinh({\frac {\alpha }{2}})}. EntoncesR=B−1Q{\displaystyle \mathbf {R} \,=\,\mathbf {B} ^{-1}\,\mathbf {Q} }.

Esta descomposición muestra, por ejemplo, que aunque el producto de dos transformaciones de Lorentz en direcciones diferentes no es una transformación de Lorentz pura, puede expresarse como una rotación seguida de una transformación pura.Q{\displaystyle \mathbf {Q} }es el producto de dos aumentos de Lorentz, dicenB2B1{\displaystyle \mathbf {B} _{2}\,\mathbf {B} _{1}}, entonces estoR{\displaystyle \mathbf {R} }es producto de tres impulsos de Lorentz, a saber:B3B2B1{\displaystyle \mathbf {B} _{3}\,\mathbf {B} _{2}\,\mathbf {B} _{1}}dóndeB3=B−1{\displaystyle \mathbf {B} _{3}=\mathbf {B} ^{-1}}yB{\displaystyle \mathbf {B} }es de laBR{\displaystyle \mathbf {B} \,\mathbf {R} }descomposición deB2B1{\displaystyle \mathbf {B} _{2}\,\mathbf {B} _{1}}.

En general, es cierto que una rotación puede expresarse como un producto de transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, siB1{\displaystyle \mathbf {B} _{1}}es un impulso de Lorentz en la dirección +X yB2{\displaystyle \mathbf {B} _{2}}es un impulso de Lorentz de la misma magnitud pero en la dirección +Y, entoncesR{\displaystyle \mathbf {R} }en elBR{\displaystyle \mathbf {B} \,\mathbf {R} }La descomposición es una rotación alrededor del eje Z. Cambiar el orden de los dos impulsos da como resultadoR{\displaystyle \mathbf {R} }siendo una rotación alrededor del eje Z con la misma magnitud pero en sentido opuesto. Aumentar la magnitud de los dos impulsos de Lorentz aumenta la magnitud de la rotación. Cualquier rotación de una magnitud menor a 90° puede lograrse de esta manera, pero aplicando repetidamente los tres impulsos de Lorentz que danR{\displaystyle \mathbf {R} }, se pueden lograr rotaciones mayores. Además, al realizar impulsos de Lorentz sucesivosB1,B2,B3{\displaystyle \mathbf {B} _{1}{\text{,}}\,\mathbf {B} _{2}{\text{,}}\,\mathbf {B} _{3}}en las direcciones +X +Y -X o -X +Y +X, respectivamente, y luego dejandoB4=B−1{\displaystyle \mathbf {B} _{4}=\mathbf {B} ^{-1}}dóndeB{\displaystyle \mathbf {B} }es de laBR{\displaystyle \mathbf {B} \,\mathbf {R} }descomposición deB3B2B1{\displaystyle \mathbf {B} _{3}\mathbf {B} _{2}\mathbf {B} _{1}}entoncesB4B3B2B1{\displaystyle \mathbf {B} _{4}\mathbf {B} _{3}\mathbf {B} _{2}\mathbf {B} _{1}}es la rotaciónR{\displaystyle \mathbf {R} }alrededor del eje Z cuyo ángulo puede hacerse cualquier magnitud menor a 180° eligiendo la magnitud común de los impulsos de Lorentz.B1,B2,B3{\displaystyle \mathbf {B} _{1}{\text{,}}\,\mathbf {B} _{2}{\text{,}}\,\mathbf {B} _{3}}.

matrices de 2 × 2

Mediante una simple identificación, demostramos que las transformaciones de Lorentz que utilizan bicuaterniones son equivalentes a las transformaciones de Lorentz que utilizan matrices de 2 × 2. Los bicuaterniones presentan la ventaja de ser más transparentes y más fáciles de manejar.

Los elementos base del bicuaternión1,I,J,K{\displaystyle 1,\,\mathbf {I} ,\,\mathbf {J} ,\,\mathbf {K} }se pueden representar como matrices de 2 × 212incógnita2,−iσincógnita,−iσy,−iσz{\displaystyle 1_{2x2},\,-i\,\sigma _{x},\,-i\,\sigma _{y},\,-i\,\sigma _{z}}, respectivamente. [ 17 ] : 426 Aquí elσi{\displaystyle \sigma _{i}}son las matrices de espín de Pauli de 2 × 2 y12incógnita2{\displaystyle 1_{2x2}}es la matriz identidad de 2x2. Estas tienen la misma tabla de multiplicar. Esta representación no es única. Por ejemplo, sin cambiar la tabla de multiplicar, el signo de cualquier par puede invertirse, o elσi{\displaystyle \sigma _{i}}se puede permutar cíclicamente, o se puede realizar una transformación de similitud de modo que laσi{\displaystyle \sigma _{i}}son reemplazados porS−1σiS{\displaystyle S^{-1}\,\sigma _{i}\,S}⁠ . Por ejemplo, Girard [ 48 ] representa{I,J,K}{\displaystyle \{\mathbf {I} {\text{,}}\,\mathbf {J} {\text{,}}\,\mathbf {K} \}}como{−iσincógnita,+iσy,+iσz}{\displaystyle \{-i\,\sigma _{x}{\text{,}}\,+i\,\sigma _{y}{\text{,}}\,+i\,\sigma _{z}\}}. Él utiliza una notación diferente: {i,j,k}{\displaystyle \{\mathbf {i} {\text{,}}\,\mathbf {j} {\text{,}}\,\mathbf {k} \}}en lugar de {I,J,K}{\displaystyle \{\mathbf {I} {\text{,}}\,\mathbf {J} {\text{,}}\,\mathbf {K} \}}como las bases de la parte vectorial yi′{\displaystyle i'}en lugar dei{\displaystyle i}como la raíz cuadrada de−1{\displaystyle -1}Además, lo que él llama "cuaterniones complejos" es lo que nosotros llamamos "bicuaterniones" en este artículo.

Todo lo que sigue es por simple reemplazo deI,J,K{\displaystyle \mathbf {I} ,\,\mathbf {J} ,\,\mathbf {K} }por−iσincógnita,−iσy,−iσz{\displaystyle -i\,\sigma _{x},\,-i\,\sigma _{y},\,-i\,\sigma _{z}}. Excepto porincógnita{\displaystyle X}, letras minúsculasq{\displaystyle q},​​r{\displaystyle r},​​b{\displaystyle b}y​σi{\displaystyle \sigma _{i}}se utilizan para matrices de 2 × 2 .

Lo que llamamos matriz compleja de Minkowski 2 × 2 es aquella matriz compleja de 2 × 2 asociada a un bicuaternión de Minkowski. Tiene la forma [ 9 ] : 4 [ 10 ] : 3

incógnita=t12incógnita2+incógnitaσincógnita+yσy+zσz=(t+zincógnita−iyincógnita+iyt−z){\displaystyle X\,=\,t\,1_{2x2}+x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}\,=\,{\begin{pmatrix}t+z&x-i\,y\\x+i\,y&t-z\end{pmatrix}}}

Sea una matriz arbitraria de 2 × 2 con la forma ⁠q=a12incógnita2+bσincógnita+doσy+dσz{\displaystyle q=a\,1_{2x2}\,+b\,\sigma _{x}+c\,\sigma _{y}+d\,\sigma _{z}}, donde​a{\displaystyle a},​​b{\displaystyle b},​​do{\displaystyle c}y​​d{\displaystyle d}son complejos. De ahora en adelante debe entenderse que un escalar sumado a una matriz de 2x2 significa que es ese escalar multiplicado por la matriz identidad de 2x2 lo que se va a sumar, por lo que12incógnita2{\displaystyle 1_{2x2}}La representación de la matriz identidad de 2x2 no se mostrará.

  • El análogo del biconjugado esq∗=a−bσincógnita−doσy−dσz{\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {\sigma } _{x}-c\,\mathbf {\sigma } _{y}-d\,\mathbf {\sigma } _{z}}
  • El análogo del conjugado complejo esq¯=a¯−b¯σincógnita−do¯σy−d¯σz{\displaystyle {\bar {q}}={\bar {a}}-{\bar {b}}\,\mathbf {\sigma } _{x}-{\bar {c}}\,\mathbf {\sigma } _{y}-{\bar {d}}\,\mathbf {\sigma } _{z}}
  • El análogo del biconjugado del conjugado complejo es el conjugado hermítico ( transposición conjugada ) ya queσi{\displaystyle \sigma _{i}}son matrices hermíticas de 2 × 2 :

q¯∗=q†=a¯+b¯σincógnita+do¯σy+d¯σz{\displaystyle {\bar {q}}^{*}=q^{\dagger }={\bar {a}}+{\bar {b}}\,\mathbf {\sigma } _{x}+{\bar {c}}\,\mathbf {\sigma } _{y}+{\bar {d}}\,\mathbf {\sigma } _{z}}

  • El análogo de la norma esnorte(q)=a2−b2−do2−d2{\displaystyle N(q)=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}⁠ . Este es también su determinante|a+db−idob+idoa−d|{\displaystyle {\begin{vmatrix}a+d&b-i\,c\\b+i\,c&a-d\end{vmatrix}}}
  • La transformación de Lorentz es [ 11 ] : 34 [ 9 ] : 2 [ 10 ] : 3incógnita′=q¯∗incógnitaq=q†incógnitaq{\displaystyle X'={\bar {q}}^{*}\,X\,q=q^{\dagger }\,X\,q}para una matriz q de 2 × 2 que tiene norma 1 (determinante 1).

Una dirección puede representarse comonorte⋅σ=norte1σincógnita+norte2σy+norte3σz{\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {\sigma } =n_{1}\,\sigma _{x}+n_{2}\,\sigma _{y}+n_{3}\,\sigma _{z}}dóndenorte12+norte22+norte32=1{\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}

La rotación espacial es [ 49 ]r=exp⁡(iθ2norte⋅σ){\displaystyle r=\exp(i\,{\tfrac {\theta }{2}}\,\mathbf {n} \cdot \mathbf {\sigma } )}entoncesr¯∗≡r†=exp⁡(−iθ2norte⋅σ){\displaystyle {\bar {r}}^{*}\equiv r^{\dagger }=\exp(-i\,{\tfrac {\theta }{2}}\,\mathbf {n} \cdot \mathbf {\sigma } )}

El impulso de Lorentz es [ 49 ] : 12b=exp⁡(−α2norte⋅σ){\displaystyle b=\exp(-\,{\tfrac {\alpha }{2}}\,\mathbf {\mathbf {n} } \cdot \mathbf {\sigma } )}entoncesb¯∗≡b†=exp⁡(−α2norte⋅σ){\displaystyle {\bar {b}}^{*}\equiv b^{\dagger }=\exp(-\,{\tfrac {\alpha }{2}}\,\mathbf {n} \cdot \mathbf {\sigma } )}

Véase también

Referencias

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