Proyección quincuncial de Peirce

La proyección quincuncial de Peirce es una proyección cartográfica conforme de la esfera a un diedro cuadrado desplegado , desarrollada por Charles Sanders Peirce en 1877. Cada octante se proyecta sobre un triángulo rectángulo isósceles , con ocho de estos triángulos dispuestos en un cuadrado. El nombre quincuncial hace referencia a esta disposición: el polo norte en el centro y los cuartos del polo sur en las esquinas forman un patrón de quincuncio , similar a los puntos de la cara cinco de un dado tradicional. Esta proyección posee la propiedad distintiva de formar un teselado cuadrado continuo del plano, conforme excepto en cuatro puntos singulares a lo largo del ecuador.

Normalmente, la proyección es cuadrada y está orientada de manera que el polo norte se encuentre en el centro, pero Émile Guyou propuso una proyección oblicua en un rectángulo en 1887, y Oscar S. Adams propuso una proyección transversal en 1925.

Esta proyección se ha utilizado en la fotografía digital para representar panoramas esféricos .

La maduración del análisis complejo en el siglo XIX condujo a técnicas generales para el mapeo conforme , donde los mapeos que preservan ángulos entre puntos en el plano euclidiano se representan mediante funciones analíticas de números en el plano complejo . En 1851, Bernhard Riemann enunció el teorema del mapeo de Riemann , que establece que el interior de cualquier figura plana sin agujeros puede mapearse conformemente al interior de un disco, pero no construyó explícitamente tales mapeos. En 1867 y 1869, respectivamente, Elwin Christoffel y Hermann Schwarz desarrollaron independientemente una fórmula para el mapeo entre un disco y un polígono simple arbitrario , ahora conocida como mapeo de Schwarz-Christoffel . Schwarz había descrito explícitamente el mapeo conforme de un disco sobre un cuadrado.

Inspirado por Schwarz, en 1877, el matemático y filósofo Charles Sanders Peirce , que entonces trabajaba en el Servicio Geodésico y Costero de los Estados Unidos , combinó la proyección estereográfica de hemisferio a disco con la proyección de disco a cuadrado de Schwarz para desarrollar su "proyección quincuncial". En su aspecto normal, la proyección de Peirce presenta el hemisferio norte en un cuadrado; el hemisferio sur se divide en cuatro triángulos isósceles que rodean simétricamente al primero, de forma similar a las proyecciones estelares. En efecto, todo el mapa es un cuadrado, lo que inspiró a Peirce a llamar a su proyección quincuncial , por la disposición de cinco elementos en un quincuncio .

Después de que Peirce presentara su proyección, otros dos cartógrafos desarrollaron proyecciones similares del hemisferio (o de la esfera completa, después de una reorganización adecuada) en un cuadrado: Guyou en 1887 y Adams en 1925. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Las tres proyecciones son versiones transversales entre sí (véanse las proyecciones relacionadas más abajo).

La proyección quincuncial de Peirce se forma "transformando la proyección estereográfica con un polo en el infinito, mediante una función elíptica". ^{[ 3 ]} La proyección quincuncial de Peirce es realmente una proyección del hemisferio, pero sus propiedades de teselación (véase más adelante) permiten su uso para toda la esfera. La proyección mapea el interior de un círculo sobre el interior de un cuadrado mediante el mapeo de Schwarz-Christoffel , como sigue: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt {2}}\,r}$$

dónde

• sd es la razón de dos funciones elípticas de Jacobi :${\displaystyle {\tfrac {\rm {sn}}{\rm {dn}}};}$⁠
• w es el punto mapeado en el plano como un número complejo ( w = x + iy ) ;
• r es la proyección estereográfica con una escala de 1/2 en el centro.

Se puede utilizar una integral elíptica de primer tipo para resolver w . La notación de coma utilizada para sd( u , k ) significa que ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$⁠ es el módulo para la razón de la función elíptica, a diferencia del parámetro [que se escribiría sd( u | m ) ] o la amplitud [que se escribiría sd( u \ α ) ]. El mapeo tiene un factor de escala de 1/2 en el centro, como la proyección estereográfica generadora.

Tenga en cuenta que: $${\displaystyle \operatorname {sd} \left({\sqrt {2}}w,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\sqrt {2}}\operatorname {sl} \left(w\right)}$$ es la función seno lemniscática (véase Funciones elípticas lemniscatas ).

Según Peirce, su proyección tiene las siguientes propiedades (Peirce, 1879):

• La esfera se presenta dentro de un cuadrado.
• La parte donde la exageración de la escala equivale al doble que en el centro representa solo el 9% del área de la esfera, frente al 13% de la proyección de Mercator y el 50% de la proyección estereográfica.
• La curvatura de las líneas que representan círculos máximos es, en todos los casos, muy leve en la mayor parte de su longitud.
• Es conforme en todas partes excepto en las cuatro esquinas del hemisferio interior (es decir, en los puntos medios de los bordes de la proyección), donde el ecuador y cuatro meridianos cambian de dirección abruptamente (el ecuador está representado por un cuadrado). Estas son singularidades donde la diferenciabilidad falla.
• Se puede teselar en todas las direcciones.

La proyección tesela el plano; es decir, copias repetidas pueden cubrir completamente (teselar) un área arbitraria, y las características de cada copia coinciden exactamente con las de sus vecinas. (Véase el ejemplo de la derecha). Además, los cuatro triángulos del segundo hemisferio de la proyección quincuncial de Peirce se pueden reorganizar como otro cuadrado que se coloca junto al cuadrado que corresponde al primer hemisferio, dando como resultado un rectángulo con una relación de aspecto de 2:1; esta disposición es equivalente al aspecto transversal de la proyección de hemisferio en cuadrado de Guyou . ^{[ 4 ]}

Al igual que muchas otras proyecciones basadas en números complejos, la proyección quincuncial de Peirce se ha utilizado raramente con fines geográficos. Uno de los pocos casos registrados data de 1946, cuando fue utilizada por el Servicio Geodésico y Costero de los Estados Unidos en su mapa mundial de rutas aéreas. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Recientemente se ha utilizado para presentar panoramas esféricos con fines tanto prácticos como estéticos, ya que permite representar la esfera completa con la mayoría de las áreas reconocibles. ^{[ 6 ]}

En aspecto transversal , un hemisferio se convierte en la proyección del hemisferio de Adams dentro de un cuadrado (el polo se ubica en la esquina del cuadrado). Sus cuatro singularidades se encuentran en el Polo Norte, el Polo Sur, en el ecuador a 25°O y en el ecuador a 155°E, en los océanos Ártico, Atlántico y Pacífico, y en la Antártida. ^{[ 7 ]} Ese gran círculo divide los hemisferios occidentales y orientales tradicionales .

En aspecto oblicuo (45 grados) de un hemisferio se convierte en la proyección hemisférico de Guyou dentro de un cuadrado (el polo se sitúa en el centro del borde del cuadrado). Sus cuatro singularidades se encuentran a 45 grados de latitud norte y sur sobre el círculo máximo formado por los meridianos de 20°O y 160°E, en los océanos Atlántico y Pacífico. ^{[ 7 ]} Ese círculo máximo divide los hemisferios occidentales y orientales tradicionales.

• Lista de proyecciones cartográficas
• Mundo conforme de Lee en un tetraedro

• Eisele, Carolyn (1963), "Charles S. Peirce y el problema de la proyección cartográfica", Actas de la Sociedad Filosófica Americana , 107 (4): 299– 307, JSTOR 985673 
• Kiryushchenko, Vitaly (2023), "Mapeando la filosofía: la proyección quincuncial de Peirce", Diagramas, imaginación visual y continuidad en la filosofía de las matemáticas de Peirce , Springer, Cap. 12, págs.  125–139, doi : 10.1007/978-3-031-23245-9_12 , ResearchGate 370740730
• Peirce, CS (1880) [1877], "Una proyección quincuncial de la esfera", Informe del superintendente del Servicio de Cartografía Costera de los Estados Unidos que muestra el progreso del servicio para el año fiscal que finaliza en junio de 1877 , Apéndice n.° 15: págs. 191-192 y lámina n.° 25 (el mapa). Presentado al Senado el 26 de diciembre de 1877 y publicado en 1880. Escaneos: digitalizado por la Biblioteca Jurídica del Congreso ; digitalizado por la NOAA (sin los apéndices), digitalizado por Google (sin el mapa), digitalizado por Google (escaneo de mapa defectuoso); también publicado como:  
  • Peirce, CS (1879), "Una proyección quincuncial de la esfera" , American Journal of Mathematics , 2 (4): 394–397 , JSTOR 2369491 ; Escaneo de Google ; reimpreso en Writings of Charles S. Peirce 4 : 68–71
• Pierpont, James (1896), "Nota sobre el artículo de C.S. Peirce sobre 'Una proyección quincuncial de la esfera'"", American Journal of Mathematics , 18 (2): 145– 152, JSTOR 2369678 
• Frischauf, I (1897), "Bemerkungen zu CS Peirce Quincuncial Projection" [ Comentarios sobre la proyección quincuncial de CS Peirce ] , American Journal of Mathematics , 19 (4): 381–382 , JSTOR 2369781 

• Un applet interactivo de Java para estudiar las deformaciones métricas de la proyección de Peirce .
• Más ejemplos de panoramas quincunciales de Peirce
• Snyder, John P. (1989), Un álbum de proyecciones cartográficas, Documento profesional 1453 (PDF) , Servicio Geológico de los Estados Unidos, págs.  190, 236Contiene información histórica, descriptiva y una formulación más adecuada para el cálculo.
• ¡Le Planisphère Carré! (¡ El planisferio cuadrado! ), un póster con un mapamundi en proyección quincuncial, disponible en la empresa francesa Nuées, un proyecto paralelo de varios investigadores del Centro Nacional de Investigación Científica de Francia.
  • Lambert, Nicolas (18 de diciembre de 2025), "Tout ce que l'on peut faire avec un planisphère carré" [ Todo lo que puedes hacer con un mapamundi cuadrado ] , l'Humanité (en francés)Un artículo de revista que promociona este cartel y la proyección quincuncial de Pierce.