Categoría de cociente

En matemáticas , una categoría cociente es una categoría obtenida a partir de otra categoría mediante la identificación de conjuntos de morfismos . Formalmente, es un objeto cociente en la categoría de categorías (localmente pequeñas) , análogo a un grupo cociente o espacio cociente , pero en el contexto categórico.

Dejar${\displaystyle \mathbf {C} }$ser una categoría. Una relación de congruencia${\displaystyle {\mathcal {R}}}$en${\displaystyle \mathbf {C} }$viene dado por: para cada par de objetos${\displaystyle X}$,${\displaystyle Y}$en${\displaystyle \mathbf {C} }$, una relación de equivalencia${\displaystyle {\mathcal {R}}_{X,Y}}$en${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$, de tal manera que las relaciones de equivalencia respeten la composición de morfismos. Es decir, si

$${\displaystyle f_{1},f_{2}:X\to Y\,}$$

están relacionados en${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)}$y

$${\displaystyle g_{1},g_{2}:Y\a Z\,}$$

están relacionados en${\displaystyle \mathrm {Hom} (Y,Z)}$, entonces${\displaystyle g_{1}f_{1}}$y${\displaystyle g_{2}f_{2}}$están relacionados en${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Z)}$.

Dada una relación de congruencia${\displaystyle {\mathcal {R}}}$en${\displaystyle \mathbf {C} }$podemos definir la categoría de cociente${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$como la categoría cuyos objetos son los de${\displaystyle \mathbf {C} }$y cuyos morfismos son clases de equivalencia de morfismos en${\displaystyle \mathbf {C} }$. Eso es,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _ {\mathbf {C} /{\mathcal {R}}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _ {\mathbf {C} }(X,Y)/{\mathcal {R}}_{X,Y}.}$

Composición de morfismos en${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$está bien definido ya que${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es una relación de congruencia.

Existe un funtor cociente natural de${\displaystyle \mathbf {C} }$a${\displaystyle \mathbf {C} /{\mathcal {R}}}$que envía cada morfismo a su clase de equivalencia. Este functor es biyectivo en objetos y sobreyectivo en conjuntos Hom (es decir, es un functor completo ).

Cada functor${\displaystyle F\dos puntos \mathbf {C} \to \mathbf {D} }$determina una congruencia en${\displaystyle \mathbf {C} }$al decir${\displaystyle f\sim g}$si y solo si${\displaystyle F(f)=F(g)}$. El functor${\displaystyle F}$luego factoriza a través del functor cociente${\displaystyle \mathbf {C} \to \mathbf {C} /\sim }$de una manera única. Esto puede considerarse el " primer teorema de isomorfismo " para categorías.

• Los monoides y los grupos pueden considerarse categorías con un solo objeto. En este caso, la categoría cociente coincide con la noción de monoide cociente o grupo cociente .
• La categoría de homotopía de espacios topológicos hTop es una categoría cociente de Top , la categoría de espacios topológicos . Las clases de equivalencia de morfismos son clases de homotopía de aplicaciones continuas.
• Sea k un cuerpo y consideremos la categoría abeliana Mod( k ) de todos los espacios vectoriales sobre k con morfismos k -lineales. Para "eliminar" todos los espacios de dimensión finita, podemos decir que dos aplicaciones lineales f , g  : X → Y son congruentes si y solo si su diferencia tiene una imagen de dimensión finita. En la categoría cociente resultante, todos los espacios vectoriales de dimensión finita son isomorfos a 0. [Este es en realidad un ejemplo de un cociente de categorías aditivas, véase más adelante.]

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  5 (segunda  edición). Springer-Verlag.