Grupo de cocientes

Dejar${\displaystyle N}$ser un subgrupo normal de un grupo${\displaystyle G}$⁠ . El grupo cociente${\displaystyle G\,/\,N}$se define como el conjunto de todas las clases laterales izquierdas de${\displaystyle N}$en​${\displaystyle G}$, es decir${\displaystyle G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}}$⁠ , ^{[ 3 ]} con la operación de grupo definida como ⁠${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N\ \forall \ a,b\in G}$⁠ . Se puede demostrar que esta operación satisface todos los axiomas del grupo .

Como${\displaystyle N}$es un subgrupo normal de${\displaystyle G}$, las clases laterales izquierda y derecha de${\displaystyle N}$en${\displaystyle G}$son lo mismo, y por lo tanto${\displaystyle G\,/\,N}$podría haberse definido equivalentemente como el conjunto de todas las clases laterales derechas de${\displaystyle N}$en​${\displaystyle G}$⁠ . Dado que el elemento identidad ⁠${\displaystyle e\in N}$,​​${\displaystyle a\in aN}$.​

Para evitar contradicciones, esta definición requiere que${\displaystyle (ab)N}$es lo mismo cuando ${\displaystyle aN}$o${\displaystyle bN}$se construyen utilizando diferentes elementos de${\displaystyle G}$, es decir, si${\displaystyle aN=xN}$y​​${\displaystyle bN=yN}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle (ab)N=(xy)N}$⁠ . Se puede demostrar que esto siempre es cierto cuando${\displaystyle N}$es un subgrupo normal de la siguiente manera:${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N.}$donde​${\displaystyle a,b,x,y\in G}$⁠ . Esta demostración solo es válida para subgrupos normales, ya que utiliza la propiedad ⁠${\displaystyle yN=Ny}$.​

Esto demuestra que la operación está bien definida cuando${\displaystyle N}$es un subgrupo normal. Sin embargo, la definición requería que${\displaystyle N}$ser un subgrupo normal. Esto se debe a que la operación de grupo solo está bien definida para subgrupos normales.

Para demostrar esto, primero supongamos que la operación de grupo está bien definida, es decir, que si${\displaystyle xN=aN}$y${\displaystyle yN=bN}$para cualquier${\displaystyle x,y,a,b\in G}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle (ab)N=(xy)N}$.​

Ahora toma cualquiera${\displaystyle n\in N}$y​${\displaystyle g\in G}$⁠ . Utilizando la propiedad de las clases laterales que ⁠${\displaystyle nN=N=eN}$⁠ , tenemos: ⁠${\displaystyle gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N}$.​

Usando${\displaystyle gN=(ng)N}$, tenemos${\displaystyle N=(g^{-1}ng)N}$⁠ , y así ⁠${\displaystyle g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N,g\in G}$⁠ , lo que significa que${\displaystyle N}$debe ser un subgrupo normal de${\displaystyle G}$. Por lo tanto, la operación de grupo solo está bien definida si${\displaystyle N}$es un subgrupo normal.

Por ejemplo, consideremos el grupo con suma módulo 6 :${\displaystyle G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}}$⁠ . Consideremos el subgrupo ⁠${\displaystyle N=\left\{0,3\right\}}$⁠ , lo cual es normal porque${\displaystyle G}$es abeliano . Entonces el conjunto de clases laterales (izquierdas) es de tamaño tres:

${\displaystyle G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}.}$

La operación binaria definida anteriormente convierte este conjunto en un grupo, conocido como grupo cociente, que en este caso es isomorfo al grupo cíclico de orden 3.

Consideremos el grupo de números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$(en adición) y el subgrupo${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$que consta de todos los números enteros pares. Este es un subgrupo normal, porque${\displaystyle \mathbb {Z} }$es abeliano . Solo hay dos clases laterales: el conjunto de los enteros pares y el conjunto de los enteros impares, y por lo tanto el grupo cociente.${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$es el grupo cíclico con dos elementos. Este grupo cociente es isomorfo con el conjunto${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$con adición módulo  2; informalmente, a veces se dice que${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z} }$es igual al conjunto${\displaystyle \left\{0,1\right\}}$con adición módulo 2.

Ejemplo explicado con más detalle...

Dejar${\displaystyle \gamma (m)}$sean los restos de${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$al dividir por${\displaystyle 2}$⁠ . Entonces,${\displaystyle \gamma (m)=0}$cuando${\displaystyle m}$es par y${\displaystyle \gamma (m)=1}$cuando${\displaystyle m}$es extraño.

Por definición de${\displaystyle \gamma }$⁠ , el núcleo de ⁠${\displaystyle \gamma }$,​​${\displaystyle \ker(\gamma )=\{m\in \mathbb {Z}$ :\gamma (m)=0\}} ⁠ , es el conjunto de todos los enteros pares.

Dejemos​${\displaystyle H=\ker(\gamma )}$⁠ . Entonces,${\displaystyle H}$es un subgrupo, porque la identidad en${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ , que es ⁠${\displaystyle 0}$⁠ , está en ⁠${\displaystyle H}$⁠ , la suma de dos enteros pares es par y por lo tanto si${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$están en${\displaystyle H}$⁠ ,${\displaystyle m+n}$está en${\displaystyle H}$(cierre) y si${\displaystyle m}$es par,${\displaystyle -m}$También es par y así${\displaystyle H}$contiene sus inversos.

Definir${\displaystyle \mu$ :\mathbb {Z} /H\to \mathrm {Z} _{2}} como${\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)}$para${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$es el grupo cociente de clases laterales izquierdas ;${\displaystyle \mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}}$.​

Tenga en cuenta que hemos definido ⁠${\displaystyle \mu }$⁠ ,${\displaystyle \mu (aH)}$es${\displaystyle 1}$si${\displaystyle a}$es extraño y${\displaystyle 0}$si${\displaystyle a}$es par.

De este modo,${\displaystyle \mu }$es un isomorfismo de${\displaystyle \mathbb {Z} /H}$a​${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$.​

Una ligera generalización del último ejemplo. Consideremos nuevamente el grupo de los enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$bajo la suma. Sea ⁠${\displaystyle n}$Sea cualquier entero positivo. Consideraremos el subgrupo${\displaystyle n\mathbb {Z} }$de${\displaystyle \mathbb {Z} }$que consta de todos los múltiplos de ⁠${\displaystyle n}$Una vez más${\displaystyle n\mathbb {Z} }$es normal en${\displaystyle \mathbb {Z} }$porque${\displaystyle \mathbb {Z} }$es abeliano. Las clases son la colección .${\displaystyle \left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}}$Un número entero${\displaystyle k}$pertenece al coset${\displaystyle r+n\mathbb {Z} }$, donde${\displaystyle r}$es el resto al dividir${\displaystyle k}$por​${\displaystyle n}$⁠ . El cociente${\displaystyle \mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z} }$puede pensarse como el grupo de "restos" módulo ⁠${\displaystyle n}$⁠ . Este es un grupo cíclico de orden ⁠${\displaystyle n}$.​

Las raíces duodécimas de la unidad , que son puntos en el círculo unitario complejo , forman un grupo abeliano multiplicativo .${\displaystyle G}$⁠ , mostrado en la imagen de la derecha como bolas de colores con el número en cada punto dando su argumento complejo. Consideremos su subgrupo${\displaystyle N}$formado por las raíces cuartas de la unidad, representadas como bolas rojas. Este subgrupo normal divide el grupo en tres clases laterales, representadas en rojo, verde y azul. Se puede comprobar que las clases laterales forman un grupo de tres elementos (el producto de un elemento rojo con un elemento azul es azul, el inverso de un elemento azul es verde, etc.). Por lo tanto, el grupo cociente${\displaystyle G\,/\,N}$es el grupo de tres colores, que resulta ser el grupo cíclico con tres elementos.

Consideremos el grupo de números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$bajo adición, y el subgrupo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros. Cada clase lateral de${\displaystyle \mathbb {Z} }$en${\displaystyle \mathbb {R} }$es un conjunto de la forma${\displaystyle a+\mathbb {Z} }$, donde${\displaystyle a}$es un número real. Dado que${\displaystyle a_{1}+\mathbb {Z} }$y${\displaystyle a_{2}+\mathbb {Z} }$son conjuntos idénticos cuando las partes no enteras de${\displaystyle a_{1}}$y${\displaystyle a_{2}}$son iguales, se puede imponer la restricción${\displaystyle 0\leq a<1}$sin cambio de significado. La suma de dichas clases laterales se realiza sumando los números reales correspondientes y restando 1 si el resultado es mayor o igual que 1. El grupo cociente${\displaystyle \mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z} }$es isomorfo al grupo del círculo , el grupo de números complejos de valor absoluto 1 bajo la multiplicación, o correspondientemente, el grupo de rotaciones en 2D alrededor del origen, es decir, el grupo ortogonal especial ⁠${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$⁠ . Un isomorfismo viene dado por${\displaystyle f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)}$(véase la identidad de Euler ).

Si${\displaystyle G}$es el grupo de invertibles${\displaystyle 3\times 3}$matrices reales y${\displaystyle N}$es el subgrupo de${\displaystyle 3\times 3}$matrices reales con determinante 1, entonces${\displaystyle N}$es normal en${\displaystyle G}$(ya que es el núcleo del homomorfismo determinante ). Las clases laterales de${\displaystyle N}$son los conjuntos de matrices con un determinante dado y, por lo tanto,${\displaystyle G\,/\,N}$es isomorfo al grupo multiplicativo de números reales distintos de cero. El grupo${\displaystyle N}$se conoce como el grupo lineal especial${\displaystyle \mathrm {SL} (3)}$.​

Consideremos el grupo abeliano.${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z} }$(es decir, el conjunto${\displaystyle \left\{0,1,2,3\right\}}$con adición módulo 4), y su subgrupo ⁠${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$⁠ . El grupo cociente${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}}$es​${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$Este es un grupo con elemento identidad .${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$y operaciones de grupo como${\displaystyle \left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}}$⁠ . Ambos subgrupos${\displaystyle \left\{0,2\right\}}$y el grupo cociente${\displaystyle \left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}}$son isomorfos con ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$.​

Consideremos el grupo multiplicativo ⁠${\displaystyle G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }}$⁠ . El conjunto${\displaystyle N}$de​${\displaystyle n}$⁠ los residuos th son un subgrupo multiplicativo isomorfo a ⁠${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n})^{\times }}$Entonces​${\displaystyle N}$es normal en${\displaystyle G}$y el grupo de factores${\displaystyle G\,/\,N}$tiene las clases laterales${\displaystyle N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N}$⁠ . El criptosistema Paillier se basa en la conjetura de que es difícil determinar la clase lateral de un elemento aleatorio de${\displaystyle G}$sin conocer la factorización de ⁠${\displaystyle n}$.​