Teorema del cociente de subespacios

En matemáticas, el teorema del cociente de subespacios es una propiedad importante de los espacios normados de dimensión finita , descubierta por Vitali Milman . ^{[ 1 ]}

Sea ( X ,  ||·||) un espacio normado de dimensión N. Existen subespacios Z  ⊂ Y ⊂ X tales que se cumple lo siguiente:   

• El espacio cociente E  = Y / Z tiene dimensión dim E ≥ c N , donde c > 0 es una constante universal.         
• La norma inducida ||  ·  || en E , definida por

${\displaystyle \|e\|=\min _ {y\in e}\|y\|,\quad e\in E,}$

es uniformemente isomorfo a euclidiano. Es decir, existe una forma cuadrática positiva ("estructura euclidiana") Q en E , tal que

${\displaystyle {\frac {\sqrt {Q(e)}}{K}}\leq \|e\|\leq K{\sqrt {Q(e)}}}$para${\displaystyle e\in E,}$

donde K  >  1 es una constante universal.

La afirmación es relativamente fácil de demostrar por inducción sobre la dimensión de Z (incluso para Y=Z , X = 0 , c=1 ) con un K que depende solo de N ; el punto del teorema es que K es independiente de N .

De hecho, la constante c puede hacerse arbitrariamente cercana a 1, a costa de que la constante K se vuelva grande. La demostración original permitía

${\displaystyle c(K)\approx 1-{\text{const}}/\log \log K.}$^{[ 2 ]}

• Milman, VD (1984), "Espacios cociente casi euclidianos de subespacios de un espacio normado de dimensión finita", Seminario israelí sobre aspectos geométricos del análisis funcional , X , Tel Aviv: Universidad de Tel Aviv.
• Gordon, Y. (1988), "Sobre la desigualdad de Milman y los subespacios aleatorios que escapan a través de una malla en R ⁿ ", Aspectos geométricos del análisis funcional , Lecture Notes in Math., vol.  1317, Berlín: Springer, pp. 84–106 , doi : 10.1007/BFb0081737 , ISBN  978-3-540-19353-1
• Pisier, G. (1989), El volumen de cuerpos convexos y la geometría de espacios de Banach , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  94, Cambridge: Cambridge University Press