Circuito RLC

Un circuito RLC es un circuito eléctrico compuesto por una resistencia (R), un inductor (L) y un condensador (C), conectados en serie o en paralelo. Su nombre deriva de las letras que identifican sus componentes, cuyo orden puede variar respecto al de RLC.

El circuito forma un oscilador armónico para la corriente y resuena de manera similar a un circuito LC . La introducción de la resistencia aumenta la atenuación de estas oscilaciones, también conocida como amortiguación . La resistencia también reduce la frecuencia de resonancia máxima. Cierta resistencia es inevitable incluso si no se incluye específicamente como componente.

Los circuitos RLC tienen numerosas aplicaciones como circuitos osciladores . Los receptores de radio y los televisores los utilizan para sintonizar y seleccionar un rango de frecuencia estrecho a partir de las ondas de radio ambientales. En este contexto, el circuito se denomina a menudo circuito sintonizado. Un circuito RLC puede utilizarse como filtro paso banda , filtro rechaza banda , filtro paso bajo o filtro paso alto . La aplicación de sintonización, por ejemplo, es un ejemplo de filtrado paso banda. El filtro RLC se describe como un circuito de segundo orden , lo que significa que cualquier voltaje o corriente en el circuito puede describirse mediante una ecuación diferencial de segundo orden en el análisis de circuitos .

Los tres elementos del circuito, R, L y C, pueden combinarse en diversas topologías . La configuración de los tres elementos en serie o en paralelo es la más sencilla conceptualmente y la más fácil de analizar. Sin embargo, existen otras configuraciones, algunas de gran importancia práctica en circuitos reales. Un problema frecuente es la necesidad de considerar la resistencia del inductor. Los inductores suelen estar formados por bobinas de alambre, cuya resistencia no suele ser deseable, pero a menudo influye significativamente en el circuito.

Conceptos básicos

Resonancia

Una propiedad importante de este circuito es su capacidad de resonar a una frecuencia específica, la frecuencia de resonancia $,$ f₀ $. Las$ frecuencias se miden en unidades de hercios . En este artículo, se utiliza la frecuencia angular , $ω₀$ , porque es más conveniente matemáticamente. Esta se mide en radianes por segundo. Están relacionadas entre sí por una proporción simple,

\omega _ {0}=2\pi f_ {0}\,.

La resonancia se produce porque la energía para esta situación se almacena de dos maneras diferentes: en un campo eléctrico al cargarse el condensador y en un campo magnético al fluir la corriente a través del inductor. La energía puede transferirse de uno a otro dentro del circuito, lo que puede generar oscilaciones. Una analogía mecánica sería un peso suspendido de un resorte que oscilará hacia arriba y hacia abajo al soltarse. Esta no es una metáfora pasajera; un peso sobre un resorte se describe mediante la misma ecuación diferencial de segundo orden que un circuito RLC, y para cada propiedad de un sistema se encontrará una propiedad análoga en el otro. La propiedad mecánica que corresponde a la resistencia en el circuito es la fricción en el sistema resorte-peso. La fricción detendrá gradualmente cualquier oscilación si no hay una fuerza externa que la impulse. De igual manera, la resistencia en un circuito RLC amortiguará la oscilación, disminuyéndola con el tiempo si no hay una fuente de alimentación de CA en el circuito.

La frecuencia de resonancia se define como aquella en la que la impedancia del circuito es mínima. De forma equivalente, se puede definir como aquella en la que la impedancia es puramente real (es decir, puramente resistiva). Esto ocurre porque las impedancias del inductor y del condensador en la frecuencia de resonancia son iguales pero de signo opuesto y se cancelan entre sí. Los circuitos donde L y C están en paralelo, en lugar de en serie, presentan una impedancia máxima en lugar de una mínima. Por este motivo, a menudo se les denomina antirresonadores ; sin embargo, sigue siendo habitual denominar frecuencia de resonancia a aquella en la que esto ocurre.

Frecuencia natural

La frecuencia de resonancia se define en términos de la impedancia presentada a una fuente de excitación. Es posible que el circuito continúe oscilando (durante un tiempo) después de que se haya retirado la fuente de excitación o se le haya aplicado un cambio de voltaje (incluido un cambio a cero). Esto es similar a cómo un diapasón continúa vibrando después de ser golpeado, efecto que a menudo se denomina resonancia. Este efecto es la frecuencia de resonancia natural máxima del circuito y, en general, no es exactamente igual a la frecuencia de resonancia excitada, aunque ambas suelen ser bastante similares. Diferentes autores utilizan diversos términos para distinguirlas, pero "frecuencia de resonancia" sin calificar generalmente se refiere a la frecuencia de resonancia excitada. La frecuencia excitada puede denominarse frecuencia de resonancia no amortiguada o frecuencia natural no amortiguada, y la frecuencia máxima puede denominarse frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. La razón de esta terminología es que la frecuencia de resonancia excitada en un circuito resonante en serie o en paralelo tiene un valor determinado. ^{[ 1 ]}

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.

Esto es exactamente lo mismo que la frecuencia de resonancia de un circuito LC sin pérdidas, es decir, uno sin resistencia. La frecuencia de resonancia de un circuito RLC excitado es la misma que la de un circuito sin amortiguación, por lo que se denomina frecuencia de resonancia sin amortiguación. La amplitud máxima de la frecuencia de resonancia, por otro lado, sí depende del valor de la resistencia y se describe como la frecuencia de resonancia amortiguada. Un circuito altamente amortiguado no resonará en absoluto cuando no esté excitado. Un circuito con un valor de resistencia que lo sitúa justo al borde de la oscilación se denomina críticamente amortiguado . Los extremos de la amortiguación crítica se describen como subamortiguado (se produce oscilación) y sobreamortiguado (se suprime la oscilación).

Los circuitos con topologías más complejas que las de una simple serie o paralelo (algunos ejemplos se describen más adelante en el artículo) tienen una frecuencia de resonancia forzada que se desvía de $\ \omega _{0}=1/{\sqrt {L\,C~}}\$ y para esos casos, la frecuencia de resonancia no amortiguada, la frecuencia de resonancia amortiguada y la frecuencia de resonancia forzada pueden ser todas diferentes.

Mojadura

La amortiguación es causada por la resistencia en el circuito. Determina si el circuito resonará de forma natural (es decir, sin una fuente de excitación). Los circuitos que resonarán de esta manera se describen como subamortiguados y los que no, como sobreamortiguados. La atenuación de la amortiguación (símbolo $α$ ) se mide en nepers por segundo. Sin embargo, el factor de amortiguación adimensional (símbolo $ζ$ , zeta) suele ser una medida más útil, que está relacionada con $α$ mediante

\ \zeta ={\frac {\alpha }{\ \omega _{0}\ }}\ .

El caso especial de $ζ = 1$ se denomina amortiguamiento crítico y representa el caso de un circuito que se encuentra justo al límite de la oscilación. Es el amortiguamiento mínimo que se puede aplicar sin provocar oscilación.

Ancho de banda

El efecto de resonancia se puede utilizar para el filtrado; el cambio rápido de impedancia cerca de la resonancia permite dejar pasar o bloquear señales cercanas a la frecuencia de resonancia. Se pueden construir filtros tanto de paso de banda como de rechazo de banda, y algunos circuitos de filtro se muestran más adelante en el artículo. Un parámetro clave en el diseño de filtros es el ancho de banda . El ancho de banda se mide entre las frecuencias de corte , que generalmente se definen como las frecuencias en las que la potencia que pasa a través del circuito se reduce a la mitad del valor que pasa en resonancia. Existen dos de estas frecuencias de media potencia: una por encima y otra por debajo de la frecuencia de resonancia.

\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,

donde $Δ ω$ es el ancho de banda, $ω 1$ es la frecuencia de media potencia inferior y $ω 2$ es la frecuencia de media potencia superior. El ancho de banda está relacionado con la atenuación por

\Delta \omega =2\alpha \,,

donde las unidades son radianes por segundo y nepers por segundo, respectivamente. Otras unidades pueden requerir un factor de conversión. Una medida más general del ancho de banda es el ancho de banda fraccional, que expresa el ancho de banda como una fracción de la frecuencia de resonancia y viene dado por

B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}\,.

El ancho de banda fraccional también se suele expresar como un porcentaje. La amortiguación de los circuitos de filtrado se ajusta para obtener el ancho de banda requerido. Un filtro de banda estrecha, como un filtro de rechazo de banda , requiere una amortiguación baja. Un filtro de banda ancha requiere una amortiguación alta.

factor $Q$

El factor $Q$ es una medida ampliamente utilizada para caracterizar resonadores. Se define como la energía máxima almacenada en el circuito dividida por la energía promedio disipada en él por radián en resonancia. Por lo tanto, los circuitos con bajo $Q$ son amortiguados y presentan pérdidas, mientras que los circuitos con alto $Q$ son subamortiguados y propensos a amplitudes extremas si se excitan a la frecuencia de resonancia. ^{[ a ]} $Q$ está relacionado con el ancho de banda; los circuitos con bajo $Q$ son de banda ancha y los circuitos con alto $Q$ son de banda estrecha. De hecho, sucede que $Q$ es el inverso del ancho de banda fraccional.

Q={\frac {1}{\,B_{\mathrm {f} }\,}}={\frac {\omega _{\text{o}}}{\,\operatorname {\Delta } \omega \,}}\;.

^{[ 2 ]}

$El factor Q$ es directamente proporcional a la selectividad , ya que el factor $Q$ depende inversamente del ancho de banda.

Para un circuito resonante en serie ( como se muestra a continuación ), el factor $Q$ se puede calcular de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

Q={\frac {X}{\,R\;}}={\frac {1}{\,\omega _{\text{o}}R\,C\,}}={\frac {\,\omega _{\text{o}}L\,}{R}}={\frac {1}{\,R\;}}{\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}={\frac {\,Z_{\text{o}}\,}{R\;}}\;,

^{[ 2 ]}

dónde $\,X\,$ es la reactancia cualquiera de $\,L\,$ o de $\,C\,$ en resonancia, y $\,Z_{\text{o}}\equiv {\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}\;.$

Parámetros escalados

Los parámetros $ζ$ , $B f$ y $Q$ están todos escalados a $ω 0.$ Esto significa que los circuitos que tienen parámetros similares comparten características similares independientemente de si operan o no en la misma banda de frecuencia.

A continuación, el artículo analiza en detalle el circuito RLC en serie. Si bien no se describen otras configuraciones con tanto detalle, se señalan las principales diferencias con respecto al caso en serie. La forma general de las ecuaciones diferenciales presentadas en la sección del circuito en serie es aplicable a todos los circuitos de segundo orden y puede utilizarse para describir la tensión o la corriente en cualquier elemento de cada circuito.

Circuito en serie

En este circuito, los tres componentes están en serie con la fuente de voltaje . La ecuación diferencial que rige el circuito se puede encontrar sustituyendo en la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) la ecuación constitutiva para cada uno de los tres elementos. A partir de la LVK,

V_{\mathrm {R} }(t)+V_{\mathrm {L} }(t)+V_{\mathrm {C} }(t)=V(t)\,,

donde $V R$ , $V L$ y $V C$ son los voltajes a través de $R$ , $L$ y $C$ , respectivamente, y $V (t)$ es el voltaje de la fuente. Todos son función del tiempo $t$ , ya que pueden variar con el tiempo.

Sustituyendo $V_{R}(t)=R\ I(t)\,,$ $\,V_{\mathrm {L} }(t)=L{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}\,$ y $\,V_{\mathrm {C} }(t)=V_{\mathrm {C} }(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau \,$ Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene:

RI(t)+L{\frac {\,\mathrm {d} I(t)\,}{\mathrm {d} t}}+V_{\mathrm {C} }(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau =V(t)\;.

En el caso en que la fuente sea un voltaje constante, al tomar la derivada con respecto al tiempo y dividir por $L$ (y reordenar los dos primeros términos y eliminar el 0 al tomar la derivada del tercer término constante) se obtiene la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {R}{\,L\,}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+{\frac {1}{\,L\,C\,}}I(t)=0\;.

Esto puede expresarse de forma más general:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\;.

$α$ y $ω₀$ se expresan en unidades de frecuencia angular . $α$ se denomina frecuencia neper , o atenuación , y es una medida de la rapidez con que la $respuesta$ transitoria del circuito se desvanece tras la eliminación del estímulo. El término neper aparece en el nombre porque las unidades también pueden considerarse nepers por segundo, siendo el neper una unidad logarítmica de atenuación. $ω₀ es la frecuencia de$ resonancia angular. ^{[ 3 ]}

Para el caso del circuito RLC en serie, estos dos parámetros vienen dados por: ^{[ 4 ]}

{\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{\,2L\,}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\,{\sqrt {L\,C\,}}\,}}\;.\end{aligned}}

Un parámetro útil es el factor de amortiguación , $ζ$ , que se define como la relación entre estos dos; aunque, a veces no se usa $ζ$ y en su lugar se hace referencia a $α como$ factor de amortiguación ; por lo tanto, se requiere una especificación cuidadosa del uso de ese término. ^{[ 5 ]}

\zeta \equiv {\frac {\alpha }{\,\omega _{0}\,}}\;.

En el caso del circuito RLC en serie, el factor de amortiguación viene dado por

\zeta ={\frac {\,R\,}{2}}{\sqrt {{\frac {C}{\,L\,}}\,}}={\frac {1}{\ 2Q\ }}~.

El valor del factor de amortiguación determina el tipo de transitorio que presentará el circuito. ^{[ 6 ]}

Respuesta transitoria

La ecuación diferencial tiene la ecuación característica , ^{[ 7 ]}

s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.

Las raíces de la ecuación en el dominio $s$ son, ^{[ 7 ]}

{\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)={\frac {-\omega _{0}}{\ \zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\ }}\ }}\ ,\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)\;.\end{aligned}}

La solución general de la ecuación diferencial es una exponencial en cualquiera de las raíces o una superposición lineal de ambas,

I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;.

Los coeficientes $A 1$ y $A 2$ están determinados por las condiciones de contorno del problema específico que se analiza. Es decir, están establecidos por los valores de las corrientes y tensiones en el circuito al inicio del transitorio y el valor supuesto al que se estabilizarán después de un tiempo infinito. ^{[ 8 ]} La ecuación diferencial para el circuito se resuelve de tres maneras diferentes dependiendo del valor de $ζ$ . Estas son sobreamortiguada ( $ζ > 1$ ), subamortiguada ( $ζ < 1$ ) y críticamente amortiguada ( $ζ = 1$ ).

Respuesta sobreamortiguada

La respuesta sobreamortiguada ( $ζ > 1$ ) es ^{[ 9 ]}

I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;.

La respuesta sobreamortiguada es una disminución de la corriente transitoria sin oscilación. ^{[ 10 ]}

respuesta subamortiguada

La respuesta subamortiguada ( $ζ < 1$ ) es ^{[ 11 ]}

I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.

Aplicando identidades trigonométricas estándar, las dos funciones trigonométricas pueden expresarse como una sola sinusoide con desplazamiento de fase, ^{[ 12 ].}

I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\;.

La respuesta subamortiguada es una oscilación decreciente a frecuencia $ω d$ . La oscilación decae a una tasa determinada por la atenuación $α$ . La exponencial en $α$ describe la envolvente de la oscilación. $B 1$ y $B 2$ (o $B 3$ y el desfase $φ$ en la segunda forma) son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones de contorno. La frecuencia $ω d$ viene dada por ^{[ 11 ]}

\omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}\,}}\;.

$Esto se denomina frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. Es la frecuencia a la que$ el circuito oscilará naturalmente si no se alimenta mediante una fuente externa. La frecuencia de resonancia, $ω₀$ , que es la frecuencia a la que el circuito resonará cuando se alimenta mediante una oscilación externa, a menudo se denomina frecuencia de resonancia no amortiguada para distinguirla. ^{[ 13 ]}

Respuesta críticamente amortiguada

La respuesta críticamente amortiguada ( $ζ = 1$ ) es ^{[ 14 ]}

I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;.

La respuesta críticamente amortiguada representa la respuesta del circuito que decae en el menor tiempo posible sin entrar en oscilación. Esta consideración es importante en sistemas de control donde se requiere alcanzar el estado deseado lo más rápido posible sin sobrepasarlo. $D 1$ y $D 2$ son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones de contorno. ^{[ 15 ]}

dominio de Laplace

El RLC en serie se puede analizar tanto para el comportamiento transitorio como para el estado estacionario de CA utilizando la transformada de Laplace . ^{[ 16 ]} $Si la fuente de voltaje anterior produce una forma de onda con V (s)$ transformada de Laplace (donde $s$ es la frecuencia compleja $s = σ + jω$ ), la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) se puede aplicar en el dominio de Laplace:

V(s)=I(s)\left(R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\right)\,,

donde $I (s)$ es la corriente transformada de Laplace a través de todos los componentes. Resolviendo para $I (s)$ :

I(s)={\frac {1}{\,R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\,}}V(s)\;.

Y reorganizando, tenemos

I(s)={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}V(s)\;.

Admisión de Laplace

Resolviendo para la admitancia de Laplace $Y (s)$ :

Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}\,.

Simplificando usando los parámetros $α$ y $ω 0$ definidos en la sección anterior, tenemos

Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)\,}}\;.

Polos y ceros

Los ceros de $Y (s)$ son aquellos valores de $s$ donde $Y (s) = 0$ :

s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \;.

Los polos de $Y (s)$ son aquellos valores de $s$ donde $Y (s) \to \infty$ . Mediante la fórmula cuadrática , encontramos

s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}\;.

Los polos de $Y (s)$ son idénticos a las raíces $s 1$ y $s 2$ del polinomio característico de la ecuación diferencial en la sección anterior.

Solución general

Para un $V (t)$ arbitrario , la solución obtenida mediante la transformada inversa de $I (s)$ es:

En el caso subamortiguado, $ω 0 > α$ :
$I(t)={\frac {1}{\,L\,}}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cos(\omega _{\mathrm {d} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {d} }\ }}\sin(\omega _{\mathrm {d} }\tau )\right]\,d\tau \,,$
En el caso de amortiguamiento crítico, $ω 0 = α$ :
$\ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\ \left[\ 1-\alpha \tau \ \right]\ \mathrm {d} \tau \ ,$
En el caso sobreamortiguado, $ω 0 < α$ :
$\ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cosh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {r} }\ }}\sinh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )\right]\,d\tau \ ,$

donde $ω r = \sqrt α 2 - ω 02$ , y $cosh$ y $sinh$ son las funciones hiperbólicas usuales .

estado estacionario sinusoidal

El estado estacionario sinusoidal se representa haciendo $s = jω$ , donde $j$ es la unidad imaginaria . Tomando la magnitud de la ecuación anterior con esta sustitución:

{\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\,\omega C\,}}\right)^{2}}}\,}}\;.

y la corriente en función de $ω$ se puede encontrar a partir de

{\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\bigl |}V(j\omega ){\bigr |}\;.

Existe un valor máximo de $| I (jω) |$ . El valor de $ω$ en este pico es, en este caso particular, igual a la frecuencia de resonancia natural no amortiguada. ^{[ 17 ]} Esto significa que la tensión máxima a través de la resistencia, y por lo tanto la disipación máxima de calor, se produce en la frecuencia natural.

\omega _{0}={\frac {1}{\,{\sqrt {L\ C\ }}\,}}\;.

A partir de la respuesta en frecuencia de la corriente, también se puede determinar la respuesta en frecuencia de las tensiones a través de los distintos elementos del circuito (véase la figura). Además, la tensión máxima a través del condensador se produce a una frecuencia

\omega _{C}={\frac {\ {\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}}}\ }{L}}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}\;,

mientras que el voltaje máximo a través del inductor se produce en

\omega _{L}={\frac {1}{\ C{\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}\ }}\ }}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}\;,

dónde $\zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}$ para un circuito RLC en serie, como se muestra arriba.

Contiene: $\omega _{C}<\omega _{0}<\omega _{L}$ .

Circuito paralelo

Las propiedades del circuito RLC en paralelo se derivan de la dualidad de los circuitos eléctricos, considerando que el RLC en paralelo es la impedancia dual de un RLC en serie. En consecuencia, las ecuaciones diferenciales que describen este circuito son idénticas a las que describen un RLC en serie.

Para el circuito en paralelo, la atenuación $α$ viene dada por ^{[ 18 ].}

\alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}

y el factor de amortiguación es, en consecuencia

\zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.

Asimismo, los otros parámetros escalados, el ancho de banda fraccional y $Q,$ también son recíprocos entre sí. Esto significa que un circuito de banda ancha y $Q$ bajo en una topología se convertirá en un circuito de banda estrecha y $Q$ alto en la otra topología cuando se construya a partir de componentes con valores idénticos. El ancho de banda fraccional y $Q$ del circuito paralelo vienen dados por

{\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}

Nótese que las fórmulas que se muestran aquí son las recíprocas de las fórmulas para el circuito en serie, dadas anteriormente.

dominio de frecuencia

La admitancia compleja de este circuito se obtiene sumando las admitancias de los componentes:

{\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}

El cambio de una configuración en serie a una configuración en paralelo da como resultado que el circuito tenga un pico de impedancia en resonancia en lugar de un mínimo, por lo que el circuito es un antirresonador.

El gráfico de la derecha muestra que hay un mínimo en la respuesta en frecuencia de la corriente en la frecuencia de resonancia. $~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~$ cuando el circuito se alimenta con un voltaje constante. Por otro lado, si se alimenta con una corriente constante, habría un máximo en el voltaje que seguiría la misma curva que la corriente en el circuito en serie.

Otras configuraciones

Una resistencia en serie con el inductor en un circuito LC paralelo, como se muestra en la Figura 4, es una topología común donde es necesario tener en cuenta la resistencia del devanado de la bobina y su autocapacitancia. Los circuitos LC paralelos se utilizan frecuentemente para el filtrado de paso de banda y el $factor Q$ está determinado en gran medida por esta resistencia. La frecuencia de resonancia de este circuito es ^{[ 19 ].}

\ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-\left({\frac {R}{\ L\ }}\right)^{2}~}}\ .

Esta es la frecuencia de resonancia del circuito, definida como la frecuencia en la que la admitancia tiene parte imaginaria cero. La frecuencia que aparece en la forma generalizada de la ecuación característica (que es la misma para este circuito que anteriormente).

\ s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0\

no es la misma frecuencia. En este caso es la frecuencia de resonancia natural, sin amortiguación : ^{[ 20 ]}

\ \omega '_{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {LC~}}\ }}\ .

La frecuencia $ω max$ , en la que la magnitud de la impedancia es máxima, viene dada por ^{[ 21 ].}

\ \omega _{\mathrm {max} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{L}^{2}\ ~}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{L}^{2}\ }}~}}~}}\ ,

donde $Q L \equiv ⁠ ω' 0 L / R ⁠$ es el factor de calidad de la bobina. Esto se puede aproximar bien mediante ^{[ 21 ].}

\ \omega _{\mathrm {max} }\approx \omega '_{0}\ {\sqrt {1-{\frac {1}{\ 2Q_{L}^{4}\ }}~}}\ .

Además, la magnitud máxima exacta de la impedancia viene dada por ^{[ 21 ].}

\ |Z|_{\mathrm {max} }={\frac {RQ_{L}^{2}}{\ {\sqrt {2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2\ }}-\left(2Q_{L}^{2}+1\right)~}}\ }}={\frac {RQ_{L}}{\ {\sqrt {2{\sqrt {1+2/Q_{L}^{2}\ }}-\left(2+1/Q_{L}^{2}\right)~}}\ }}\ .

Para valores de $\ Q_{L}\gg 1\ ,$ Esto se puede aproximar bien mediante ^{[ 21 ].}

\ |Z|_{\mathrm {max} }\approx RQ_{L}^{2}\ .

En la misma línea, una resistencia en paralelo con el condensador en un circuito LC en serie puede usarse para representar un condensador con un dieléctrico con pérdidas. Esta configuración se muestra en la Figura 5. La frecuencia de resonancia (frecuencia a la que la impedancia tiene parte imaginaria cero) en este caso viene dada por ^{[ 22 ].}

\ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-{\frac {1}{\ (RC)^{2}\ }}\ }}\ ,

mientras que la frecuencia $ω m$ en la que la magnitud de la impedancia es mínima viene dada por

\ \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{C}^{2}\ }}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{C}^{2}\ }}\ }}\ }}\ ,

donde $Q C = ω' 0 RC$ .

Historia

La primera evidencia de que un condensador podía producir oscilaciones eléctricas fue descubierta en 1826 por el científico francés Felix Savary . ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} Descubrió que cuando una botella de Leyden se descargaba a través de un alambre enrollado alrededor de una aguja de hierro, a veces la aguja quedaba magnetizada en una dirección y otras veces en la dirección opuesta. Dedujo correctamente que esto era causado por una corriente de descarga oscilante amortiguada en el alambre, que invertía la magnetización de la aguja de un lado a otro hasta que era demasiado pequeña para tener efecto, dejando la aguja magnetizada en una dirección aleatoria.

El físico estadounidense Joseph Henry repitió el experimento de Savary en 1842 y llegó a la misma conclusión, aparentemente de forma independiente. ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]} El científico británico William Thomson (Lord Kelvin) demostró matemáticamente en 1853 que la descarga de una botella de Leyden a través de una inductancia debería ser oscilatoria y derivó su frecuencia de resonancia. ^{[ 23 ]}^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

El investigador británico de radio Oliver Lodge , al descargar una gran batería de botellas de Leyden a través de un cable largo, creó un circuito sintonizado con su frecuencia resonante en el rango de audio, que produjo un tono musical a partir de la chispa cuando se descargó. ^{[ 25 ]} En 1857, el físico alemán Berend Wilhelm Feddersen fotografió la chispa producida por un circuito resonante de botellas de Leyden en un espejo giratorio, proporcionando evidencia visible de las oscilaciones. ^{[ 23 ]}^{[ 25 ]}^{[ 26 ]} En 1868, el físico escocés James Clerk Maxwell calculó el efecto de aplicar una corriente alterna a un circuito con inductancia y capacitancia, mostrando que la respuesta es máxima en la frecuencia resonante. ^{[ 23 ]}

El primer ejemplo de una curva de resonancia eléctrica fue publicado en 1887 por el físico alemán Heinrich Hertz en su artículo pionero sobre el descubrimiento de las ondas de radio, mostrando la longitud de la chispa que se puede obtener de sus detectores resonadores LC de descarga de chispa en función de la frecuencia. ^{[ 23 ]}

Una de las primeras demostraciones de resonancia entre circuitos sintonizados fue el experimento de Lodge con las "botellas sintónicas" alrededor de 1889 ^{[ 23 ]}^{[ 25 ].} Colocó dos circuitos resonantes uno al lado del otro, cada uno compuesto por una botella de Leyden conectada a una bobina ajustable de una vuelta con un espacio de chispa. Cuando se aplicaba un alto voltaje de una bobina de inducción a un circuito sintonizado, creando chispas y, por lo tanto, corrientes oscilantes, las chispas se excitaban en el otro circuito sintonizado solo cuando los inductores estaban ajustados a resonancia. Lodge y algunos científicos ingleses prefirieron el término " sintonía " para este efecto, pero el término " resonancia " finalmente se impuso. ^{[ 23 ]}

El primer uso práctico de los circuitos RLC se dio en la década de 1890 en transmisores de radio de chispa para permitir la sintonización del receptor con el transmisor. La primera patente para un sistema de radio que permitía la sintonización fue presentada por Lodge en 1897, aunque los primeros sistemas prácticos fueron inventados en 1900 por el pionero de la radio anglo-italiano Guglielmo Marconi . ^{[ 23 ]}

Aplicaciones

circuitos de sintonización variable

Un uso muy frecuente de estos circuitos se encuentra en los circuitos de sintonización de las radios analógicas. La sintonización ajustable se logra comúnmente con un condensador variable de placas paralelas, que permite cambiar el valor de $C y sintonizar estaciones en diferentes frecuencias. Para la$ etapa de FI en la radio, donde la sintonización viene preajustada de fábrica, la solución más habitual es un núcleo ajustable en el inductor para regular $L.$ En este diseño, el núcleo (fabricado con un material de alta permeabilidad que aumenta la inductancia) está roscado para que pueda enroscarse o desenroscarse del bobinado del inductor según sea necesario.

Filtros

En la aplicación de filtrado, la resistencia actúa como la carga sobre la que trabaja el filtro. El valor del factor de amortiguación se elige en función del ancho de banda deseado del filtro. Para un ancho de banda mayor, se requiere un factor de amortiguación mayor (y viceversa). Los tres componentes ofrecen al diseñador tres grados de libertad. Dos de ellos son necesarios para ajustar el ancho de banda y la frecuencia de resonancia. Al diseñador le queda un grado de libertad que puede utilizarse para escalar $R$ , $L$ y $C$ a valores prácticos convenientes. Alternativamente, $R$ puede predeterminarse mediante el circuito externo, que utilizará el último grado de libertad.

Filtro de paso bajo

Un circuito RLC puede utilizarse como filtro paso bajo. La configuración del circuito se muestra en la Figura 6. La frecuencia de corte, es decir, la frecuencia del punto de 3 dB, viene dada por

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.

Este es también el ancho de banda del filtro. El factor de amortiguación viene dado por ^{[ 27 ].}

\zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.

Filtro de paso alto

En la figura 7 se muestra un filtro de paso alto. La frecuencia de corte es la misma que la del filtro de paso bajo:

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.

El filtro tiene una banda de rechazo de este ancho. ^{[ 28 ]}

Filtro de paso de banda

Se puede formar un filtro paso banda con un circuito RLC colocando un circuito LC en serie con la resistencia de carga o bien colocando un circuito LC en paralelo con la resistencia de carga. Estas configuraciones se muestran en las figuras 8 y 9, respectivamente. La frecuencia central viene dada por

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,

y el ancho de banda para el circuito en serie es ^{[ 29 ]}

\Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.

La versión en derivación del circuito está diseñada para ser alimentada por una fuente de alta impedancia , es decir, una fuente de corriente constante . En esas condiciones, el ancho de banda es ^{[ 29 ].}

\Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.

Filtro de rechazo de banda

La figura 10 muestra un filtro de rechazo de banda formado por un circuito LC en serie conectado en paralelo a la carga. La figura 11 muestra un filtro de rechazo de banda formado por un circuito LC en paralelo conectado en serie con la carga. El primer caso requiere una fuente de alta impedancia para que la corriente se desvíe hacia el resonador cuando su impedancia disminuye en resonancia. El segundo caso requiere una fuente de baja impedancia para que la tensión disminuya en el antirresonador cuando su impedancia disminuye en resonancia. ^{[ 30 ]}

osciladores

En aplicaciones de circuitos osciladores, generalmente se busca minimizar la atenuación (o, equivalentemente, el factor de amortiguación). En la práctica, esto implica reducir al mínimo la resistencia $R del circuito en serie, o bien$ $aumentarla$ al máximo en paralelo. En ambos casos, el circuito RLC se convierte en una buena aproximación a un circuito LC ideal . Sin embargo, para circuitos con muy baja atenuación ( factor $Q$ elevado ), pueden surgir problemas como las pérdidas dieléctricas de bobinas y condensadores.

En un circuito oscilador

\alpha \ll \omega _{0}\,,

o equivalentemente

\zeta \ll 1\,.

Como resultado,

\omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.

multiplicador de voltaje

En un circuito RLC en serie en resonancia, la corriente está limitada únicamente por la resistencia del circuito.

I={\frac {V}{R}}\,.

Si $R$ es pequeño, compuesto únicamente por la resistencia del devanado del inductor, por ejemplo, entonces esta corriente será grande. Caerá un voltaje a través del inductor de

V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.

También se observará una tensión de igual magnitud a través del condensador, pero en antifase con respecto al inductor. Si $R$ se puede hacer suficientemente pequeño, estas tensiones pueden ser varias veces la tensión de entrada. La relación de tensiones es, de hecho, el $factor Q$ del circuito.

{\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.

Se observa un efecto similar con las corrientes en el circuito en paralelo. Aunque el circuito parezca tener una alta impedancia para la fuente externa, circula una gran corriente en el bucle interno del inductor y el condensador en paralelo.

Circuito de descarga de pulsos

Un circuito RLC en serie sobreamortiguado puede utilizarse como circuito de descarga de pulsos. A menudo es útil conocer los valores de los componentes que podrían utilizarse para producir una forma de onda. Esto se describe mediante la forma

I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.

Dicho circuito podría constar de un condensador de almacenamiento de energía, una carga en forma de resistencia, una inductancia de circuito y un interruptor, todo en serie. Las condiciones iniciales son que el condensador esté a un voltaje $V₀$ $y$ que no circule corriente por el inductor. Si se conoce la inductancia $L$ , los parámetros restantes vienen dados por lo siguiente: capacitancia:

C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,

resistencia (total del circuito y la carga):

R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,

Tensión inicial en los terminales del condensador:

V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.

Reordenando para el caso en que $R$ es conocida – capacitancia:

C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,

inductancia (total del circuito y la carga):

L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,

Tensión inicial en los terminales del condensador:

V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.

Véase también

Notas

↑ La respuesta RLC al voltaje de excitación ocurre a la frecuencia de oscilación sin pérdidas, $\ {\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\ }}\ }}\ ,$ Aunque pueda existir una resistencia de pérdida $R$ , la resonancia impulsada no se produce a la frecuencia de oscilación libre amortiguada, sino que se aplica una fórmula más compleja (véase más abajo) que produce un valor reducido debido a la amortiguación ( $R$ ), la cual solo se aplica a oscilaciones libres (sin señal de excitación).

Referencias

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↑ Esta sección se basa en el Ejemplo 4.2.13 de Debnath, Lokenath; Bhatta, Dambaru (2007). Transformadas Integrales y sus Aplicaciones (2.ª ed.). Chapman & Hall/CRC. págs. 198–202 . ISBN 978-1-58488-575-7.(Algunas anotaciones se han modificado para adaptarlas al resto del artículo).
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[2] La respuesta RLC al voltaje de excitación ocurre a la frecuencia de oscilación sin pérdidas, $\ {\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\ }}\ }}\ ,$ Aunque pueda existir una resistencia de pérdida $R$ , la resonancia impulsada no se produce a la frecuencia de oscilación libre amortiguada, sino que se aplica una fórmula más compleja (véase más abajo) que produce un valor reducido debido a la amortiguación ( $R$ ), la cual solo se aplica a oscilaciones libres (sin señal de excitación).

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[4] Nilsson y Riedel, pág. 308.

[5] Agarwal y Lang, pág. 641.

[6] Agarwal y Lang, pág. 646.

[7] Irwin, págs. 217–220.

[Argawal656-8] 1 2 Agarwal y Lang, pág. 656.

[9] Nilsson y Riedel, págs. 287–288.

[10] Irwin, pág. 532.

[11] Agarwal y Lang, pág. 648.

[Nilsson295-12] 1 2 Nilsson y Riedel, pág. 295.

[13] Humar, págs. 223–224.

[14] Agarwal y Lang, pág. 692.

[15] Nilsson y Riedel, pág. 303.

[16] Irwin, pág. 220.

[17] Esta sección se basa en el Ejemplo 4.2.13 de Debnath, Lokenath; Bhatta, Dambaru (2007). Transformadas Integrales y sus Aplicaciones (2.ª ed.). Chapman & Hall/CRC. págs. 198–202 . ISBN 978-1-58488-575-7.(Algunas anotaciones se han modificado para adaptarlas al resto del artículo).

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[19] Nilsson y Riedel, pág. 286.

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[28] Kaiser, págs. 7.14–7.16.

[29] Kaiser, pág. 7.21.

[Kaiser,_pp._7.21–7.27-30] 1 2 Kaiser, págs. 7.21–7.27.

[31] Kaiser, págs. 7.30–7.34.

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