Coeficiente de determinación

En términos generales, se puede observar que R² está relacionado con la fracción de varianza no explicada (FVU), ya que el segundo término compara la varianza no explicada (varianza de ^los errores del modelo) con la varianza total (de los datos): $${\displaystyle R^{2}=1-{\text{FVU}}}$$

Un valor mayor de R² implica un modelo de regresión más exitoso. ^{[ 4 ] : ​​463} Supongamos que ^R² = 0,49 . Esto implica que se ha explicado ^el 49% de la variabilidad de la variable dependiente en el conjunto de datos, y el 51% restante de la variabilidad aún no se ha explicado. Para los modelos de regresión, la suma de cuadrados de la regresión, también llamada suma de cuadrados explicada , se define como

${\displaystyle SS_{\text{reg}}=\sum _{i}(f_{i}-{\bar {y}})^{2}}$

En algunos casos, como en la regresión lineal simple , la suma total de cuadrados es igual a la suma de las otras dos sumas de cuadrados definidas anteriormente:

${\displaystyle SS_{\text{res}}+SS_{\text{reg}}=SS_{\text{tot}}}$

Consulte Particionamiento en el modelo OLS general para una derivación de este resultado para un caso en el que se cumple la relación. Cuando se cumple esta relación, la definición anterior de R ² es equivalente a

${\displaystyle R^{2}={\frac {SS_{\text{reg}}}{SS_{\text{tot}}}}={\frac {SS_{\text{reg}}/n}{SS_{\text{tot}}/n}}}$

donde n es el número de observaciones (casos) de las variables.

En esta forma, R ² se expresa como la razón entre la varianza explicada (varianza de las predicciones del modelo, que es SS _reg / n ) y la varianza total (varianza muestral de la variable dependiente, que es SS _tot / n ).

Esta partición de la suma de cuadrados se cumple, por ejemplo, cuando los valores del modelo ƒ _i se han obtenido mediante regresión lineal . Una condición suficiente más suave se lee de la siguiente manera: El modelo tiene la forma

${\displaystyle f_{i}={\widehat {\alpha }}+{\widehat {\beta }}q_{i}}$

donde los q _i son valores arbitrarios que pueden o no depender de i o de otros parámetros libres (la elección común q _i  = x _i es solo un caso especial), y las estimaciones de los coeficientes ${\displaystyle {\widehat {\alpha }}}$y${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$se obtienen minimizando la suma residual de los cuadrados.

Este conjunto de condiciones es importante y tiene varias implicaciones para las propiedades de los residuos ajustados y los valores modelados. En particular, bajo estas condiciones:

${\displaystyle {\bar {f}}={\bar {y}}.\,}$

En la regresión múltiple ^de mínimos cuadrados lineales (con intercepto y pendiente ajustados), R² es igual a${\displaystyle \rho ^{2}(y,f)}$el cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson entre los observados${\displaystyle y}$y modelado (predicho)${\displaystyle f}$valores de datos de la variable dependiente.

En una regresión lineal de mínimos cuadrados con un solo explicativo (con intercepto y pendiente ajustados), esto también es igual a ${\displaystyle \rho ^{2}(y,x)}$el coeficiente de correlación de Pearson al cuadrado entre la variable dependiente${\displaystyle y}$y variable explicativa${\displaystyle x}$.

No debe confundirse con el coeficiente de correlación entre dos variables explicativas , definido como

${\displaystyle \rho _{{\widehat {\alpha }},{\widehat {\beta }}}={\operatorname {cov} \left({\widehat {\alpha }},{\widehat {\beta }}\right) \over \sigma _{\widehat {\alpha }}\sigma _{\widehat {\beta }}},}$

donde la covarianza entre dos estimaciones de coeficientes, así como sus desviaciones estándar , se obtienen de la matriz de covarianza de las estimaciones de coeficientes,${\displaystyle (X^{T}X)^{-1}}$.

En condiciones de modelado más generales, donde los valores predichos podrían generarse a partir de un modelo diferente de la regresión lineal de mínimos cuadrados, se puede calcular un ^valor R² como el cuadrado del coeficiente de correlación entre los valores originales.${\displaystyle y}$y modelado${\displaystyle f}$valores de datos. En este caso, el valor no es directamente una medida de cuán buenos son los valores modelados, sino más bien una medida de cuán bueno podría ser un predictor construido a partir de los valores modelados (al crear un predictor revisado de la forma α + βƒ _i ). ^{[ 10 ]} Según Everitt, ^{[ 11 ]} este uso es específicamente la definición del término "coeficiente de determinación": el cuadrado de la correlación entre dos variables (generales).

Consideremos un modelo lineal con más de una variable explicativa , de la forma

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}X_{i,j}+\varepsilon _{i},}$

donde, para el i- ésimo caso,${\displaystyle {Y_{i}}}$es la variable de respuesta,${\displaystyle X_{i,1},\dots ,X_{i,p}}$son pre regresores y${\displaystyle \varepsilon _{i}}$es un término de error medio cero . Las cantidades${\displaystyle \beta _{0},\dots ,\beta _{p}}$son coeficientes desconocidos, cuyos valores se estiman por mínimos cuadrados . El coeficiente de determinación R² es una medida del ajuste global del modelo. Específicamente, R² es un elemento de [0, 1 ^] y representa la proporción de variabilidad en _Yᵢ que puede atribuirse a alguna combinación lineal de los regresores ( ^{variables explicativas} ) en X. ^{[ 14} ] 

R² se interpreta a menudo como la proporción de variación ^de respuesta "explicada" por los regresores en el modelo. Por lo tanto, R² = 1 indica que el modelo ajustado explica toda la variabilidad ^en  ${\displaystyle y}$, mientras que R ²  =  0 indica que no hay relación 'lineal' (para la regresión de línea recta, esto significa que el modelo de línea recta es una línea constante (pendiente  =  0, intersección  = ${\displaystyle {\bar {y}}}$^{) entre la variable de} respuesta y los regresores). Un valor interno como R² = 0,7 puede interpretarse de la siguiente manera: "El setenta por ciento de la varianza en la variable de respuesta puede explicarse mediante las variables explicativas. El treinta por ciento restante puede atribuirse a variables desconocidas, ocultas o a la variabilidad inherente."  

Una advertencia que se aplica al R² , al igual que a otras descripciones estadísticas de correlación y asociación ^, es que " la correlación no implica causalidad ". En otras palabras, si bien las correlaciones a veces pueden proporcionar pistas valiosas para descubrir relaciones causales entre variables, una correlación estimada distinta de cero entre dos variables no es, por sí sola, evidencia de que cambiar el valor de una variable resultaría en cambios en los valores de otras variables. Por ejemplo, la práctica de llevar cerillas (o un encendedor) está correlacionada con la incidencia de cáncer de pulmón, pero llevar cerillas no causa cáncer (en el sentido estándar de "causa").

En el caso de un único regresor, ajustado por mínimos cuadrados, R² es el cuadrado del coeficiente ^de correlación de Pearson entre el regresor y la variable de respuesta. De forma más general, R² es el cuadrado de la correlación entre el predictor construido y la variable ^de respuesta. Con más de un regresor, R² se denomina coeficiente de ^{determinación} múltiple .

En la regresión por mínimos cuadrados con datos típicos, R² aumenta, al menos ligeramente, con el incremento del número de regresores en el modelo. Dado que el aumento del número de regresores incrementa el valor de ^{R² ,} este valor por ^sí solo no permite una comparación significativa entre modelos con un número muy diferente de variables independientes. Para una comparación significativa entre dos modelos, se puede realizar una _prueba F sobre la suma de cuadrados de los residuos , similar a las pruebas F en causalidad de Granger ^, aunque esto no siempre es apropiado . Como recordatorio, algunos autores denotan R² como Rq² , donde q es el número de columnas en X (el número de explicaciones, incluyendo la constante) ^.

Para demostrar esta propiedad, primero recordemos que el objetivo de la regresión lineal por mínimos cuadrados es

${\displaystyle \min _{b}SS_{\text{res}}(b)\Rightarrow \min _{b}\sum _{i}(y_{i}-X_{i}b)^{2}\,}$

donde X _i es un vector fila de valores de variables explicativas para el caso i y b es un vector columna de coeficientes de los elementos respectivos de X _i .

El valor óptimo del objetivo es ligeramente menor a medida que se agregan más variables explicativas y, por lo tanto, columnas adicionales de${\displaystyle X}$(la matriz de datos explicativos cuya i- ésima fila es X _i ) se suman, por el hecho de que la minimización menos restringida conduce a un costo óptimo que es ligeramente menor que la minimización más restringida. Dada la conclusión anterior y teniendo en cuenta que${\displaystyle SS_{tot}}$depende únicamente de y , la propiedad no decreciente de R ² se deduce directamente de la definición anterior.

La razón intuitiva por la que usar una variable explicativa adicional no puede reducir el ^R² es esta: Minimizar${\displaystyle SS_{\text{res}}}$^Esto equivale a maximizar R² ^. Cuando se incluye la variable adicional, los datos siempre tienen la opción de darle un coeficiente estimado de cero, dejando los valores predichos y el R² sin cambios. La única forma en que el problema de optimización dará un coeficiente distinto de cero es si al hacerlo se mejora el R² ^. 

Lo anterior ofrece una explicación analítica de la inflación de R² ^. A continuación, se muestra un ejemplo basado en mínimos cuadrados ordinarios desde una perspectiva geométrica. ^{[ 15 ]}

Un caso sencillo que conviene considerar primero:

${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}\cdot X_{1}+\varepsilon \,}$

Esta ecuación describe el modelo de regresión de mínimos cuadrados ordinarios con un regresor. La predicción se muestra como el vector rojo en la figura de la derecha. Geométricamente, es la proyección del valor verdadero sobre un espacio de modelo en${\displaystyle \mathbb {R} }$(sin intersección). El residuo se muestra como la línea roja.

${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{1}\cdot X_{1}+\beta _{2}\cdot X_{2}+\varepsilon \,}$

Esta ecuación corresponde al modelo de regresión de mínimos cuadrados ordinarios con dos regresores. La predicción se muestra como el vector azul en la figura de la derecha. Geométricamente, es la proyección del valor verdadero sobre un espacio de modelo más grande en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(sin intersección). Cabe destacar que los valores de${\displaystyle \beta _{0}}$y${\displaystyle \beta _{0}}$no son lo mismo que en la ecuación para un espacio de modelo más pequeño siempre que${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$no son vectores nulos. Por lo tanto, se espera que las ecuaciones produzcan predicciones diferentes (es decir, se espera que el vector azul sea diferente del vector rojo). El criterio de regresión de mínimos cuadrados garantiza que el residuo se minimice. En la figura, la línea azul que representa el residuo es ortogonal al espacio del modelo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, lo que proporciona la distancia mínima desde el espacio.

El espacio del modelo más pequeño es un subespacio del más grande, y por lo tanto, el residuo del modelo más pequeño está garantizado para ser mayor. Comparando las líneas roja y azul en la figura, la línea azul es ortogonal al espacio, y cualquier otra línea sería mayor que la azul. Considerando el cálculo para R ² , un valor menor de${\displaystyle SS_{tot}}$esto dará lugar a un mayor valor de R ² , lo que significa que añadir regresores provocará una inflación de R ² .

R ² no indica si:

• Las variables independientes son la causa de los cambios en la variable dependiente ;
• Existe sesgo por variables omitidas ;
• Se utilizó la regresión correcta ;
• Se ha elegido el conjunto más apropiado de variables independientes;
• Existe colinealidad en los datos de las variables explicativas;
• El modelo podría mejorarse utilizando versiones transformadas del conjunto existente de variables independientes;
• Hay suficientes datos para llegar a una conclusión sólida;
• Hay algunos valores atípicos en una muestra que, por lo demás, es buena.

El uso de un R ² ajustado (una notación común es${\displaystyle {\bar {R}}^{2}}$, pronunciado "R barra al cuadrado"; otro es${\displaystyle R_{\text{a}}^{2}}$o${\displaystyle R_{\text{adj}}^{2}}$) es un intento de explicar el fenómeno del aumento automático del ^R² cuando se añaden variables explicativas adicionales al modelo. Hay muchas formas diferentes de ajustarlo. ^{[ 16 ]} La más utilizada, hasta el punto de que normalmente se la denomina simplemente R² ajustado , es la corrección propuesta por Mordecai Ezekiel . ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] El} R² ajustado se define como

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}={1-{SS_{\text{res}}/{\text{df}}_{\text{res}} \over SS_{\text{tot}}/{\text{df}}_{\text{tot}}}}}$

donde df _res son los grados de libertad de la estimación de la varianza poblacional alrededor del modelo, y df _tot son los grados de libertad de la estimación de la varianza poblacional alrededor de la media. df _res se da en términos del tamaño de la muestra n y el número de variables p en el modelo, df _res = n − p − 1. df _tot se da de la misma manera, pero con p siendo cero para la media (es decir, df _tot = n − 1 ).

Insertando los grados de libertad y utilizando la definición de ^R² , se puede reescribir como:

${\displaystyle {\bar {R}}^{2}=1-(1-R^{2}){n-1 \over n-p-1}}$

donde p es el número total de variables explicativas en el modelo (excluyendo el término independiente) y n es el tamaño de la muestra.

^El R² ajustado puede ser negativo, y su valor siempre será menor o igual que el de R² . A diferencia de ^{R² ,} el R² ajustado aumenta solo cuando el incremento en R² (debido a la inclusión de una nueva variable explicativa ⁾ es mayor de lo que cabría esperar por azar. Si se introduce un conjunto de variables explicativas con una jerarquía de importancia predeterminada en una regresión, calculando el R² ajustado en ^{cada caso} , el nivel en el que el R² ajustado ^alcanza un máximo y luego disminuye correspondería a la regresión con la combinación ideal de mejor ajuste sin términos superfluos o innecesarios.

El R² ^ajustado puede interpretarse como un ejemplo de la relación entre sesgo y varianza . Al considerar el rendimiento de un modelo, un error menor representa un mejor rendimiento. A medida que el modelo se vuelve más complejo, la varianza aumenta, mientras que el cuadrado del sesgo disminuye, y estas dos métricas se suman para formar el error total. Al combinar estas dos tendencias, la relación entre sesgo y varianza describe una relación entre el rendimiento del modelo y su complejidad, representada por una curva en forma de U a la derecha. En el caso específico del R² ajustado ^, la complejidad del modelo (es decir ^, el número de parámetros) afecta al R² y al término/fracción, reflejando así sus atributos en el rendimiento general del modelo.

R² puede interpretarse como la varianza del modelo, la cual está influenciada por su complejidad. Un R² ^{alto indica un menor error de sesgo ,} ya que el modelo explica mejor el cambio de Y con los predictores. Por esta razón, se realizan menos suposiciones (erróneas), lo que resulta en un menor error de sesgo. Sin embargo, para incorporar menos suposiciones, el modelo tiende a ser más complejo. En función del equilibrio entre sesgo y varianza, una mayor complejidad conlleva una disminución del sesgo y un mejor rendimiento (por debajo de la línea óptima). En R² , el término ( 1 − R² ) será menor con una mayor complejidad, lo que resulta en un R² más alto ^{e indica} consistentemente ^un mejor rendimiento.

Por otro lado, el término/fracción se ve afectado inversamente por la complejidad del modelo. El término/fracción aumentará al añadir regresores (es decir, al aumentar la complejidad del modelo) y conllevará un peor rendimiento. Basándonos en la relación entre sesgo y varianza, una mayor complejidad del modelo (más allá de la línea óptima) conlleva un aumento de los errores y un peor rendimiento.

Considerando el cálculo de R² , un mayor número de parámetros incrementará R² y ^, por lo tanto, ^R² . Sin embargo, añadir más parámetros incrementará el término/fracción y, en consecuencia, disminuirá ^R² . ^{Estas dos tendencias generan una relación en forma de U} invertida entre la complejidad del modelo y R² , lo cual es consistente con la tendencia en forma de U de la complejidad del modelo frente al rendimiento general. A diferencia de ^{R² ,} que siempre aumenta al incrementarse la complejidad del modelo, R² solo aumentará cuando el sesgo eliminado por el regresor añadido sea mayor que la varianza introducida simultáneamente. Por lo tanto, usar ^{R² en} lugar de R² podría prevenir ^el sobreajuste.

Siguiendo la misma lógica, el R² ajustado ^puede interpretarse como un estimador menos sesgado del R² ^poblacional , mientras que el R² muestral observado es una estimación con sesgo positivo del valor poblacional. ^{[ 19 ]} El R² ^ajustado es más apropiado al evaluar el ajuste del modelo (la varianza en la variable dependiente explicada por las variables independientes) y al comparar modelos alternativos en la etapa de selección ^de características de la construcción del modelo. ^{[ 19 ]}

El principio que subyace al estadístico R² ajustado ^se puede observar al reescribir el R² ^ordinario como

${\displaystyle R^{2}={1-{{\text{VAR}}_{\text{res}} \over {\text{VAR}}_{\text{tot}}}}}$

dónde${\displaystyle {\text{VAR}}_{\text{res}}=SS_{\text{res}}/n}$y${\displaystyle {\text{VAR}}_{\text{tot}}=SS_{\text{tot}}/n}$son las varianzas muestrales de los residuos estimados y de la variable dependiente, respectivamente, que pueden considerarse estimaciones sesgadas de las varianzas poblacionales de los errores y de la variable dependiente. Estas estimaciones se reemplazan por versiones estadísticamente insesgadas :${\displaystyle {\text{VAR}}_{\text{res}}=SS_{\text{res}}/(n-p)}$y${\displaystyle {\text{VAR}}_{\text{tot}}=SS_{\text{tot}}/(n-1)}$.

A pesar de utilizar estimadores insesgados para las varianzas poblacionales del error y la variable dependiente, el R² ajustado ^no es un estimador insesgado del R² ^poblacional , ^{[ 19 ]} que resulta de usar las varianzas poblacionales de los errores y la variable dependiente en lugar de estimarlas. Ingram Olkin y John W. Pratt derivaron el estimador insesgado de varianza mínima para el R² poblacional , ^{[ 20 ]} que se conoce como estimador de Olkin-Pratt. Las comparaciones de diferentes enfoques para ajustar ^el R² concluyeron que en la mayoría de las situaciones se debería preferir una versión aproximada del estimador de Olkin-Pratt ^{[ 19 ]} o el estimador exacto de Olkin-Pratt ^{[ 21 ] sobre} el R² ajustado ( ^Ezekiel ) .

El coeficiente de determinación parcial se define como la proporción de variación que no puede explicarse en un modelo reducido, pero sí mediante los predictores especificados en un modelo completo. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} Este coeficiente se utiliza para determinar si uno o más predictores adicionales podrían ser útiles en un modelo de regresión más completo.

El cálculo del R² ^parcial es relativamente sencillo después de estimar dos modelos y generar las tablas ANOVA para ellos. El cálculo del R² ^parcial es

${\displaystyle {\frac {SS_{\text{ res, reduced}}-SS_{\text{ res, full}}}{SS_{\text{ res, reduced}}}},}$

lo cual es análogo al coeficiente de determinación habitual:

${\displaystyle {\frac {SS_{\text{tot}}-SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}}.}$

^{Como se explicó anteriormente, las heurísticas de selección de modelos ,} como el criterio R² ajustado y la prueba F, ^examinan si el R² total aumenta lo suficiente como para determinar si se debe agregar un nuevo regresor al modelo. Si se agrega un regresor que está altamente correlacionado con otros regresores ya incluidos, el R² ^total apenas aumentará, incluso si el nuevo regresor es relevante. En consecuencia, las heurísticas mencionadas anteriormente ignorarán regresores relevantes cuando las correlaciones cruzadas sean altas. ^{[ 25 ]}

Alternativamente, se puede descomponer una versión generalizada de ^R² para cuantificar la relevancia de desviarse de una hipótesis. ^{[ 25 ]} Como muestra Hoornweg (2018), varios estimadores de contracción , como la regresión lineal bayesiana , la regresión de cresta y el lasso (adaptativo) , utilizan esta descomposición de R² cuando reducen gradualmente los parámetros desde las soluciones MCO no restringidas hacia los valores hipotetizados. Definamos primero el modelo de regresión lineal ^como

${\displaystyle y=X\beta +\varepsilon .}$

Se supone que la matriz X está estandarizada con puntuaciones Z y que el vector columna${\displaystyle y}$está centrado para tener una media de cero. Sea el vector columna${\displaystyle \beta _{0}}$Consulte los parámetros de regresión hipotetizados y sea el vector columna${\displaystyle b}$denotemos los parámetros estimados. Entonces podemos definir

${\displaystyle R^{2}=1-{\frac {(y-Xb)'(y-Xb)}{(y-X\beta _{0})'(y-X\beta _{0})}}.}$

Un R ² del 75% significa que la precisión dentro de la muestra mejora en un 75% si se utilizan las soluciones b optimizadas con datos en lugar de las hipotetizadas.${\displaystyle \beta _{0}}$valores. En el caso especial que${\displaystyle \beta _{0}}$es un vector de ceros, obtenemos nuevamente el R ² tradicional .

El efecto individual sobre R ² de desviarse de una hipótesis se puede calcular con${\displaystyle R^{\otimes }}$('R-exterior'). Este${\displaystyle p}$veces${\displaystyle p}$La matriz viene dada por

${\displaystyle R^{\otimes }=(X'{\tilde {y}}_{0})(X'{\tilde {y}}_{0})'(X'X)^{-1}({\tilde {y}}_{0}'{\tilde {y}}_{0})^{-1},}$

dónde${\displaystyle {\tilde {y}}_{0}=y-X\beta _{0}}$. Los elementos diagonales de${\displaystyle R^{\otimes }}$exactamente suman R ² . Si los regresores no están correlacionados y${\displaystyle \beta _{0}}$es un vector de ceros, entonces el${\displaystyle j^{\text{th}}}$elemento diagonal de${\displaystyle R^{\otimes }}$simplemente corresponde al valor r ² entre${\displaystyle x_{j}}$y${\displaystyle y}$. Cuando los regresores${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle x_{j}}$están correlacionados,${\displaystyle R_{ii}^{\otimes }}$podría aumentar a costa de una disminución en${\displaystyle R_{jj}^{\otimes }}$. Como resultado, los elementos diagonales de${\displaystyle R^{\otimes }}$puede ser menor que 0 y, en casos más excepcionales, mayor que 1. Para lidiar con tales incertidumbres, varios estimadores de contracción toman implícitamente un promedio ponderado de los elementos diagonales de${\displaystyle R^{\otimes }}$para cuantificar la relevancia de desviarse de un valor hipotético. ^{[ 25 ]} Haga clic en el lazo para ver un ejemplo.

En el caso de la regresión logística , generalmente ajustada por máxima verosimilitud , existen varias opciones de pseudo- R ² .

Una de ellas es la R ² generalizada propuesta originalmente por Cox y Snell, ^{[ 26 ]} e independientemente por Magee: ^{[ 27 ]}

${\displaystyle R^{2}=1-\left({{\mathcal {L}}(0) \over {\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})}\right)^{2/n}}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}(0)}$es la probabilidad del modelo con solo el intercepto,${\displaystyle {{\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})}}$es la probabilidad del modelo estimado (es decir, el modelo con un conjunto dado de estimaciones de parámetros) y n es el tamaño de la muestra. Se puede reescribir fácilmente como:

${\displaystyle R^{2}=1-e^{{\frac {2}{n}}(\ln({\mathcal {L}}(0))-\ln({\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})))}=1-e^{-D/n}}$

donde D es el estadístico de prueba de la prueba de razón de verosimilitud .

Nico Nagelkerke señaló que tenía las siguientes propiedades: ^{[ 28 ] [ 23 ]}

1. Es coherente con el coeficiente de determinación clásico cuando ambos pueden calcularse;
2. Su valor se maximiza mediante la estimación de máxima verosimilitud de un modelo;
3. Es asintóticamente independiente del tamaño de la muestra;
4. La interpretación es la proporción de la variación explicada por el modelo;
5. Los valores están entre 0 y 1, donde 0 indica que el modelo no explica ninguna variación y 1 indica que explica perfectamente la variación observada;
6. No tiene ninguna unidad.

Sin embargo, en el caso de un modelo logístico, donde${\displaystyle {\mathcal {L}}({\widehat {\theta }})}$no puede ser mayor que 1, R ² está entre 0 y${\displaystyle R_{\max }^{2}=1-({\mathcal {L}}(0))^{2/n}}$: por lo tanto, Nagelkerke  sugirió la posibilidad de definir un R ² escalado como R ² / R ² _max . ^{[ 23 ]}