Prueba de razón

En matemáticas , el criterio de la razón es una prueba (o "criterio") para la convergencia de una serie.

\sum _ {n=1}^{\infty }a_ {n},

donde cada término es un número real o complejo y $n es distinto de$ cero cuando $n$ es grande. La prueba fue publicada por primera vez por Jean le Rond d'Alembert y a veces se la conoce como prueba de la razón de d'Alembert o como prueba de la razón de Cauchy . ^{[ 1 ]}

La prueba

La forma habitual de la prueba utiliza el límite

La prueba de la razón establece que:

Si L < 1, entonces la serie converge absolutamente ;
Si L > 1, entonces la serie diverge ;
Si L = 1 o el límite no existe, entonces la prueba no es concluyente, porque existen series convergentes y divergentes que satisfacen este caso.

Es posible hacer que la prueba de la razón sea aplicable a ciertos casos donde el límite L no existe, si se utilizan el límite superior y el límite inferior . Los criterios de la prueba también se pueden refinar de modo que la prueba sea a veces concluyente incluso cuando L = 1. Más específicamente, sea

R=\lim \sup \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|

r=\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|

.

Entonces, la prueba de la razón establece que: ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Si R < 1, la serie converge absolutamente;
Si r > 1, la serie diverge; o equivalentemente si $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$ para todo n grande (independientemente del valor de r ), la serie también diverge; esto se debe a que $|a_{n}|$ es distinto de cero y creciente y, por lo tanto, $n$ $no$ tiende a cero;
Por lo demás, la prueba no es concluyente.

Si el límite L en ( 1 ) existe, debemos tener L = R = r . Por lo tanto, la prueba de razón original es una versión más débil de la refinada.

Ejemplos

Convergente porque L < 1

Consideremos la serie

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}

Aplicando la prueba de la razón, se calcula el límite.

L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.

Dado que este límite es menor que 1, la serie converge.

Divergente porque L > 1

Consideremos la serie

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.

Aplicando esto a la prueba de proporción:

L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.

De este modo, la serie diverge.

No concluyente porque L = 1

Consideremos las tres series

\sum _{n=1}^{\infty }1,

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.

La primera serie ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) diverge, la segunda (la central del problema de Basilea ) converge absolutamente y la tercera (la serie armónica alternada ) converge condicionalmente. Sin embargo, las razones de magnitud término a término $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ de las tres series son $1,$ ${\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}$ y ${\frac {n}{n+1}}$ . Entonces, en los tres, el límite $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ es igual a 1. Esto ilustra que cuando L = 1, la serie puede converger o divergir: la prueba del cociente no es concluyente. En tales casos, se requieren pruebas más precisas para determinar la convergencia o divergencia.

Prueba

A continuación se muestra una prueba de la validez de la prueba de razón generalizada.

Supongamos que $r=\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$ También suponemos que $(a_{n})$ tiene infinitos miembros distintos de cero, de lo contrario la serie es solo una suma finita, por lo tanto converge. Entonces existe algún $\ell \in (1;r)$ tal que existe un número natural $n_{0}\geq 2$ satisfactorio $a_{n_{0}}\neq 0$ y $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>\ell$ a pesar de $n\geq n_{0}$ , porque si no existe tal $\ell$ entonces existe arbitrariamente grande $n$ satisfactorio $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<\ell$ por cada $\ell \in (1;r)$ , entonces podemos encontrar una subsecuencia $\left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ satisfactorio $\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n_{k}+1}}{a_{n_{k}}}}\right|\leq \ell <r$ , pero esto contradice el hecho de que $r$ es el límite inferior de $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ como $n\to \infty$ , lo que implica la existencia de $\ell$ . Entonces observamos que para $n\geq n_{0}+1$ , $|a_{n}|>\ell |a_{n-1}|>\ell ^{2}|a_{n-2}|>...>\ell ^{n-n_{0}}\left|a_{n_{0}}\right|$ . Observa que $\ell >1$ entonces $\ell ^{n}\to \infty$ como $n\to \infty$ y $\left|a_{n_{0}}\right|>0$ , esto implica $(a_{n})$ diverge así que la serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge según la prueba del término n . Ahora supongamos que $R=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$ . De forma similar al caso anterior, podemos encontrar un número natural $n_{1}$ y un $c\in (R;1)$ de tal manera que $|a_{n}|\leq c^{n-n_{1}}\left|a_{n_{1}}\right|$ para $n\geq n_{1}$ . Entonces $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }|a_{n}|\leq \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }c^{n-n_{1}}|a_{n_{1}}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\left|a_{n_{1}}\right|\sum _{n=0}^{\infty }c^{n}.$ La serie $\sum _{n=0}^{\infty }c^{n}$ es la serie geométrica con razón común $c\in (0;1)$ , por eso $\sum _{n=0}^{\infty }c^{n}={\frac {1}{1-c}}$ que es finito. La suma $\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|$ es una suma finita y por lo tanto está acotada, esto implica la serie $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ converge por el teorema de convergencia monótona y la serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge según el criterio de convergencia absoluta. Cuando el límite $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ existe y es igual a $L$ entonces $r=R=L$ , esto da como resultado la prueba de proporción original.

Extensiones para L = 1

Como se vio en el ejemplo anterior, la prueba de la razón puede ser inconclusa cuando el límite de la razón es 1. Sin embargo, las extensiones a la prueba de la razón a veces permiten abordar este caso. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

En todas las pruebas siguientes se asume que $\sum a_{n}$ es una suma con positivo $a_{n}$ Estas pruebas también pueden aplicarse a cualquier serie con un número finito de términos negativos. Cualquier serie de este tipo puede escribirse como:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}

dónde $a_{n}$ es el término negativo de mayor índice. La primera expresión de la derecha es una suma parcial que será finita, por lo que la convergencia de toda la serie estará determinada por las propiedades de convergencia de la segunda expresión de la derecha, que puede reindexarse para formar una serie de todos los términos positivos que comienzan en $n=1$ .

Cada prueba define un parámetro de prueba ( $\rho _{n}$ ) que especifica el comportamiento de ese parámetro necesario para establecer la convergencia o divergencia. Para cada prueba, existe una forma más débil de la prueba que, en cambio, impondrá restricciones sobre $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}$ .

Todas las pruebas tienen regiones en las que no logran describir las propiedades de convergencia de $\sum a_{n}$ . De hecho, ninguna prueba de convergencia puede describir completamente las propiedades de convergencia de la serie. ^{[ 4 ]}^{[ 10 ]} Esto se debe a que si $\sum a_{n}$ es convergente, una segunda serie convergente $\sum b_{n}$ se puede encontrar que converge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\infty$ . Además, si $\sum a_{n}$ es divergente, una segunda serie divergente $\sum b_{n}$ se puede encontrar que diverge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$ . Las pruebas de convergencia esencialmente utilizan la prueba de comparación en alguna familia particular de $a_{n}$ y fallan para secuencias que convergen o divergen más lentamente.

Jerarquía de De Morgan

Augustus De Morgan propuso una jerarquía de pruebas de tipo razón ^{[ 4 ]}^{[ 9 ]}

Los parámetros de la prueba de relación ( $\rho _{n}$ ) a continuación todos generalmente implican términos de la forma $D_{n}a_{n}/a_{n+1}-D_{n+1}$ Este término puede multiplicarse por $a_{n+1}/a_{n}$ para ceder $D_{n}-D_{n+1}a_{n+1}/a_{n}$ Este término puede sustituir al anterior en la definición de los parámetros de la prueba, y las conclusiones obtenidas seguirán siendo las mismas. Por consiguiente, no se hará distinción entre las referencias que utilicen una u otra forma del parámetro de prueba.

1. Prueba de la razón de d'Alembert

La primera prueba en la jerarquía de De Morgan es la prueba de ratio, tal como se describió anteriormente.

2. Prueba de Raabe

Esta extensión se debe a Joseph Ludwig Raabe . Definir:

\rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)

(y algunos términos adicionales, véase Ali, Blackburn, Feld, Duris (ninguno), Duris2)

La serie incluirá: ^{[ 7 ]}^{[ 10 ]}^{[ 9 ]}

Converger cuando existe una $c>1$ de tal manera que $\rho _{n}\geq c$ a pesar de $n>N$ .
Divergir cuando $\rho _{n}\leq 1$ a pesar de $n>N$ .
De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, ^{[ 12 ]} la serie será:

Converger si $\rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1$ (esto incluye el caso $\rho =\infty$ )
Divergir si $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1$ .
Si $\rho =1$ La prueba no es concluyente.

Cuando no exista el límite anterior, es posible utilizar límites superiores e inferiores. ^{[ 4 ]} La serie será:

Converger si $\liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1$
Divergir si $\limsup _{n\rightarrow \infty }\rho _{n}<1$
De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Prueba de Raabe

Definición $\rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)$ , no necesitamos suponer que el límite existe; si $\limsup \rho _{n}<1$ , entonces $\sum a_{n}$ diverge, mientras que si $\liminf \rho _{n}>1$ La suma converge.

La prueba procede esencialmente por comparación con $\sum 1/n^{R}$ Supongamos primero que $\limsup \rho _{n}<1$ Por supuesto que si $\limsup \rho _{n}<0$ entonces $a_{n+1}\geq a_{n}$ para grandes $n$ , por lo que la suma diverge; supongamos entonces que $0\leq \limsup \rho _{n}<1$ . Existe $R<1$ de tal manera que $\rho _{n}\leq R$ a pesar de $n\geq N$ , lo que quiere decir que ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq e^{R/n}$ . De este modo $a_{n+1}\geq a_{n}e^{-R/n}$ , lo que implica que $a_{n+1}\geq a_{N}e^{-R(1/N+\dots +1/n)}\geq ca_{N}e^{-R\log(n)}=ca_{N}/n^{R}$ para $n\geq N$ ; desde $R<1$ Esto demuestra que $\sum a_{n}$ diverge.

La demostración de la otra mitad es completamente análoga, con la mayoría de las desigualdades simplemente invertidas. Necesitamos una desigualdad preliminar para usar en lugar de la simple $1+t<e^{t}$ que se usó arriba: Arreglar $R$ y $N$ . Tenga en cuenta que $\log \left(1+{\frac {R}{n}}\right)={\frac {R}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ . Entonces $\log \left(\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\right)=R\left({\frac {1}{N}}+\dots +{\frac {1}{n}}\right)+O(1)=R\log(n)+O(1)$ ; por eso $\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\geq cn^{R}$ .

Supongamos ahora que $\liminf \rho _{n}>1$ . Argumentando como en el primer párrafo, utilizando la desigualdad establecida en el párrafo anterior, vemos que existe $R>1$ de tal manera que $a_{n+1}\leq ca_{N}n^{-R}$ para $n\geq N$ ; desde $R>1$ Esto demuestra que $\sum a_{n}$ converge.

(Un método más rápido para demostrar la divergencia: ${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$ . De este modo $a_{n}n\leq a_{n+1}(n+1)$ , lo que implica que $a_{n}n$ es monótono creciente para $n\geq N$ ; desde $a_{n}>0$ debe existir una constante $\epsilon >0$ de tal manera que $a_{n}n>\epsilon$ a pesar de $n\geq N$ . Por lo tanto, $a_{n}\geq {\frac {\epsilon }{n}}$ y $\sum a_{n}$ diverge.)

3. Prueba de Bertrand

Esta ampliación se debe a Joseph Bertrand y Augustus De Morgan .

Definición:

\rho _{n}\equiv n\ln n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln n

La prueba de Bertrand ^{[ 4 ]}^{[ 10 ]} afirma que la serie:

Converger cuando existe una $c>1$ de tal manera que $\rho _{n}\geq c$ a pesar de $n>N$ .
Divergir cuando $\rho _{n}\leq 1$ a pesar de $n>N$ .
De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión limitada, la serie hará lo siguiente:

Converger si $\rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1$ (esto incluye el caso $\rho =\infty$ )
Divergir si $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1$ .
Si $\rho =1$ La prueba no es concluyente.

Cuando no existe el límite anterior, puede ser posible utilizar límites superiores e inferiores. ^{[ 4 ]}^{[ 9 ]}^{[ 13 ]} La serie será:

Converger si $\liminf \rho _{n}>1$
Divergir si $\limsup \rho _{n}<1$
De lo contrario, la prueba no es concluyente.

4. Prueba de Bertrand extendida

Esta extensión probablemente apareció por primera vez de la mano de Margaret Martin en 1941. ^{[ 14 ]} Una breve demostración basada en la prueba de Kummer y sin supuestos técnicos (como la existencia de los límites, por ejemplo) fue proporcionada por Vyacheslav Abramov en 2019. ^{[ 15 ]}

Dejar $K\geq 1$ Sea un número entero y sea $\ln _{(K)}(x)$ denotan el $K$ la t-ésima iteración del logaritmo natural , es decir $\ln _{(1)}(x)=\ln(x)$ y para cualquier $2\leq k\leq K$ , $\ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))$ .

Supongamos que la razón $a_{n}/a_{n+1}$ , cuando $n$ es grande, puede presentarse en la forma

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}},\quad K\geq 1.

(Se supone que la suma vacía es 0. Con $K=1$ (La prueba se reduce a la prueba de Bertrand).

El valor $\rho _{n}$ puede presentarse explícitamente en la forma

\rho _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n).

La prueba de Bertrand extendida afirma que la serie

Converger cuando existe una $c>1$ de tal manera que $\rho _{n}\geq c$ a pesar de $n>N$ .
Divergir cuando $\rho _{n}\leq 1$ a pesar de $n>N$ .
De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, la serie

Converger si $\rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1$ (esto incluye el caso $\rho =\infty$ )
Divergir si $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1$ .
Si $\rho =1$ La prueba no es concluyente.

Cuando no existe el límite anterior, es posible utilizar límites superiores e inferiores. La serie

Converger si $\liminf \rho _{n}>1$
Divergir si $\limsup \rho _{n}<1$
De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para aplicaciones de la prueba de Bertrand extendida, consulte el proceso de nacimiento y muerte .

5. Prueba de Gauss

Esta ampliación se debe a Carl Friedrich Gauss .

Arrogante $a_{n}>0$ y $r>1$ , si una secuencia acotada $C_{n}$ se puede encontrar tal que para todo $n$ : ^{[ 5 ]}^{[ 7 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\rho }{n}}+{\frac {C_{n}}{n^{r}}}

Entonces la serie:

Converger si $\rho >1$
Divergir si $\rho \leq 1$

6. Prueba de Kummer

Esta prórroga se debe a Ernst Kummer .

Dejar $\zeta _{n}$ ser una secuencia auxiliar de constantes positivas. Definir

\rho _{n}\equiv \left(\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\right)

La prueba de Kummer establece que la serie: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Converger si existe una $c>0$ de tal manera que $\rho _{n}\geq c$ a pesar de $n>N$ . (Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que decir $\rho _{n}>0$ )
Divergir si $\rho _{n}\leq 0$ a pesar de $n>N$ y $\sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}$ diverge.

Para la versión límite, la serie será: ^{[ 16 ]}^{[ 7 ]}^{[ 9 ]}

Converger si $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>0$ (esto incluye el caso $\rho =\infty$ )
Divergir si $\lim _{n\to \infty }\rho _{n}<0$ y $\sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}$ diverge.
De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Cuando no exista el límite anterior, es posible utilizar límites superiores e inferiores. ^{[ 4 ]} La serie será

Converger si $\liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>0$
Divergir si $\limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<0$ y $\sum 1/\zeta _{n}$ diverge.

Casos especiales

Todas las pruebas de la jerarquía de De Morgan, excepto la prueba de Gauss, pueden verse fácilmente como casos especiales de la prueba de Kummer: ^{[ 4 ]}

Para la prueba de razón, sea $\zeta _{n}=1$ . Entonces:

\rho _{\text{Kummer}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1/\rho _{\text{Ratio}}-1

Para la prueba de Raabe, dejemos $\zeta _{n}=n$ . Entonces:

\rho _{\text{Kummer}}=\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\right)=\rho _{\text{Raabe}}-1

Para la prueba de Bertrand, dejemos $\zeta _{n}=n\ln(n)$ . Entonces:

\rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)-(n+1)\ln(n+1)

Usando

\ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)

y aproximando

\ln(1+1/n)\rightarrow 1/n

para n grande , lo cual es insignificante comparado con los otros términos,

\rho _{\text{Kummer}}

puede escribirse:

\rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln(n)-1=\rho _{\text{Bertrand}}-1

Para la prueba de Bertrand extendida, dejemos $\zeta _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)$ De la expansión de la serie Taylor para grandes $n$ llegamos a la aproximación

\ln _{(k)}(n+1)=\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)

,

donde se supone que el producto vacío es 1. Entonces,

\rho _{\text{Kummer}}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\left[\prod _{k=1}^{K}\left(\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}\right)\right]+o(1)=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n)-1+o(1)

.

Por eso,

\rho _{\text{Kummer}}=\rho _{\text{Extended Bertrand}}-1

.

Tenga en cuenta que para estas cuatro pruebas, cuanto más arriba estén en la jerarquía de De Morgan, más lentamente la $1/\zeta _{n}$ La serie diverge.

Prueba de Kummer

Si $\rho _{n}>0$ Luego, fije un número positivo. $0<\delta <\rho _{n}$ Existe un número natural $N$ de tal manera que para cada $n>N$ ,

\delta \leq \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}

.

Desde $a_{n+1}>0$ , por cada $n>N$ ,

0\leq \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}

.

En particular $\zeta _{n+1}a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}$ a pesar de $n\geq N$ lo que significa que a partir del índice $N$ la secuencia $\zeta _{n}a_{n}>0$ es monótonamente decreciente y positiva, lo que implica en particular que está acotada inferiormente por 0. Por lo tanto, el límite

\lim _{n\to \infty }\zeta _{n}a_{n}=L

existe.

Esto implica que la serie telescópica positiva

\sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}\right)

es convergente,

y puesto que para todos $n>N$ ,

\delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}

mediante la prueba de comparación directa para series positivas, la serie $\sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}$ es convergente.

Por otro lado, si $\rho <0$ , entonces existe un N tal que $\zeta _{n}a_{n}$ está aumentando para $n>N$ . En particular, existe un $\epsilon >0$ para qué $\zeta _{n}a_{n}>\epsilon$ a pesar de $n>N$ , y entonces $\sum _{n}a_{n}=\sum _{n}{\frac {a_{n}\zeta _{n}}{\zeta _{n}}}$ diverge en comparación con $\sum _{n}{\frac {\epsilon }{\zeta _{n}}}$ .

Modificación de Tong del test de Kummer

Tong estableció una nueva versión del test de Kummer. ^{[ 6 ]} Véase también ^{[ 8 ]}^{[ 11 ]}^{[ 17 ]} para más discusiones y nuevas demostraciones. La modificación del teorema de Kummer caracteriza todas las series positivas, y la convergencia o divergencia puede formularse en forma de dos condiciones necesarias y suficientes: una para la convergencia y otra para la divergencia.

Serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge si y solo si existe una sucesión positiva $\zeta _{n}$ , $n=1,2,\dots$ , de tal manera que $\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\geq c>0.$

Serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge si y solo si existe una secuencia positiva. $\zeta _{n}$ , $n=1,2,\dots$ , de tal manera que $\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\leq 0,$ y $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .$

La primera de estas afirmaciones se puede simplificar de la siguiente manera: ^{[ 18 ]}

Serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge si y solo si existe una sucesión positiva $\zeta _{n}$ , $n=1,2,\dots$ , de tal manera que $\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=1.$

La segunda afirmación se puede simplificar de manera similar:

Serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge si y solo si existe una secuencia positiva. $\zeta _{n}$ , $n=1,2,\dots$ , de tal manera que $\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=0,$ y $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .$

Sin embargo, se vuelve inútil, ya que la condición $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty$ En este caso se reduce a la reclamación original. $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty .$

Prueba de proporción de Frink

Otro test de razón que se puede establecer en el marco del teorema de Kummer fue presentado por Orrin Frink ^{[ 19 ]} 1948.

Suponer $a_{n}$ es una secuencia en $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ,

Si $\limsup _{n\rightarrow \infty }{\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}<{\frac {1}{e}}$ , luego la serie $\sum _{n}a_{n}$ converge absolutamente.
Si hay $N\in \mathbb {N}$ de tal manera que ${\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}\geq {\frac {1}{e}}$ a pesar de $n\geq N$ , entonces $\sum _{n}|a_{n}|$ diverge.

Este resultado se reduce a una comparación de $\sum _{n}|a_{n}|$ con una serie de potencia $\sum _{n}n^{-p}$ y puede verse que está relacionado con la prueba de Raabe. ^{[ 20 ]}

Segunda prueba de ratio de Ali

Una prueba de razón más refinada es la segunda prueba de razón: ^{[ 7 ]}^{[ 9 ]} Para $a_{n}>0$ definir:

Mediante la segunda prueba de razón, la serie:

Converger si $L<{\frac {1}{2}}$
Divergir si $L>{\frac {1}{2}}$
Si $L={\frac {1}{2}}$ Entonces la prueba no es concluyente.

Si no existen los límites anteriores, es posible utilizar los límites superior e inferior. Defina:

Entonces la serie:

Converger si $L<{\frac {1}{2}}$
Divergir si $\ell >{\frac {1}{2}}$
Si $\ell \leq {\frac {1}{2}}\leq L$ Entonces la prueba no es concluyente.

Prueba de proporción m de Ali

Esta prueba es una extensión directa de la segunda prueba de razón. ^{[ 7 ]}^{[ 9 ]} Para $0\leq k\leq m-1,$ y positivo $a_{n}$ definir:

Por el $m$ En la prueba de relación, la serie:

Converger si $L<{\frac {1}{m}}$
Divergir si $L>{\frac {1}{m}}$
Si $L={\frac {1}{m}}$ Entonces la prueba no es concluyente.

Si no existen los límites anteriores, es posible utilizar los límites superior e inferior. Para $0\leq k\leq m-1$ definir:

Entonces la serie:

Converger si $L<{\frac {1}{m}}$
Divergir si $\ell >{\frac {1}{m}}$
Si $\ell \leq {\frac {1}{m}}\leq L$ , entonces la prueba no es concluyente.

Prueba de relación φ de Ali--Deutsche Cohen

Esta prueba es una extensión de la $m$ prueba de razón. ^{[ 21 ]}

Supongamos que la secuencia $a_{n}$ es una secuencia decreciente positiva.

Dejar ${\displaystyle \varphi$ sea tal que $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}$ existe. Denotar $\alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}$ y asumir $0<\alpha <1$ .

Supongamos también que $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{\varphi (n)}}{a_{n}}}=L.$

Entonces la serie:

Converger si $L<\alpha$
Divergir si $L>\alpha$
Si $L=\alpha$ , entonces la prueba no es concluyente.

Véase también

Notas a pie de página

^ Weisstein, Eric W. "Prueba de relación" . MundoMatemático .
↑ Rudin 1976 , §3.34
↑ Apostol 1974 , §8.14
1 2 3 4 5 6 7 8 Bromwich, TJ I'A (1908). Una introducción a la teoría de las series infinitas . Merchant Books.
1 2 3 Knopp, Konrad (1954). Teoría y aplicación de las series infinitas . Londres: Blackie & Son Ltd.
1 2 3 Tong, Jingcheng (mayo de 1994). "La prueba de Kummer proporciona caracterizaciones para la convergencia o divergencia de todas las series positivas". The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450– 452. doi : 10.2307/2974907 . JSTOR 2974907 .
1 2 3 4 5 6 Ali, Sayel A. (2008). "The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series" . The American Mathematical Monthly . 115 (6): 514– 524. doi : 10.1080/00029890.2008.11920558 . S2CID 16336333. Recuperado el 4 de septiembre de 2024 .
1 2 Samelson, Hans (noviembre de 1995). "Más sobre la prueba de Kummer". The American Mathematical Monthly . 102 (9): 817– 818. doi : 10.2307/2974510 . JSTOR 2974510 .
1 2 3 4 5 6 7 8 Blackburn, Kyle (4 de mayo de 2012). "La prueba de convergencia de la razón m y otras pruebas de convergencia no convencionales" (PDF) . Facultad de Artes y Ciencias de la Universidad de Washington . Recuperado el 27 de noviembre de 2018 .
^ Ďuriš , František (2009 ) . Series infinitas: Pruebas de convergencia (tesis de licenciatura). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava . Consultado el 28 de noviembre de 2018 .
1 2 3 Ďuriš, František (2 de febrero de 2018). "Sobre la prueba de convergencia de Kummer y su relación con las pruebas de comparación básicas". arXiv : 1612.05167 [ math.HO ].
^ Weisstein, Eric W. "Prueba de Raabe" . MundoMatemático .
^ Weisstein, Eric W. "Prueba de Bertrand" . MundoMatemático .
↑ Martin, Margaret (1941). "Una secuencia de pruebas límite para la convergencia de series" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 47 (6): 452– 457. doi : 10.1090/S0002-9904-1941-07477-X .
↑ Abramov, Vyacheslav M. (mayo de 2020). "Extensión de la prueba de Bertrand-De Morgan y su aplicación". The American Mathematical Monthly . 127 (5): 444– 448. arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080/00029890.2020.1722551 . S2CID 199552015 .
^ Weisstein, Eric W. "Prueba de Kummer" . MundoMatemático .
↑ Abramov, Vyacheslav, M. (21 de junio de 2021). "Una demostración simple del teorema de Tong". arXiv : 2106.13808 [ math.HO ].{{cite arXiv}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Abramov, Vyacheslav M. (mayo de 2022). «Evaluación de la suma de series positivas convergentes» (PDF) . Publicaciones del Institut Mathématique . Nueva Serie. 111 (125): 41– 53. doi : 10.2298/PIM2225041A . S2CID 237499616 .
↑ Frink, Orrin (octubre de 1948). "Una prueba de razón" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 54 (10): 953. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09111-X .
^ Rígido, Marceli (1949). "Sobre la prueba de proporción de Frink". Coloquio Mathematicum . 2 (1): 46– 47. doi : 10,4064/cm-2-1-46-47 .
^ Ali, Sayel; Cohen, Marion Deutsche (2012). "pruebas de relación phi" . Elementos de Matemáticas . 67 (4): 164– 168. doi : 10.4171/EM/206 .

Referencias

d'Alembert, J. (1768), Opúsculos , vol. V, págs. 171 a 183 .
Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2.ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series , Nueva York: Dover Publications, Bibcode : 1956iss..book.....K , ISBN 978-0-486-60153-3{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) : §3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), Principios de análisis matemático (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
"Criterio de Bertrand" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Criterio de Gauss" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Criterio de Kummer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Watson, GN; Whittaker, ET (1963), Un curso de análisis moderno (4.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) : §2.36, 2.37.

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Prueba de relación" . MundoMatemático .

[2] Rudin 1976 , §3.34

[3] Apostol 1974 , §8.14

[Bromwich1908-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 Bromwich, TJ I'A (1908). Una introducción a la teoría de las series infinitas . Merchant Books.

[Knopp-5] 1 2 3 Knopp, Konrad (1954). Teoría y aplicación de las series infinitas . Londres: Blackie & Son Ltd.

[Tong1994-6] 1 2 3 Tong, Jingcheng (mayo de 1994). "La prueba de Kummer proporciona caracterizaciones para la convergencia o divergencia de todas las series positivas". The American Mathematical Monthly . 101 (5): 450– 452. doi : 10.2307/2974907 . JSTOR 2974907 .

[Ali2008-7] 1 2 3 4 5 6 Ali, Sayel A. (2008). "The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series" . The American Mathematical Monthly . 115 (6): 514– 524. doi : 10.1080/00029890.2008.11920558 . S2CID 16336333. Recuperado el 4 de septiembre de 2024 .

[Samelson1995-8] 1 2 Samelson, Hans (noviembre de 1995). "Más sobre la prueba de Kummer". The American Mathematical Monthly . 102 (9): 817– 818. doi : 10.2307/2974510 . JSTOR 2974510 .

[Blackburn2012-9] 1 2 3 4 5 6 7 8 Blackburn, Kyle (4 de mayo de 2012). "La prueba de convergencia de la razón m y otras pruebas de convergencia no convencionales" (PDF) . Facultad de Artes y Ciencias de la Universidad de Washington . Recuperado el 27 de noviembre de 2018 .

[Duris2009-10] Ďuriš , František (2009 ) . Series infinitas: Pruebas de convergencia (tesis de licenciatura). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava . Consultado el 28 de noviembre de 2018 .

[Duris2018-11] 1 2 3 Ďuriš, František (2 de febrero de 2018). "Sobre la prueba de convergencia de Kummer y su relación con las pruebas de comparación básicas". arXiv : 1612.05167 [ math.HO ].

[12] Weisstein, Eric W. "Prueba de Raabe" . MundoMatemático .

[13] Weisstein, Eric W. "Prueba de Bertrand" . MundoMatemático .

[Mar1941-14] Martin, Margaret (1941). "Una secuencia de pruebas límite para la convergencia de series" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 47 (6): 452– 457. doi : 10.1090/S0002-9904-1941-07477-X .

[Abr2008-15] Abramov, Vyacheslav M. (mayo de 2020). "Extensión de la prueba de Bertrand-De Morgan y su aplicación". The American Mathematical Monthly . 127 (5): 444– 448. arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080/00029890.2020.1722551 . S2CID 199552015 .

[16] Weisstein, Eric W. "Prueba de Kummer" . MundoMatemático .

[Abramov2021-17] Abramov, Vyacheslav, M. (21 de junio de 2021). "Una demostración simple del teorema de Tong". arXiv : 2106.13808 [ math.HO ].{{cite arXiv}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[Abramov2022-18] Abramov, Vyacheslav M. (mayo de 2022). «Evaluación de la suma de series positivas convergentes» (PDF) . Publicaciones del Institut Mathématique . Nueva Serie. 111 (125): 41– 53. doi : 10.2298/PIM2225041A . S2CID 237499616 .

[Frink1948-19] Frink, Orrin (octubre de 1948). "Una prueba de razón" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 54 (10): 953. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09111-X .

[Stark1949-20] Rígido, Marceli (1949). "Sobre la prueba de proporción de Frink". Coloquio Mathematicum . 2 (1): 46– 47. doi : 10,4064/cm-2-1-46-47 .

[21] Ali, Sayel; Cohen, Marion Deutsche (2012). "pruebas de relación phi" . Elementos de Matemáticas . 67 (4): 164– 168. doi : 10.4171/EM/206 .

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]