Principio de pista de carreras

En cálculo , el principio de la pista de carreras describe el movimiento y el crecimiento de dos funciones en términos de sus derivadas .

Este principio se basa en el hecho de que si un caballo llamado Frank Fleetfeet siempre corre más rápido que un caballo llamado Greg Gooseleg, entonces si Frank y Greg comienzan una carrera desde el mismo lugar y al mismo tiempo, Frank ganará. En resumen, el caballo que empieza rápido y mantiene la velocidad, gana.

En símbolos:

si${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$a pesar de${\displaystyle x>0}$y si${\displaystyle f(0)=g(0)}$, entonces${\displaystyle f(x)>g(x)}$a pesar de${\displaystyle x>0}$.

o bien, sustituyendo ≥ por > se obtiene el teorema

si${\displaystyle f'(x)\geq g'(x)}$a pesar de${\displaystyle x>0}$y si${\displaystyle f(0)=g(0)}$, entonces${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$a pesar de${\displaystyle x\geq 0}$.

lo cual puede probarse de manera similar.

Este principio se puede demostrar considerando la función${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)}$. Si tomáramos la derivada, observaríamos que para${\displaystyle x>0}$,

${\displaystyle h'=f'-g'>0.}$

También observe que${\displaystyle h(0)=0}$. Combinando estas observaciones, podemos utilizar el teorema del valor medio en el intervalo${\displaystyle [0,x]}$y obtener

${\displaystyle 0<h'(x_{0})={\frac {h(x)-h(0)}{x-0}}={\frac {f(x)-g(x)}{x}}.}$

Por suposición,${\displaystyle x>0}$, por lo que multiplicamos ambos lados por${\displaystyle x}$da${\displaystyle f(x)-g(x)>0}$Esto implica${\displaystyle f(x)>g(x)}$.

El enunciado del principio de la pista de carreras se puede generalizar ligeramente de la siguiente manera:

si${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$a pesar de${\displaystyle x>a}$y si${\displaystyle f(a)=g(a)}$, entonces${\displaystyle f(x)>g(x)}$a pesar de${\displaystyle x>a}$.

Como se indicó anteriormente, al sustituir ≥ por > se obtiene el teorema.

si${\displaystyle f'(x)\geq g'(x)}$a pesar de${\displaystyle x>a}$y si${\displaystyle f(a)=g(a)}$, entonces${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$a pesar de${\displaystyle x>a}$.

El principio de la pista de carreras se puede utilizar para demostrar un lema necesario para mostrar que la función exponencial crece más rápido que cualquier función potencial. El lema requerido es que

${\displaystyle e^{x}>x}$

para todos los reales${\displaystyle x}$Esto es obvio para${\displaystyle x<0}$pero el principio de la pista de carreras se puede utilizar para${\displaystyle x>0}$Para ver cómo se utiliza, consideremos las funciones.

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

y

${\displaystyle g(x)=x+1.}$

Observa que${\displaystyle f(0)=g(0)}$y eso

${\displaystyle e^{x}>1}$

porque la función exponencial siempre es creciente ( monótona ), entonces${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$Así, por el principio de la pista de carreras${\displaystyle f(x)>g(x)}$. De este modo,

${\displaystyle e^{x}>x+1>x}$

a pesar de${\displaystyle x>0}$.

• Deborah Hughes-Hallet, et al., Cálculo .