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Velocidad radial

Un avión que pasa volando junto a una estación de radar: el vector de velocidad del avión (rojo) es la suma de la velocidad radial (verde) y la velocidad tangencial (azul). La v...

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Un avión que pasa volando junto a una estación de radar: el vector de velocidad del avión (rojo) es la suma de la velocidad radial (verde) y la velocidad tangencial (azul).

La velocidad radial o velocidad en la línea de visión de un objetivo con respecto a un observador es la tasa de cambio del desplazamiento vectorial entre los dos puntos. Se formula como la proyección vectorial de la velocidad relativa objetivo-observador sobre la dirección relativa o línea de visión (LOS) que conecta ambos puntos.

La velocidad radial o tasa de cambio de alcance es la tasa temporal de la distancia o alcance entre dos puntos. Es una magnitud escalar con signo , formulada como la proyección escalar del vector de velocidad relativa sobre la dirección de la línea de visión. De forma equivalente, la velocidad radial es igual a la norma de la velocidad radial, módulo el signo. [ a ]

En astronomía, el punto de referencia suele ser el observador en la Tierra, por lo que la velocidad radial indica la rapidez con la que el objeto se aleja de la Tierra (o se acerca a ella, en el caso de una velocidad radial negativa).

Formulación

Dado un vector diferenciabler∈R3{\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{3}}Definir la posición relativa instantánea de un objetivo con respecto a un observador.

Sea la velocidad relativa instantánea del objetivo con respecto al observador.

La magnitud del vector de posiciónr{\displaystyle \mathbf {r} }se define en términos del producto interno

La tasa de rango de cantidad es la derivada temporal de la magnitud ( norma ) der{\displaystyle \mathbf {r} }, expresado como

Sustituyendo ( 2 ) en ( 3 )

r˙=d⟨r,r⟩1/2dt{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {d\langle \mathbf {r} ,\mathbf {r} \rangle ^{1/2}}{dt}}}

Evaluación de la derivada del lado derecho mediante la regla de la cadena.

r˙=12d⟨r,r⟩dt1r{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {d\langle \mathbf {r} ,\mathbf {r} \rangle }{dt}}{\frac {1}{r}}}
r˙=12⟨drdt,r⟩+⟨r,drdt⟩r{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {\langle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},\mathbf {r} \rangle +\langle \mathbf {r} ,{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\rangle }{r}}}

usando ( 1 ) la expresión se convierte en

r˙=12⟨v,r⟩+⟨r,v⟩r{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{2}}{\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {r} \rangle +\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle }{r}}}

Por reciprocidad, [ 1 ]⟨v,r⟩=⟨r,v⟩{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle }Definición del vector de posición relativa unitariar^=r/r{\displaystyle {\hat {r}}=\mathbf {r} /{r}}(o dirección LOS), la velocidad de alcance se expresa simplemente como

r˙=⟨r,v⟩r=⟨r^,v⟩{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle }{r}}=\langle {\hat {r}},\mathbf {v} \rangle }

es decir, la proyección del vector de velocidad relativa sobre la dirección de la línea de visión.

Definir aún más la dirección de la velocidadv^=v/v{\displaystyle {\hat {v}}=\mathbf {v} /{v}}, con la velocidad relativav=‖v‖{\displaystyle v=\|\mathbf {v} \|}, tenemos:

r˙=⟨r^,vv^⟩=v⟨r^,v^⟩{\displaystyle {\dot {r}}=\langle {\hat {r}},v{\hat {v}}\rangle =v\langle {\hat {r}},{\hat {v}}\rangle }

donde el producto interno es +1 o -1, para vectores paralelos y antiparalelos , respectivamente.

Existe una singularidad para el objetivo observador coincidente, es decir,r=0{\displaystyle r=0}; en este caso, la velocidad de alcance no está definida.

Aplicaciones en astronomía

En astronomía, la velocidad radial se mide a menudo, en primera aproximación, mediante espectroscopia Doppler . La magnitud obtenida por este método puede denominarse medida de velocidad radial baricéntrica o velocidad radial espectroscópica. [ 2 ] Sin embargo, debido a los efectos relativistas y cosmológicos sobre las grandes distancias que la luz suele recorrer para llegar al observador desde un objeto astronómico, esta medida no puede transformarse con precisión en una velocidad radial geométrica sin suposiciones adicionales sobre el objeto y el espacio entre este y el observador. [ 3 ] Por el contrario, la velocidad radial astrométrica se determina mediante observaciones astrométricas (por ejemplo, un cambio secular en la paralaje anual ). [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

Velocidad radial espectroscópica

La luz de un objeto con una velocidad radial relativa sustancial en el momento de la emisión estará sujeta al efecto Doppler , por lo que la frecuencia de la luz disminuye para los objetos que se alejan ( desplazamiento al rojo ) y aumenta para los objetos que se acercan ( desplazamiento al azul ).

La velocidad radial de una estrella u otros objetos luminosos distantes se puede medir con precisión obteniendo un espectro de alta resolución y comparando las longitudes de onda medidas de líneas espectrales conocidas con las obtenidas mediante mediciones de laboratorio. Una velocidad radial positiva indica que la distancia entre los objetos está aumentando o estaba aumentando; una velocidad radial negativa indica que la distancia entre la fuente y el observador está disminuyendo o estaba disminuyendo.

En 1868, William Huggins se aventuró a estimar la velocidad radial de Sirio con respecto al Sol, basándose en el corrimiento al rojo observado de la luz de la estrella. [ 6 ]

Diagrama que muestra cómo la órbita de un exoplaneta cambia la posición y la velocidad de una estrella a medida que orbitan alrededor de un centro de masa común.

En muchos sistemas estelares binarios , el movimiento orbital suele provocar variaciones de velocidad radial de varios kilómetros por segundo (km/s). Dado que los espectros de estas estrellas varían debido al efecto Doppler, se las denomina binarias espectroscópicas . La velocidad radial puede utilizarse para estimar la relación de las masas de las estrellas y algunos elementos orbitales , como la excentricidad y el semieje mayor . Este mismo método también se ha empleado para detectar planetas alrededor de estrellas, de forma que la medición del movimiento determina el período orbital del planeta, mientras que la amplitud de la velocidad radial resultante permite calcular el límite inferior de la masa de un planeta mediante la función de masa binaria . Los métodos basados ​​únicamente en la velocidad radial solo pueden revelar un límite inferior, ya que un planeta grande que orbita con un ángulo muy elevado respecto a la línea de visión perturbará radialmente a su estrella tanto como un planeta mucho más pequeño con un plano orbital sobre la línea de visión. Se ha sugerido que los planetas con altas excentricidades calculadas mediante este método podrían ser, de hecho, sistemas de dos planetas con órbitas resonantes circulares o casi circulares. [ 7 ] [ 8 ]

Detección de exoplanetas

El método de velocidad radial para detectar exoplanetas

El método de velocidad radial para detectar exoplanetas se basa en la detección de variaciones en la velocidad de la estrella central, debido al cambio en la dirección de la atracción gravitatoria de un exoplaneta (invisible) que orbita alrededor de la estrella. Cuando la estrella se acerca a nosotros, su espectro se desplaza hacia el azul, mientras que se desplaza hacia el rojo cuando se aleja. Al observar regularmente el espectro de una estrella —y, por lo tanto, medir su velocidad— se puede determinar si se mueve periódicamente debido a la influencia de un exoplaneta.

Reducción de datos

Desde la perspectiva instrumental, las velocidades se miden en relación con el movimiento del telescopio. Por lo tanto, un primer paso importante de la reducción de datos es eliminar las contribuciones de

  • el movimiento elíptico de la Tierra alrededor del Sol a aproximadamente ± 30  km/s,
  • una rotación mensual de ± 13  m/s de la Tierra alrededor del centro de gravedad del sistema Tierra-Luna, [ 9 ]
  • la rotación diaria del telescopio con la corteza terrestre alrededor del eje terrestre, que es de hasta ±460  m/s en el ecuador y proporcional al coseno de la latitud geográfica del telescopio,
  • pequeñas contribuciones del movimiento polar de la Tierra al nivel de mm/s,
  • contribuciones de 230  km/s del movimiento alrededor del Centro Galáctico y movimientos propios asociados. [ 10 ]
  • en el caso de mediciones espectroscópicas correcciones del orden de ±20  cm/s con respecto a la aberración . [ 11 ]
  • La degeneración del seno i es el impacto causado por no estar en el plano del movimiento.

Véase también

Notas

  1. ↑ La norma, un número no negativo, se multiplica por -1 si la velocidad (flecha roja en la figura) y la posición relativa forman un ángulo obtuso o si la velocidad relativa (flecha verde) y la posición relativa son antiparalelas.

Referencias

  1. ↑ Hoffman, Kenneth M.; Kunzel, Ray (1971). Álgebra lineal (Segunda  ed.). Prentice-Hall Inc. pág . 271. ISBN  0135367972.
  2. ↑ Resolución C1 sobre la definición de una "medida de velocidad radial baricéntrica" ​​espectroscópica . Número especial: Programa preliminar de la XXV Asamblea General en Sídney, del 13 al 26 de julio de 2003. Boletín informativo n.° 91. Página 50. Secretaría de la IAU. Julio de 2002. https://www.iau.org/static/publications/IB91.pdf Archivado el 9 de octubre de 2022 en Ghost Archive.
  3. 1 2 Lindegren, Lennart; Dravins, Dainis (abril de 2003). "La definición fundamental de "velocidad radial"" (PDF) . Astronomía y Astrofísica . 401 (3): 1185– 1201. arXiv : astro-ph/0302522 . Bibcode : 2003A & A...401.1185L . doi : 10.1051/0004-6361:20030181 . S2CID 16012160 . Consultado el 4 de febrero de 2017 . 
  4. ↑ Dravins, Dainis; Lindegren, Lennart; Madsen, Søren (1999). "Velocidades radiales astrométricas. I. Métodos no espectroscópicos para medir la velocidad radial estelar". Astron. Astrophys . 348 : 1040–1051 . arXiv : astro-ph/9907145 . Bibcode : 1999A & A...348.1040D . doi : 10.1088/0004-637X/709/1/168 .
  5. ↑ Resolución C 2 sobre la definición de "velocidad radial astrométrica" . Número especial: Programa preliminar de la XXV Asamblea General en Sídney, del 13 al 26 de julio de 2003. Boletín informativo n.° 91. Página 51. Secretaría de la IAU. Julio de 2002. https://www.iau.org/static/publications/IB91.pdf Archivado el 9 de octubre de 2022 en Ghost Archive.
  6. ↑ Huggins, W. (1868). "Observaciones adicionales sobre los espectros de algunas estrellas y nebulosas, con un intento de determinar a partir de ellas si estos cuerpos se mueven hacia la Tierra o se alejan de ella, también observaciones sobre los espectros del Sol y del Cometa II". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 158 : 529–564 . Bibcode : 1868RSPT..158..529H . doi : 10.1098/rstl.1868.0022 . 
  7. ↑ Anglada-Escude, Guillem; Lopez-Morales, Mercedes; Chambers, John E. (2010). "Cómo las soluciones orbitales excéntricas pueden ocultar sistemas planetarios en órbitas resonantes 2:1". The Astrophysical Journal Letters . 709 (1): 168– 78. arXiv : 0809.1275 . Bibcode : 2010ApJ...709..168A . doi : 10.1088/0004-637X/709/1/168 . S2CID 2756148 . 
  8. ↑ Kürster, Martin; Trifonov, Trifon; Reffert, Sabine; Kostogryz, Nadiia M.; Roder, Florian (2015). "Disentangling 2:1 resonant radial velocity oribts from eccentric ones and a case study for HD 27894". Astron. Astrophys . 577 : A103. arXiv : 1503.07769 . Bibcode : 2015A & A...577A.103K . doi : 10.1051/0004-6361/201525872 . S2CID 73533931 . 
  9. ↑ Ferraz-Mello, S.; Michtchenko, TA (2005). "Sistemas planetarios extrasolares". Caos y estabilidad en sistemas planetarios . Lecture Notes in Physics. Vol. 683. pp. 219–271 . Bibcode : 2005LNP...683..219F . doi : 10.1007/10978337_4 . ISBN   978-3-540-28208-2.
  10. ↑ Reid, MJ; Dame, TM (2016). "Sobre la velocidad de rotación de la Vía Láctea determinada a partir de la emisión de HI" . The Astrophysical Journal . 832 (2): 159. arXiv : 1608.03886 . Bibcode : 2016ApJ...832..159R . doi : 10.3847/0004-637X/832/2/159 . S2CID 119219962 . 
  11. ↑ Stumpff, P. (1985). "Tratamiento riguroso del movimiento heliocéntrico de las estrellas". Astron. Astrophys . 144 (1): 232. Bibcode : 1985A & A...144..232S .

Lecturas adicionales

  • Hoffman, Kenneth M.; Kunzel, Ray (1971), Álgebra lineal (Segunda  edición), Prentice-Hall Inc., ISBN 0135367972
  • Renze, John; Stover, Christopher; y Weisstein, Eric W. «Producto interno». De MathWorld—Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html
  • La ecuación de velocidad radial en la búsqueda de exoplanetas (espectroscopia Doppler o método de oscilación) Archivado el 2 de diciembre de 2021 en Wayback Machine.