Trayectoria radial

En astrodinámica y mecánica celeste , una trayectoria radial es una órbita de Kepler con momento angular cero . Dos objetos en una trayectoria radial se mueven directamente uno hacia el otro o se alejan entre sí en línea recta.

Clasificación

Existen tres tipos de trayectorias radiales (órbitas). ^{[ 1 ]}

Trayectoria elíptica radial : una órbita que corresponde a la parte de una elipse degenerada desde el momento en que los cuerpos se tocan y se separan hasta que vuelven a tocarse. La velocidad relativa de los dos objetos es menor que la velocidad de escape . Esta es una órbita elíptica con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, no se trata de una órbita parabólica. Si el coeficiente de restitución de los dos cuerpos es 1 (perfectamente elástico), esta órbita es periódica. Si el coeficiente de restitución es menor que 1 (inelástico), esta órbita no es periódica.
Trayectoria parabólica radial : una órbita no periódica donde la velocidad relativa de los dos objetos es siempre igual a la velocidad de escape. Existen dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan.
Trayectoria hiperbólica radial : una órbita no periódica donde la velocidad relativa de los dos objetos siempre supera la velocidad de escape. Existen dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan. Se trata de una órbita hiperbólica con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad sea 1, no se trata de una órbita parabólica.

A diferencia de las órbitas estándar, que se clasifican por su excentricidad orbital , las órbitas radiales se clasifican por su energía orbital específica , la suma constante de la energía cinética y potencial total, dividida por la masa reducida : $\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}$ donde $x$ es la distancia entre los centros de las masas, $v$ es la velocidad relativa y $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ es el parámetro gravitacional estándar .

Otra constante viene dada por: $w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\varepsilon }{\mu }}$

Para trayectorias elípticas, w es positivo. Es el inverso de la distancia de apoapsis (distancia máxima).
Para trayectorias parabólicas, w es cero.
Para trayectorias hiperbólicas, w es negativo, es $\textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}$ dónde $\textstyle v_{\infty }$ es la velocidad a distancia infinita.

El tiempo en función de la distancia

Conociendo la separación y la velocidad en cualquier momento, y la masa total, es posible determinar la posición en cualquier otro momento.

El primer paso es determinar la constante $w$ . Utilice el signo de $w$ para determinar el tipo de órbita. $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$ dónde ${\textstyle x_{0}}$ y ${\textstyle v_{0}}$ son la separación y la velocidad relativa en cualquier momento.

trayectoria parabólica

$t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}$ donde $t$ es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y $x$ es la separación.

Esta ecuación se aplica únicamente a trayectorias parabólicas radiales; para trayectorias parabólicas generales, consulte la ecuación de Barker .

trayectoria elíptica

$t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}$ donde $t$ es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y $x$ es la separación.

Esta es la ecuación radial de Kepler . ^{[ 2 ]}

trayectoria hiperbólica

$t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}$ donde t es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y x es la separación.

Forma universal (cualquier trayectoria)

La ecuación radial de Kepler puede hacerse "universal" (aplicable a todas las trayectorias): $t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}$ o mediante la expansión en serie de potencias: $t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}$

El problema radial de Kepler (distancia en función del tiempo)

El problema de hallar la separación entre dos cuerpos en un instante dado, conociendo su separación y velocidad en otro instante, se conoce como el problema de Kepler . Esta sección resuelve el problema de Kepler para órbitas radiales.

El primer paso es determinar la constante ${\textstyle w}$ . Utilice el signo de ${\textstyle w}$ para determinar el tipo de órbita. $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}$ Dónde ${\textstyle x_{0}}$ y ${\textstyle v_{0}}$ son la separación y la velocidad en cualquier momento.

trayectoria parabólica

$x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$

Forma universal (cualquier trayectoria)

Se utilizan dos cantidades intermedias: $w$ y la separación en el tiempo $t$ que tendrían los cuerpos si estuvieran en una trayectoria parabólica, $p$ . $w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{y}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{1/3}$

Donde $t$ es el tiempo, $x_{0}$ es la posición inicial, $v_{0}$ es la velocidad inicial, y $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$ .

La ecuación de Kepler radial inversa es la solución al problema de Kepler radial: $x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {rr^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)$

Al evaluar esto se obtiene: $x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots$

Las series de potencias se pueden diferenciar fácilmente término a término. La diferenciación repetida proporciona las fórmulas para la velocidad, la aceleración, la sacudida, el cambio brusco de dirección, etc.

Órbita dentro de un eje radial

La órbita dentro de un eje radial en un cuerpo esférico uniforme ^{[ 3 ]} sería un movimiento armónico simple , ya que la gravedad dentro de dicho cuerpo es proporcional a la distancia al centro. Si el cuerpo pequeño entra o sale del cuerpo grande por su superficie, la órbita cambia a una de las descritas anteriormente. Por ejemplo, si el eje se extiende de superficie a superficie, es posible una órbita cerrada que consta de partes de dos ciclos de movimiento armónico simple y partes de dos órbitas elípticas radiales diferentes (pero simétricas).

Véase también

Referencias

Cowell, Peter (1993), Resolviendo la ecuación de Kepler a lo largo de tres siglos, William Bell.

↑ Thomson, William Tyrrell; Introducción a la dinámica espacial , Dover, 1986
↑ Brown, Kevin; MathPages
↑ Estrictamente hablando, esto es una contradicción. Sin embargo, se supone que el eje tiene una influencia insignificante sobre la gravedad.

Enlaces externos

La ecuación de Kepler en Mathworld

[1] Thomson, William Tyrrell; Introducción a la dinámica espacial , Dover, 1986

[2] Brown, Kevin; MathPages

[3] Estrictamente hablando, esto es una contradicción. Sin embargo, se supone que el eje tiene una influencia insignificante sobre la gravedad.

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