Radián

La Oficina Internacional de Pesas y Medidas ^{[ 6 ]} y la Organización Internacional de Normalización ^{[ 7 ]} especifican rad como el símbolo del radián. Los símbolos alternativos que se usaban en 1909 son ^c (la letra c en superíndice, de "medida circular"), la letra r o una ^R en superíndice , ^{[ 8 ]} pero estas variantes se usan con poca frecuencia, ya que pueden confundirse con un símbolo de grado (°) o un radio (r). Por lo tanto, un ángulo de 1,2 radianes se escribiría hoy como 1,2  rad; las notaciones arcaicas incluyen 1,2  r, 1,2 ^rad , 1,2 ^c o 1,2 ^R.

En la escritura matemática, el símbolo "rad" a menudo se omite. Cuando se cuantifica un ángulo en ausencia de cualquier símbolo, se asume que se trata de radianes, y cuando se refiere a grados, se utiliza el símbolo de grado ° .

El ángulo plano se puede definir como θ = s / r , donde θ es la magnitud en radianes del ángulo subtendido, s es la longitud del arco circular y r es el radio. Un radián corresponde al ángulo para el cual s = r , por lo tanto 1 radián = 1  m/m = 1. [ ^{9 ] Sin} embargo, el radián solo debe usarse para expresar ángulos, no para expresar razones de longitudes en general. ^{[ 10 ]} Un cálculo similar usando el área de un sector circular θ ⁼ 2 A / r² da 1 radián como 1 ^m²  / m² ⁼ 1. ^{[ 11 ]} El hecho clave es que el radián es una unidad adimensional igual a 1. En SI 2019, el radián SI se define en consecuencia como 1 rad = 1. [ ^{12 ] Es} una práctica establecida desde hace mucho tiempo en matemáticas y en todas las áreas de la ciencia hacer uso de rad = 1 . ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Giacomo Prando escribe: «El estado actual de las cosas conduce inevitablemente a apariciones y desapariciones fantasmales del radián en el análisis dimensional de las ecuaciones físicas». ^{[ 15 ]} Por ejemplo, un objeto que cuelga de una cuerda de una polea subirá o bajará y = rθ centímetros, donde r es la magnitud del radio de la polea en centímetros y θ es la magnitud del ángulo de giro de la polea en radianes. Al multiplicar r por θ , la unidad radián no aparece en el producto, ni tampoco la unidad centímetro, porque ambos factores son magnitudes (números). De manera similar, en la fórmula para la velocidad angular de una rueda que rueda, ω = v / r , los radianes aparecen en las unidades de ω pero no en el lado derecho. ^{[ 16 ]} Anthony French denomina a este fenómeno «un problema perenne en la enseñanza de la mecánica». ^{[ 17 ]} Oberhofer afirma que el consejo típico de ignorar los radianes durante el análisis dimensional y agregar o quitar radianes en las unidades según la convención y el conocimiento contextual es "pedagógicamente insatisfactorio". ^{[ 18 ]}

En 1993, el Comité Métrico de la Asociación Estadounidense de Profesores de Física especificó que el radián debía aparecer explícitamente en las cantidades solo cuando se obtuvieran valores numéricos diferentes al usar otras medidas de ángulo, como en las cantidades de medida de ángulo (rad), velocidad angular (rad/s), aceleración angular (rad/s² ⁾ y rigidez torsional (N⋅m/rad), y no en las cantidades de torque (N⋅m) y momento angular (kg⋅m² ^/ s). ^{[ 19 ]}

Al menos una docena de científicos entre 1936 y 2022 han hecho propuestas para tratar el radián como una unidad de medida base para una magnitud (y dimensión) base de "ángulo plano". ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} La revisión de propuestas de Quincey describe dos clases de propuestas. La primera opción cambia la unidad de un radio a metros por radián, pero esto es incompatible con el análisis dimensional para el área de un círculo , πr² . La otra opción es introducir una constante dimensional. Según Quincey ^, este enfoque es "lógicamente riguroso" en comparación con el SI, pero requiere "la modificación de muchas ecuaciones matemáticas y físicas conocidas". ^{[ 23 ]} Una constante dimensional para el ángulo es "bastante extraña" y la dificultad de modificar ecuaciones para agregar la constante dimensional probablemente impedirá su uso generalizado. ^{[ 22 ]}

En particular, Quincey identifica la propuesta de Torrens de introducir una constante η igual a 1 radián inverso (1  rad ⁻¹ ) de manera similar a la introducción de la constante ε ₀ . ^{[ 23 ] [ a ]} ​​Con este cambio, la fórmula para el ángulo subtendido en el centro de un círculo, s = rθ , se modifica para convertirse en s = ηrθ , y la serie de Taylor para el seno de un ángulo θ se convierte en: ^{[ 22 ] [ 24 ]}$${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin \ x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$ dónde${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$es el ángulo en radianes. La función en mayúscula Sin es la función "completa" que toma un argumento con una dimensión de ángulo y es independiente de las unidades expresadas, ^{[ 24 ]} mientras que sin es la función tradicional en números puros que asume que su argumento es un número adimensional en radianes. ^{[ 25 ]} El símbolo en mayúscula${\displaystyle \operatorname {Sin} }$puede ser denotado${\displaystyle \sin }$si queda claro que se refiere a la forma completa. ^{[ 22 ] [ 26 ]}

El SI actual puede considerarse, en relación con este marco, como un sistema de unidades natural donde se asume que se cumple la ecuación η = 1 , o de manera similar, 1 rad = 1. Esta convención de radianes permite omitir η en las fórmulas matemáticas. ^{[ 27 ]}

Definir el radián como unidad base puede ser útil para el software, donde la desventaja de ecuaciones más largas es mínima. ^{[ 28 ]} Por ejemplo, la biblioteca de unidades Boostplane_angle define unidades de ángulo con una dimensión, ^{[ 29 ]} y el sistema de unidades de Mathematica considera de manera similar que los ángulos tienen una dimensión angular. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

Como se indicó, un radián es igual a${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$⁠ . Por lo tanto, para convertir de radianes a grados, multiplique por ⁠${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$⁠ . $${\displaystyle {\text{ángulo en grados}}={\text{ángulo en radianes}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$$

Por ejemplo:

• ${\displaystyle 1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$(secuencia A072097 en el OEIS )
• ${\displaystyle 2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

Por el contrario, para convertir de grados a radianes, multiplique por${\displaystyle {\pi }/{180}{\text{ rad}}}$. $${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}}$$

Por ejemplo:

• ${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.0175{\text{ rad}}}$(secuencia A019685 en el OEIS )
• ${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180}}{\text{ rad}}\approx 0.4014{\text{ rad}}}$

Los radianes se pueden convertir a vueltas (una vuelta es el ángulo correspondiente a una revolución) dividiendo el número de radianes entre 2π .

Una revolución corresponde a un ángulo de${\displaystyle 2\pi }$radianes, que equivalen a una vuelta , y a 400 gradianes (400 gons o 400 ^g ). Para convertir de radianes a gradianes, multiplique por ${\displaystyle 200^{\text{g}}/\pi }$⁠ , y para convertir de grados a radianes, multiplique por${\displaystyle \pi /200{\text{ rad}}}$. Por ejemplo,

• ${\displaystyle 1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}}$
• ${\displaystyle 50^{\text{g}}=50\cdot {\frac {\pi }{200}}{\text{ rad}}\approx 0.7854{\text{ rad}}}$

En cálculo y en la mayoría de las demás ramas de las matemáticas, más allá de la geometría práctica , los ángulos se miden en radianes. Esto se debe a que los radianes poseen una naturalidad matemática que permite una formulación más elegante de algunos resultados importantes.

Los resultados de los análisis que involucran funciones trigonométricas se pueden expresar elegantemente cuando los argumentos de las funciones se expresan en radianes. Por ejemplo, el uso de radianes conduce a la fórmula simple del límite .$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$$ que es la base de muchas otras identidades en matemáticas, incluyendo $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$$

Debido a estas y otras propiedades, las funciones trigonométricas aparecen en soluciones de problemas matemáticos que no están obviamente relacionados con los significados geométricos de las funciones (por ejemplo, las soluciones de la ecuación diferencial ⁠${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$⁠ , la evaluación de la integral ⁠${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}}$⁠ , y así sucesivamente). En todos esos casos, es apropiado que los argumentos de las funciones se traten como números (adimensionales), sin ninguna referencia a ángulos.

Las funciones trigonométricas de ángulos también tienen expansiones en serie simples y elegantes cuando se utilizan radianes. Por ejemplo, cuando x es el ángulo expresado en radianes, la serie de Taylor para sen x  se convierte en: $${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$$

Si y fuera el ángulo x pero expresado en grados, es decir, y = πx / 180 , entonces la serie contendría factores complicados que involucran potencias de π /180 : $${\displaystyle \sin y={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$$

De forma similar, si intervienen ángulos, las relaciones matemáticamente importantes entre las funciones seno y coseno y la función exponencial (véase, por ejemplo, la fórmula de Euler ) pueden enunciarse elegantemente cuando los argumentos de las funciones son ángulos expresados ​​en radianes (y resultan engorrosas en otros casos). En términos más generales, en la teoría de números complejos, los argumentos de estas funciones son números (adimensionales, posiblemente complejos), sin ninguna referencia a ángulos físicos.

El radián se utiliza ampliamente en física cuando se requieren mediciones angulares. Por ejemplo, la velocidad angular se expresa típicamente en radianes por segundo (rad/s). Una revolución por segundo equivale a 2π radianes por segundo.

De manera similar, la unidad utilizada para la aceleración angular suele ser radianes por segundo al cuadrado (rad/s² ⁾ .

Para efectos del análisis dimensional , las unidades de velocidad angular y aceleración angular son s ⁻¹ y s ⁻² respectivamente.

Asimismo, la diferencia del ángulo de fase de dos ondas también se puede expresar utilizando el radián como unidad. Por ejemplo, si la diferencia del ángulo de fase de dos ondas es ( n × 2π ) radianes, donde n es un número entero, se consideran en fase , mientras que si la diferencia del ángulo de fase de dos ondas es ( n × 2π + π ) radianes, con n un número entero, se consideran en antifase.

Una unidad de radián recíproco o radián inverso (rad ⁻¹ ) está involucrada en unidades derivadas como metro por radián (para longitud de onda angular ) o newton-metro por radián (para rigidez torsional).

Los prefijos métricos para submúltiplos se utilizan con radianes. Un milirradián (mrad) es una milésima de radián (0,001  rad), es decir, 1 rad = 10³ ^mrad . Hay 2π × 1000 milirradianes (≈ 6283,185 mrad  ) en un círculo. Por lo tanto, un milirradián es un poco menos de 1/6283 del ángulo subtendido por un círculo completo. Esta unidad de medida angular de un círculo es de uso común entre los fabricantes de miras telescópicas que utilizan telémetros (estadimétricos) en retículas . La divergencia de los haces láser también se suele medir en milirradianes.

El mil angular es una aproximación del milirradián utilizado por la OTAN y otras organizaciones militares en artillería y puntería . Cada mil angular representa 1/6400 de un círculo y es 15/8 % o 1,875 % menor que el milirradián. Para los ángulos pequeños que se encuentran típicamente en el trabajo de puntería , la conveniencia de usar el número 6400 en el cálculo compensa los pequeños errores matemáticos que introduce . En el pasado, otros sistemas de artillería han utilizado diferentes aproximaciones a 1 / 2000π ; por ejemplo , Suecia usó el 1/6300 y la URSS usó 1/6000 . Al estar basado en el milirradián, el mil de la OTAN abarca aproximadamente 1 m a una distancia de 1000 m (en ángulos tan pequeños, la curvatura es insignificante).  

Los prefijos más pequeños que milli- son útiles para medir ángulos extremadamente pequeños. Microrradianes (μrad,10 ⁻⁶  rad ) y nanorradianes (nrad,10 ⁻⁹  rad ) se utilizan en astronomía, y también se pueden utilizar para medir la calidad del haz de láseres con divergencia ultrabaja. Más común es el segundo de arco , que es ⁠ π /648 000 rad (alrededor de 4,8481 microrradianes).

La idea de medir ángulos mediante la longitud del arco fue utilizada por los matemáticos desde muy temprano. Por ejemplo, al -Kashi (c. 1400) utilizó las llamadas partes del diámetro como unidades, donde una parte del diámetro equivalía a 1/60 radianes . También utilizaron subunidades sexagesimales de la parte del diámetro. ^{[ 32 ]} Newton, en 1672 , habló de "la magnitud angular del movimiento circular de un cuerpo", pero la utilizó únicamente como medida relativa para desarrollar un algoritmo astronómico. ^{[ 33 ]}

El concepto de la medida del radián se atribuye normalmente a Roger Cotes , quien murió en 1716. Hacia 1722, su primo Robert Smith había recopilado y publicado los escritos matemáticos de Cotes en un libro, Harmonia mensurarum . ^{[ 34 ]} En un capítulo de comentarios editoriales, Smith dio lo que probablemente sea el primer cálculo publicado de un radián en grados, citando una nota de Cotes que no se ha conservado. Smith describió el radián en todo menos en el nombre: «Ahora bien, este número es igual a 180 grados como el radio de un círculo dividido por la semicircunferencia , esto es como 1 a 3,141592653589» y reconoció su naturalidad como unidad de medida angular. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

En 1765, Leonhard Euler adoptó implícitamente el radián como unidad de ángulo. ^{[ 33 ]} Específicamente, Euler definió la velocidad angular como "La velocidad angular en el movimiento de rotación es la velocidad de aquel punto cuya distancia al eje de giro se expresa mediante uno". ^{[ 37 ]} Euler fue probablemente el primero en adoptar esta convención, denominada convención del radián, que da la fórmula simple para la velocidad angular ω = v / r . Como se discute en §  Análisis dimensional , la convención del radián ha sido ampliamente adoptada, mientras que las formulaciones dimensionalmente consistentes requieren la inserción de una constante dimensional, por ejemplo ω = v /( ηr ) . ^{[ 27 ]}

Antes de que el término radián se generalizara, la unidad se denominaba comúnmente medida circular de un ángulo. ^{[ 38 ]} El término radián apareció por primera vez impreso el 5 de junio de 1873, en preguntas de examen elaboradas por James Thomson (hermano de Lord Kelvin ) en el Queen's College de Belfast . Ya había utilizado el término en 1871, mientras que en 1869, Thomas Muir , entonces de la Universidad de St Andrews , vaciló entre los términos rad , radial y radián . En 1874, tras consultar con James Thomson, Muir adoptó radián . ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]} El nombre radián no se adoptó universalmente hasta algún tiempo después. El libro Longmans' School Trigonometry todavía denominaba al radián medida circular cuando se publicó en 1890. ^{[ 42 ]}

En 1893, Alexander Macfarlane escribió: «El verdadero argumento analítico para las razones circulares no es la razón del arco al radio, sino la razón del doble del área de un sector al cuadrado del radio». ^{[ 43 ]} Sin embargo, el artículo fue retirado de las actas publicadas del congreso matemático celebrado en relación con la Exposición Mundial Colombina de Chicago (reconocido en la página 167) y publicado de forma privada en sus Papers on Space Analysis (1894). Macfarlane llegó a esta idea de razones de áreas al considerar la base del ángulo hiperbólico , que se define de forma análoga. ^{[ 44 ]}

Como escriben Paul Quincey y otros, «El estatus de los ángulos dentro del Sistema Internacional de Unidades (SI) ha sido durante mucho tiempo fuente de controversia y confusión». ^{[ 45 ]} En 1960, la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) estableció el SI y el radián fue clasificado como una «unidad suplementaria» junto con el estereorradián . Esta clase especial fue considerada oficialmente «ya sea como unidades base o como unidades derivadas», ya que la CGPM no pudo llegar a una decisión sobre si el radián era una unidad base o una unidad derivada. ^{[ 46 ]} Richard Nelson escribe: «Esta ambigüedad [en la clasificación de las unidades suplementarias] provocó un animado debate sobre su interpretación adecuada». ^{[ 47 ]} En mayo de 1980, el Comité Consultivo de Unidades (CCU) consideró una propuesta para convertir el radián en una unidad base del SI, utilizando una constante α ₀ = 1 rad , ^{[ 48 ] [ 27 ]} pero la rechazó para evitar una alteración de la práctica actual. ^{[ 27 ]}

En octubre de 1980, la CGPM decidió que las unidades suplementarias eran unidades derivadas adimensionales para las cuales la CGPM permitió la libertad de usarlas o no usarlas en expresiones para unidades derivadas del SI, ^{[ 47 ]} sobre la base de que "[no existe ningún formalismo] que sea al mismo tiempo coherente y conveniente y en el que las cantidades ángulo plano y ángulo sólido puedan considerarse cantidades base" y que "[la posibilidad de tratar el radián y el estereorradián como unidades base del SI] compromete la coherencia interna del SI basado en solo siete unidades base". ^{[ 49 ]} En 1995, la CGPM eliminó la clase de unidades suplementarias y definió el radián y el estereorradián como "unidades derivadas adimensionales, cuyos nombres y símbolos pueden, pero no necesariamente, usarse en expresiones para otras unidades derivadas del SI, según sea conveniente". ^{[ 50 ]} Mikhail Kalinin, escribiendo en 2019, criticó la decisión de la CGPM de 1980 como "infundada" y dijo que la decisión de la CGPM de 1995 usó argumentos inconsistentes e introdujo "numerosas discrepancias, inconsistencias y contradicciones en la redacción del SI". ^{[ 51 ]}

En la reunión de la CCU de 2013, Peter Mohr presentó una ponencia sobre las supuestas inconsistencias derivadas de la definición del radián como unidad adimensional en lugar de unidad base. El presidente de la CCU, Ian M. Mills, declaró que se trataba de un «problema formidable» y se creó el Grupo de Trabajo de la CCU sobre Ángulos y Cantidades Adimensionales en el SI . ^{[ 52 ]} La CCU se reunió en 2021, pero no llegó a un consenso. Un pequeño grupo de miembros defendió con vehemencia que el radián debía ser una unidad base, pero la mayoría consideró que el statu quo era aceptable o que el cambio causaría más problemas de los que resolvería. Se creó un grupo de trabajo para «revisar el uso histórico de las unidades suplementarias del SI y considerar si su reintroducción sería beneficiosa», entre otras actividades. ^{[ 53 ] [ 54 ]}