Radical de un anillo

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un radical de un anillo es un ideal de elementos "no buenos" del anillo .

El primer ejemplo de radical fue el nilradical introducido por Köthe (1930) , basado en una sugerencia de Wedderburn (1908) . En los años siguientes se descubrieron otros radicales, de los cuales el más importante es el radical de Jacobson . La teoría general de los radicales fue definida independientemente por Amitsur ( 1952 , 1954 , 1954b ) y Kurosh (1953) .

El estudio de los radicales se llama teoría de la torsión .

Definiciones

En la teoría de radicales, se suele asumir que los anillos son asociativos , pero no necesariamente conmutativos ni que tengan un elemento neutro multiplicativo . En particular, todo ideal en un anillo es también un anillo.

Dejar ${\mathfrak {A}}$ ser una clase de anillos que sea:

cerrado bajo imágenes homomórficas . Es decir, para todos los anillos $A,B\in {\mathfrak {A}}$ y cualquier homomorfismo de anillo $f:A\rightarrow B$ (que puede no preservar ninguna identidad izquierda o derecha) entonces la imagen de $f$ está en ${\mathfrak {A}}$
cerrado bajo la adopción de ideales (para todos los anillos) $A\in {\mathfrak {A}}$ , y $I$ es un ideal en $A$ , entonces $I\in {\mathfrak {A}}$ ).

En particular, ${\mathfrak {A}}$ podría ser simplemente la clase de todos los anillos (no unitarios).

Sea r alguna propiedad abstracta de los anillos en ${\mathfrak {A}}$ Un anillo con propiedad r se llama r -anillo; un ideal de algún anillo con propiedad r se llama r -ideal. En particular, los r -ideales son un subconjunto de los r -anillos. Un anillo $A$ Se dice que un anillo es r - semisimple si no tiene r-ideales distintos de cero.

Se dice que r es una propiedad radical si:

La clase de r -anillos es cerrada bajo imágenes homomórficas.
Por cada anillo $A\in {\mathfrak {A}}$ existe un r -ideal asociado $r(A)$ , que es máximo — $r(A)$ contiene todos los r -ideales de A. El ideal $r(A)$ se denomina radical r del anillo $A$ .
$r(A/r(A))=0$ , lo cual es cierto si y solo si el anillo cociente $A/r(A)$ es r -semi-simple.

Tenga en cuenta que, para cualquier anillo r $R$ , $R$ es su propio r -ideal máximo. Se puede decir que $R$ es un radical , y la clase de r -anillos es la clase radical . Se puede definir una propiedad radical especificando una clase radical válida como una subclase de ${\mathfrak {A}}$ : para un ideal I de algún anillo arbitrario en ${\mathfrak {A}}$ , I es un '' r '' -ideal si es isomorfo a algún anillo en la clase radical.

Para cualquier clase de anillos $\delta \in {\mathfrak {A}}$ , existe una clase radical más pequeña $L\delta$ que lo contiene, llamado el radical inferior de $\delta$ . El operador L se denomina operador radical inferior .

Una clase de anillos se llama regular si todo ideal no nulo de un anillo en la clase tiene una imagen no nula en la clase. Para cada clase regular δ de anillos, existe una clase radical máxima U δ , llamada radical superior de δ , que tiene intersección cero con δ . El operador U se llama operador radical superior .

Se dice que una propiedad radical r es hereditaria si para cualquier anillo $A\in {\mathfrak {A}}$ y cualquier ideal $I$ del anillo $A$ , $r(I)=r(A)\cap I$ . Una condición equivalente en la clase radical es que cualquier ideal de un radical es también un radical.

La definición se extiende fácilmente a la definición del radical de un álgebra . En particular, los anillos son álgebras sobre el anillo de los números enteros.

Ejemplos

Jacobson radical

Sea R un anillo cualquiera, no necesariamente conmutativo. El radical de Jacobson de R es la intersección de los anuladores de todos los R -módulos derechos simples .

Existen varias caracterizaciones equivalentes del radical de Jacobson, tales como:

J( R ) es la intersección de los ideales derechos (o izquierdos) máximos regulares de R .
J( R ) es la intersección de todos los ideales primitivos derechos (o izquierdos) de R .
J( R ) es el ideal derecho (o izquierdo) cuasi-regular máximo de R.

Al igual que con el nilradical , se puede extender esta definición a ideales bilaterales arbitrarios I definiendo J( I ) como la preimagen de J( R/I ) bajo el mapa de proyección R → R/I .

Si R es conmutativo, el radical de Jacobson siempre contiene el nilradical. Si el anillo R es un álgebra Z finitamente generada , entonces el nilradical es igual al radical de Jacobson, y más generalmente: el radical de cualquier ideal I siempre será igual a la intersección de todos los ideales maximales de R que contienen a I. Esto significa que R es un anillo de Jacobson .

Radical de Baer

El radical de Baer de un anillo es la intersección de los ideales primos del anillo R. Equivalentemente, es el ideal semiprimo más pequeño en R. El radical de Baer es el radical inferior de la clase de anillos nilpotentes, y también se denomina "nilradical inferior" (y se denota Nil _∗R ), "radical primo" y "radical de Baer-McCoy". Cada elemento del radical de Baer es nilpotente , por lo que es un ideal nulo .

Para anillos conmutativos, esto es simplemente el nilradical y sigue de cerca la definición del radical de un ideal .

radical nil superior o radical de Köthe

La suma de los ideales nulos de un anillo R es el nilradical superior Nil ^*R o radical de Köthe y es el único ideal nulo más grande de R. La conjetura de Köthe pregunta si algún ideal nulo izquierdo está en el nilradical.

Radical singular

Un elemento de un anillo (posiblemente no conmutativo ) se llama singular izquierdo si aniquila un ideal izquierdo esencial , es decir, r es singular izquierdo si Ir = 0 para algún ideal izquierdo esencial I. El conjunto de elementos singulares izquierdos de un anillo R es un ideal bilateral, llamado ideal singular izquierdo , y se denota ${\mathcal {Z}}(_{R}R)$ . El N ideal de R tal que $N/{\mathcal {Z}}(_{R}R)={\mathcal {Z}}(_{R/{\mathcal {Z}}(_{R}R)}R/{\mathcal {Z}}(_{R}R))\,$ se denota por ${\mathcal {Z}}_{2}(_{R}R)$ y se denomina radical singular o torsión de Goldie de R. El radical singular contiene el radical primo (el nilradical en el caso de anillos conmutativos), pero puede contenerlo propiamente, incluso en el caso conmutativo. Sin embargo, el radical singular de un anillo noetheriano es siempre nilpotente.

Levitzki radical

El radical de Levitzki se define como el ideal nilpotente local más grande , análogo al radical de Hirsch-Plotkin en la teoría de grupos . Si el anillo es noetheriano , entonces el radical de Levitzki es en sí mismo un ideal nilpotente, y por lo tanto, es el único ideal nilpotente izquierdo, derecho o bilateral más grande.

radical Brown-McCoy

El radical de Brown-McCoy (llamado radical fuerte en la teoría de las álgebras de Banach ) se puede definir de cualquiera de las siguientes maneras:

la intersección de los ideales bilaterales máximos
la intersección de todos los ideales modulares máximos
el radical superior de la clase de todos los anillos simples con identidad multiplicativa

El radical Brown-McCoy se estudia con mucha mayor generalidad que los anillos asociativos con 1.

radical regular de von Neumann

Un anillo regular de von Neumann es un anillo A (posiblemente no conmutativo sin elemento neutro multiplicativo) tal que para cada a existe algún b con a = aba . Los anillos regulares de von Neumann forman una clase radical. Contiene todo anillo matricial sobre un álgebra de división , pero no contiene anillos nulos.

radical artiniano

El radical artiniano se define habitualmente para anillos noetherianos bilaterales como la suma de todos los ideales derechos que son módulos artinianos . Esta definición es simétrica izquierda-derecha y, en efecto, produce un ideal bilateral del anillo. Este radical es importante en el estudio de los anillos noetherianos, como señalan Chatters y Hajarnavis (1980) .

Véase también

Usos relacionados de radicales que no son radicales de anillos:

Referencias

Amitsur, SA (1952). "Una teoría general de radicales. I: Radicales en retículos completos". American Journal of Mathematics . 74 (4): 774– 786. doi : 10.2307/2372225 . JSTOR 2372225 .
Amitsur, SA (1954). "Una teoría general de radicales. II: Radicales en anillos y bicategorías". American Journal of Mathematics . 75 (1): 100– 125. doi : 10.2307/2372403 . JSTOR 2372403 .
Amitsur, SA (1954b). "Una teoría general de radicales. III: Aplicaciones". American Journal of Mathematics . 75 (1): 126– 136. doi : 10.2307/2372404 . JSTOR 2372404 .
Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980), Anillos con condiciones de cadena , Notas de investigación en matemáticas, vol. 44, Boston, Massachusetts: Pitman (Programa de publicación avanzada), pp. vii+197, ISBN 0-273-08446-1, MR 0590045
Köthe, Gottfried (1930). "Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist". Mathematische Zeitschrift . 32 (1): 161– 186. doi : 10.1007/BF01194626 . S2CID 123292297 .
Kurosh, AG (1953). "Radicales de anillos y álgebras". Matematicheskii Sbornik (en ruso). 33 : 13–26 .
Wedderburn, JHM (1908). "Sobre los números hipercomplejos" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 6 (1): 77– 118. doi : 10.1112/plms/s2-6.1.77 .

Lecturas adicionales

Andrunakievich, VA (2001) [1994], "Radical de anillos y álgebras" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Amitsur, Shimshon A.; Mann, Avinoam (2001), Selected Papers of SA Amitsur with Commentary, Part 1 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 9780821829240
Divinsky, NJ (1965), Anillos y radicales , Exposiciones matemáticas n.° 14, University of Toronto Press , MR 0197489
Gardner, BJ; Wiegandt, R. (2004), Teoría radical de anillos , Monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas, vol. 261, Marcel Dekker , ISBN 978-0-8247-5033-6, MR 2015465
Goodearl, KR (1976), Teoría de los anillos , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-6354-1, MR 0429962
Gray, Mary W. (1970), Un enfoque radical del álgebra , Addison-Wesley , MR 0265396
Stenström, Bo (1971), Anillos y módulos de cocientes , Lecture Notes in Mathematics, vol. 237, Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0059904 , ISBN 978-3-540-05690-4, MR 0325663 , Zbl 0229.16003
Wiegandt, Richard (1974), Clases radicales y semisimples de anillos , Kingston, Ont.: Queen's University , MR 0349734