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Articulo de referencia

Número de Heegner

En teoría de números , los números de Heegner son enteros positivos libres de cuadrados. d {\displaystyle d} de tal manera que el campo cuadrático imaginario Q ( − d ) {\display...

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En teoría de números , los números de Heegner son enteros positivos libres de cuadrados.d{\displaystyle d}de tal manera que el campo cuadrático imaginarioQ(−d){\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}tiene clase número 1. Equivalentemente, el anillo de enteros algebraicos deQ(−d){\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}tiene factorización única . [ 1 ]

La determinación de dichos números es un caso especial del problema del número de clases , y subyacen a varios resultados sorprendentes en la teoría de números.

Según el teorema de Stark-Heegner, existen precisamente nueve números de Heegner:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 y 163 (secuencia A003173 en el OEIS ).

Este resultado fue conjeturado por Gauss y demostrado, salvo pequeñas deficiencias, por Kurt Heegner en 1952. Alan Baker y Harold Stark demostraron independientemente el resultado en 1966, y Stark indicó además que la laguna en la demostración de Heegner era mínima. [ 2 ]

Polinomio generador de números primos de Euler

Polinomio generador de números primos de Euler

norte2+norte+41{\displaystyle n^{2}+n+41},

lo que proporciona números primos distintos paranorte=0,...,39{\displaystyle n=0,...,39}, está relacionado con el número de Heegner163=4⋅41−1{\displaystyle 163=4\cdot 41-1}.

Rabinowitsch [ 3 ] demostró que el polinomio

norte2+norte+pag{\displaystyle n^{2}+n+p}

da números primos paranorte=0,…,pag−2{\displaystyle n=0,\dots ,p-2}si y solo si su discriminante1−4pag{\displaystyle 1-4p}es el negativo de un número de Heegner.

1, 2 y 3 no tienen la forma requerida, por lo que los números de Heegner que funcionan son 7, 11, 19, 43, 67, 163, que producen funciones generadoras primas de la forma de Euler para 2, 3, 5, 11, 17, 41; estos últimos números son llamados números de la suerte de Euler por F. Le Lionnais . [ 4 ]

Casi enteros y la constante de Ramanujan

La constante de Ramanujan es el número trascendental [ 5 ].miπ163{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}, que es casi un entero : [ 6 ]miπ163=262537412640768743.99999999999925…≈6403203+744.{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots \approx 640\,320^{3}+744.}

Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite . [ 7 ] En un artículo del Día de los Inocentes de 1975 en la revista Scientific American , [ 8 ] el columnista de "Juegos Matemáticos", Martin Gardner, hizo la afirmación falsa de que el número era en realidad un entero, y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan lo había predicho, de ahí su nombre.

Detalles

Esta coincidencia se explica por la multiplicación compleja y la expansión q del invariante j . En lo que sigue,j(z){\displaystyle j(z)}denota el j -invariante del número complejoz{\displaystyle z}. Brevemente,j(1+−d2){\displaystyle \textstyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)}es un número entero para d un número de Heegner, y  miπd≈−j(1+−d2)+744{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744} mediante la expansión q .

Siτ{\displaystyle \tau }es un número irracional cuadrático , entonces su j -invariantej(τ){\displaystyle j(\tau )}es un entero algebraico de grado|dol(Q(τ))|{\displaystyle \left|\mathrm {Cl} {\bigl (}\mathbb {Q} (\tau ){\bigr )}\right|}, el número de clase deQ(τ){\displaystyle \mathbb {Q} (\tau )}y el polinomio mínimo (integral mónico) que satisface se denomina "polinomio de clase de Hilbert". Por lo tanto, si la extensión cuadrática imaginariaQ(τ){\displaystyle \mathbb {Q} (\tau )}tiene número de clase 1 (por lo que d es un número de Heegner), el invariante j es un entero.

La expansión q de j , con su expansión en serie de Fourier escrita como una serie de Laurent en términos deq=mi2πiτ{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}, comienza como: j(τ)=1q+744+196884q+⋯.{\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}

Los coeficientesdonorte{\displaystyle c_{n}}crecen asintóticamente a medida que ln⁡(donorte)∼4πnorte+O(ln⁡(norte)),{\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O{\bigl (}\ln(n){\bigr )},} y los coeficientes de orden bajo crecen más lentamente que200000norte{\displaystyle 200\,000^{n}}, así que paraq≪1200000{\displaystyle \textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}}, j se aproxima muy bien mediante sus dos primeros términos. Estableciendoτ=1+−1632{\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}rendimientos q=−mi−π163∴1q=−miπ163.{\displaystyle q=-e^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad \therefore \quad {\frac {1}{q}}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}.} Ahora j(1+−1632)=(−640320)3,{\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=\left(-640\,320\right)^{3},} entonces, (−640320)3=−miπ163+744+O(mi−π163).{\displaystyle \left(-640\,320\right)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).} O, miπ163=6403203+744+O(mi−π163){\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)} donde el término lineal del error es,

−196884miπ163≈−1968846403203+744≈−0.00000000000075{\displaystyle {\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3}+744}}\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}

explicando por quémiπ163{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}está aproximadamente dentro del rango superior de ser un número entero.

Fórmulas de Pi

Los hermanos Chudnovsky descubrieron en 1987 que 1π=1264032032∑k=0∞(6k)¡(163⋅3344418k+13591409)(3k)¡(k¡)3(−640320)3k,{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}},} una prueba de la cual utiliza el hecho de que j(1+−1632)=−6403203.{\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.} Para fórmulas similares, consulte la serie de Ramanujan-Sato .

Otros números de Heegner

Para los cuatro números de Heegner más grandes, las aproximaciones que se obtienen [ 9 ] son ​​las siguientes. miπ19≈0000963+744−0,22miπ43≈0009603+744−0.00022miπ67≈0052803+744−0.0000013miπ163≈6403203+744−0.00000000000075{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\phantom {000\,0}}96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx {\phantom {000\,}}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx {\phantom {00}}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}

Alternativamente, [ 10 ]miπ19≈123(32−1)300+744−0,22miπ43≈123(92−1)300+744−0.00022miπ67≈123(212−1)30+744−0.0000013miπ163≈123(2312−1)3+744−0.00000000000075{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\phantom {00}}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{\phantom {00}}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right)^{3}{\phantom {0}}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2}-1\right)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}} donde la razón de los cuadrados se debe a ciertas series de Eisenstein . Para los números de Heegnerd<19{\displaystyle d<19}, no se obtiene un casi entero; inclusod=19{\displaystyle d=19}no es digno de mención. [ 11 ] Los invariantes j enteros son altamente factorizables, lo que se deduce de la forma

123(norte2−1)3=(22⋅3⋅(norte−1)⋅(norte+1))3,{\displaystyle 12^{3}\left(n^{2}-1\right)^{3}=\left(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1)\right)^{3},}

y factor como, j(1+−192)=0000−963=−(25⋅3)3j(1+−432)=000−9603=−(26⋅3⋅5)3j(1+−672)=00−52803=−(25⋅3⋅5⋅11)3j(1+−1632)=−6403203=−(26⋅3⋅5⋅23⋅29)3.{\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\phantom {000\,0}}-96^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\right)&={\phantom {000\,}}-960^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\phantom {00}}-5\,280^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640\,320^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}}

Estos números trascendentales , además de ser aproximados de cerca por enteros (que son simplemente números algebraicos de grado  1), pueden ser aproximados de cerca por números algebraicos de grado  3, [ 12 ].miπ19≈incógnita24−24.00031;incógnita3−2incógnita−2=0miπ43≈incógnita24−24.00000031;incógnita3−2incógnita2−2=0miπ67≈incógnita24−24.0000000019;incógnita3−2incógnita2−2incógnita−2=0miπ163≈incógnita24−24.0000000000000011;incógnita3−6incógnita2+4incógnita−2=0{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&=0\end{aligned}}}

Las raíces de las cúbicas pueden darse exactamente mediante cocientes de la función eta de Dedekind η ( τ ), una función modular que involucra una raíz 24, y que explica el 24 en la aproximación. También pueden aproximarse con precisión mediante números algebraicos de grado 4, [ 13 ].miπ19≈35(3−2(1−9624+13⋅19))−2−12.00006…miπ43≈35(9−2(1−96024+73⋅43))−2−12.000000061…miπ67≈35(21−2(1−528024+313⋅67))−2−12.00000000036…miπ163≈35(231−2(1−64032024+24133⋅163))−2−12.00000000000000021…{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}

Siincógnita{\displaystyle x}denota la expresión dentro del paréntesis (p. ej.incógnita=3−2(1−9624+13⋅19){\displaystyle x=3-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96}{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}}), satisface respectivamente las ecuaciones cuárticasincógnita4−004⋅3incógnita3+000023(96+3)incógnita2−00000023⋅3(96−6)incógnita−3=0incógnita4−004⋅9incógnita3+00023(960+3)incógnita2−0000023⋅9(960−6)incógnita−3=0incógnita4−04⋅21incógnita3+0023(5280+3)incógnita2−00023⋅21(5280−6)incógnita−3=0incógnita4−4⋅231incógnita3+23(640320+3)incógnita2−23⋅231(640320−6)incógnita−3=0{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-{\phantom {00}}4\cdot 3x^{3}+{\phantom {000\,0}}{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}-{\phantom {000\,000}}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\x^{4}-{\phantom {00}}4\cdot 9x^{3}+{\phantom {000\,}}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}-{\phantom {000\,00}}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\phantom {0}}4\cdot 21x^{3}+{\phantom {00}}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\phantom {000}}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end{aligned}}}

Nótese la reaparición de los números enteros.norte=3,9,21,231{\displaystyle n=3,9,21,231}así como el hecho de que 26⋅3(−(1−9624)2+12⋅3⋅19)=96226⋅3(−(1−96024)2+72⋅3⋅43)=960226⋅3(−(1−528024)2+312⋅3⋅67)=5280226⋅3(−(1−64032024)2+24132⋅3⋅163)=6403202{\displaystyle {\begin{aligned}2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {96}{24}}\right)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19\right)&=96^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {960}{24}}\right)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43\right)&=960^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}\right)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67\right)&=5\,280^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}\right)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163\right)&=640\,320^{2}\end{aligned}}} que, con la potencia fraccionaria apropiada, son precisamente los j -invariantes.

De manera similar para los números algebraicos de grado  6, miπ19≈(5incógnita)3−6.000010…miπ43≈(5incógnita)3−6.000000010…miπ67≈(5incógnita)3−6.000000000061…miπ163≈(5incógnita)3−6.000000000000000034…{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}

donde las x vienen dadas respectivamente por la raíz apropiada de las ecuaciones sexticas , 5incógnita6−000096incógnita5−10incógnita3+1=05incógnita6−000960incógnita5−10incógnita3+1=05incógnita6−005280incógnita5−10incógnita3+1=05incógnita6−640320incógnita5−10incógnita3+1=0{\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\phantom {000\,0}}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\phantom {000\,}}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\phantom {00}}5\,280x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}

con los j -invariantes apareciendo de nuevo. Estos sexticos no solo son algebraicos, sino que también son resolubles en radicales , ya que se factorizan en dos cúbicos sobre la extensión.Q5{\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}(con la primera factorización en dos ecuaciones cuadráticas ). Estas aproximaciones algebraicas pueden expresarse exactamente en términos de cocientes eta de Dedekind. Como ejemplo, seaτ=1+−1632{\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}, entonces, miπ163=(miπi24η(τ)η(2τ))24−24.00000000000000105…miπ163=(miπi12η(τ)η(3τ))12−12.00000000000000021…miπ163=(miπi6η(τ)η(5τ))6−6.000000000000000034…{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}

donde los cocientes eta son los números algebraicos dados anteriormente.

Números de clase 2

Los tres números 88, 148, 232, para los cuales el campo cuadrático imaginarioQ[−d]{\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}tiene clase número 2, no son números de Heegner pero tienen ciertas propiedades similares en términos de casi enteros . Por ejemplo, [ 14 ]miπ88+8744≈000025089522−0,077…miπ148+8744≈001991486482−0.00097…miπ232+8744≈245912577522−0.0000078…{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\phantom {00\,00}}2\,508\,952^{2}-0.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\phantom {00\,}}199\,148\,648^{2}-0.000\,97\dots \\e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0.000\,0078\dots \\\end{aligned}}} y miπ22−24≈00(6+42)6+0.00011…miπ37+24≈(12+237)6−0.0000014…miπ58−24≈(27+529)6−0.0000000011…{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\phantom {00}}\left(6+4{\sqrt {2}}\right)^{6}+0.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6}-0.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}

Números primos consecutivos

Dado un primo impar p , si se calcula k2 metrood pag{\displaystyle k^{2}\ \mathrm {mod} \ p}parak=0,1,…,pag−12{\displaystyle \textstyle k=0,1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}}(esto es suficiente porque(pag−k)2≡k2 (metrood pag){\displaystyle \left(p-k\right)^{2}\equiv k^{2}\ (\mathrm {mod} \ p)}), se obtienen compuestos consecutivos, seguidos de primos consecutivos, si y solo si p es un número de Heegner [ 15 ] . [ 16 ]

Notas

  1. ↑ Conway y Guy (1996) , pág. 224.
  2. ↑ Stark (1969) .
  3. ↑ Rabinovitch, Georg "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern". Proc. Quinto Internado. Congreso de Matemáticas. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
  4. ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. París: Hermann, págs. 88 y 144, 1983.
  5. ↑ Weisstein, Eric W. "Número trascendental" . MathWorld .damiπd,d∈Z∗{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}, basado en Nesterenko, Yu. V. "Sobre la independencia algebraica de los componentes de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. Traducción al inglés en Math. USSR 8, 501–518, 1974.
  6. ↑ Constante de Ramanujan – de Wolfram MathWorld
  7. ↑ Barrow (2002) , pág. 72.
  8. ↑ Gardner (1975) .
  9. ↑ Esto se puede comprobar mediante cálculos miπd−7443{\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}} en una calculadora y 196884miπd{\displaystyle {\frac {196\,884}{e^{\pi {\sqrt {d}}}}}} para el término lineal del error.
  10. ↑ "Más sobre e^(pi*SQRT(163))" . Archivado del original el 11 de agosto de 2009. Consultado el 19 de abril de 2008 .
  11. ↑ La desviación absoluta de un número real aleatorio (elegido uniformemente de [ 0,1 ] , por ejemplo) es una variable distribuida uniformemente en [ 0, 0.5 ] , por lo que tiene una desviación media absoluta y una desviación absoluta mediana de 0.25, y una desviación de 0.22 no es excepcional.
  12. ↑ "Fórmulas de Pi" .
  13. ^ "Ampliación de los cocientes de Dedekind Eta de Ramanujan" .
  14. ↑ Titus Piezas. "La constante de Ramanujan e^(pv163) y sus primas" (PDF) .
  15. ↑ "Campos cuadráticos complejos simples" .
  16. ↑ Mollin, RA (1996). "Polinomios cuadráticos que producen primos consecutivos y distintos y grupos de clases de campos cuadráticos complejos" (PDF) . Acta Arithmetica . 74 : 17–30 . doi : 10.4064/aa-74-1-17-30 .

Referencias

  • Weisstein, Eric W. "Número Heegner" . MundoMatemático .
  • Secuencia OEIS A003173 (Números de Heegner: campos cuadráticos imaginarios con factorización única)
  • El problema del número de clases de Gauss para campos cuadráticos imaginarios, por Dorian Goldfeld : Historia detallada del problema.
  • Clark, Alex. "163 y la constante de Ramanujan" . Numberphile . Brady Haran . Archivado del original el 16 de mayo de 2013. Consultado el 2 de abril de 2013 .