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Paquete cercano aleatorio

El empaquetamiento compacto aleatorio ( PCA ) de esferas es un parámetro empírico que se utiliza para caracterizar la fracción de volumen máxima de objetos sólidos que se obtien...

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El empaquetamiento compacto aleatorio ( PCA ) de esferas es un parámetro empírico que se utiliza para caracterizar la fracción de volumen máxima de objetos sólidos que se obtiene al empaquetarlos aleatoriamente. Por ejemplo, cuando un recipiente sólido se llena con granos , agitarlo reduce el volumen que ocupan los objetos, lo que permite añadir más granos al recipiente. En otras palabras, agitarlo aumenta la densidad de los objetos empaquetados. Sin embargo, la agitación no puede aumentar la densidad indefinidamente; se alcanza un límite, y si este límite se alcanza sin un empaquetamiento evidente en una estructura ordenada, como una red cristalina regular, esta es la densidad de empaquetamiento compacto aleatorio empírica para este procedimiento de empaquetamiento en particular. El empaquetamiento compacto aleatorio es la fracción de volumen más alta posible entre todos los procedimientos de empaquetamiento posibles.

Los experimentos y las simulaciones por computadora han demostrado que la forma más compacta de empaquetar esferas duras perfectas del mismo tamaño de forma aleatoria da una fracción de volumen máxima de alrededor del 64%, es decir, aproximadamente el 64% del volumen de un contenedor está ocupado por las esferas. El problema de predecir teóricamente el empaquetamiento compacto aleatorio de esferas es difícil principalmente debido a la ausencia de una definición única de aleatoriedad o desorden. [ 1 ] El valor del empaquetamiento compacto aleatorio es significativamente inferior al empaquetamiento compacto máximo posible de esferas duras del mismo tamaño en arreglos cristalinos regulares , que es 74,04%. [ 2 ] Tanto las redes cristalinas cúbicas centradas en las caras (fcc) como las hexagonales compactas (hcp) tienen densidades máximas iguales a este límite superior, que puede ocurrir a través del proceso de cristalización granular .

La fracción de empaquetamiento compacto aleatorio de discos en el plano también se ha considerado un problema teóricamente sin resolver debido a dificultades similares. R. Blumenfeld encontró una solución analítica, aunque no en forma cerrada, a este problema en 2021. [ 3 ] La solución se obtuvo limitando la probabilidad de crecimiento de cúmulos ordenados a un valor exponencialmente pequeño y relacionándola con la distribución de «celdas», que son los huecos más pequeños rodeados por discos conectados. La fracción de volumen máxima derivada es del 85,3542%, si solo se excluyen los cúmulos de red hexagonal , y del 85,2514% si también se excluyen los cúmulos de red cuadrada deformada .

En 2022, A. Zaccone halló una solución analítica y de forma cerrada para empaquetamientos aleatorios de esferas mecánicamente estables, tanto en 2D como en 3D, basándose en la suposición de que la rama más aleatoria de estados atascados (empaquetamientos atascados máximamente aleatorios, que se extienden hasta el empaquetamiento compacto fcc) experimenta un hacinamiento cualitativamente similar al de un líquido en equilibrio. [ 4 ] [ 5 ] Las razones de la efectividad de esta solución son objeto de debate continuo. [ 6 ]

Definición

El empaquetamiento compacto aleatorio de esferas aún no tiene una definición geométrica precisa. Se define estadísticamente y los resultados son empíricos. Un recipiente se llena aleatoriamente con objetos y luego se agita o golpea hasta que los objetos dejan de compactarse; en este punto, el estado de empaquetamiento es RCP. La fracción de empaquetamiento se puede definir como: "el volumen ocupado por un número determinado de partículas en un espacio de volumen dado". En otras palabras, la fracción de empaquetamiento define la densidad de empaquetamiento. Se ha demostrado que la fracción de llenado aumenta con el número de golpes hasta alcanzar la densidad de saturación. [ 7 ] [ 8 ] Además, la densidad de saturación aumenta a medida que disminuye la amplitud de los golpes . Por lo tanto, RCP es la fracción de empaquetamiento dada por el límite cuando la amplitud de los golpes tiende a cero y el límite cuando el número de golpes tiende a infinito .

Efecto de la forma del objeto

La fracción de volumen de partículas en RCP depende de los objetos que se empaquetan. Si los objetos son polidispersos , la fracción de volumen depende de forma no trivial de la distribución de tamaño y puede ser arbitrariamente cercana a 1 en el límite de una desviación estándar muy grande de la distribución de tamaño. En la práctica, las soluciones analíticas y simulaciones numéricas disponibles muestran una meseta de saturación en fracciones de volumen de 0,96-0,99 para valores grandes de la desviación estándar. [ 9 ] [ 10 ] Aun así, para objetos (relativamente) monodispersos, el valor de RCP depende de la forma del objeto; para esferas es 0,64, para caramelos M&M's es 0,68. [ 11 ]

Para esferas

Ejemplo

Los productos que contienen artículos empaquetados de forma suelta suelen llevar la etiqueta: «El contenido puede asentarse durante el envío». Normalmente, durante el envío, el contenedor sufre numerosos golpes, lo que aumenta la densidad del empaque. El mensaje se añade para asegurar al consumidor que el contenedor está lleno en términos de masa, aunque parezca ligeramente vacío. Los sistemas de partículas compactadas también se utilizan como modelo básico de medios porosos .

Véase también

Referencias

  1. ↑ Torquato, S.; Truskett, TM; Debenedetti, PG (2000). "¿Está bien definido el empaquetamiento compacto aleatorio de esferas?". Physical Review Letters . 84 (10): 2064– 2067. arXiv : cond-mat/0003416 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2064T . doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2064 . PMID 11017210 . S2CID 13149645 .  
  2. ↑ Modos de cristalización granular inducida por la pared en el empaquetamiento vibracional. Materia Granular, 21(2), 26
  3. ↑ Blumenfeld, Raphael (2021-09-09). "Criterio de desorden y solución explícita para el problema de empaquetamiento aleatorio de discos". Physical Review Letters . 127 (11) 118002. arXiv : 2106.11774 . Bibcode : 2021PhRvL.127k8002B . doi : 10.1103/physrevlett.127.118002 . ISSN 0031-9007 . PMID 34558936 . S2CID 237617506 .   
  4. ↑ Zaccone, Alessio (2022). "Solución analítica explícita para el empaquetamiento compacto aleatorio en d=2 y d=3". Physical Review Letters . 128 (2) 028002. arXiv : 2201.04541 . Bibcode : 2022PhRvL.128b8002Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.128.028002 . PMID 35089741 . S2CID 245877616 .  
  5. ↑ Weisstein, Eric W. "Empaquetamiento cerrado aleatorio" . MathWorld .
  6. ↑ Likos, Christos (2022). "Maximización de la eficiencia espacial sin orden, analíticamente" . Journal Club for Condensed Matter Physics . doi : 10.36471/JCCM_March_2022_02 . S2CID 247914694 . 
  7. ↑ Rosato, Anthony D.; Dybenko, Oleksandr; Horntrop, David J.; Ratnaswamy, Vishagan; Kondic, Lou (2010). "Evolución de la microestructura en la relajación de densidad por golpeteo". Physical Review E . 81 (6) 061301. Bibcode : 2010PhRvE..81f1301R . doi : 10.1103/physreve.81.061301 . PMID 20866410 . 
  8. ↑ Ratnaswamy, V.; Rosato, AD; Blackmore, D.; Tricoche, X.; Ching, Luo; Zuo, L. (2012). "Evolución de las superficies de fracción de sólidos en el taponamiento: simulación y análisis de sistemas dinámicos". Granular Matter . 14 (2): 163– 68. doi : 10.1007/s10035-012-0343-2 . ​​S2CID 254114944 . 
  9. ↑ Anzivino, C.; Casiulis, M.; Zhang, T.; Moussa, AS; Martiniani, S.; Zaccone, A. (2023). "Estimación del empaquetamiento compacto aleatorio en esferas duras polidispersas y bidispersas mediante un modelo de equilibrio de hacinamiento". Journal of Chemical Physics . 158 : 044901. arXiv : 2301.09599 . doi : 10.1063/5.0137111 .
  10. ↑ Zaccone, A. (2025). "Solución analítica para el problema de empaquetamiento compacto aleatorio polidisperso en 2D". Powder Technology . 459 121008. arXiv : 2502.03354 . doi : 10.1016/j.powtec.2025.121008 .
  11. ↑ Donev, A.; Cisse, I.; Sachs, D.; Variano, EA; Stillinger, FH; Connelly, R.; Torquato, S.; Chaikin, PM (2004). "Mejora de la densidad de empaquetamientos desordenados atascados mediante elipsoides". Science . 303 (5660): 990– 993. Bibcode : 2004Sci...303..990D . CiteSeerX 10.1.1.220.1156 . doi : 10.1126/science.1093010 . PMID 14963324 . S2CID 33409855 .   
  12. ↑ Dullien, FAL (1992). Medios porosos: transporte de fluidos y estructura de poros (2.ª ed.). Academic Press. ISBN  978-0-12-223651-8.
  • Jaeger, HM; Nagel, SR (1992). "Física de los estados granulares". Science . 255 (5051): 1523– 31. Bibcode : 1992Sci...255.1523J . doi : 10.1126/science.255.5051.1523 . PMID 17820163 . S2CID 44568820 .  
  • Donev, A.; Cisse, Ibrahim; Sachs, David; Variano, Evan A.; Stillinger, Frank H.; Connelly, Robert; Torquato, Salvatore; Chaikin, PM (2004). "Mejora de la densidad de empaquetamientos desordenados atascados mediante elipsoides". Science . 303 (5660): 990– 993. Bibcode : 2004Sci...303..990D . CiteSeerX 10.1.1.220.1156 . doi : 10.1126/science.1093010 . PMID 14963324 . S2CID 33409855 .