Conjunto compacto aleatorio

En matemáticas , un conjunto compacto aleatorio es esencialmente una variable aleatoria con valores en un conjunto compacto . Los conjuntos compactos aleatorios son útiles en el estudio de atractores para sistemas dinámicos aleatorios .

Dejar${\displaystyle (M,d)}$Sea un espacio métrico separable completo .${\displaystyle {\mathcal {K}}}$denotamos el conjunto de todos los subconjuntos compactos de${\displaystyle M}$La métrica de Hausdorff${\displaystyle h}$en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$se define por

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}$es también un espacio métrico separable completo. Los subconjuntos abiertos correspondientes generan un σ -álgebra en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, el álgebra sigma de Borel${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$de${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

Un conjunto compacto aleatorio es una función medible.${\displaystyle K}$de un espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$en${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$.

Dicho de otro modo, un conjunto compacto aleatorio es una función medible.${\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}$de tal manera que${\displaystyle K(\omega )}$es casi seguro compacto y

${\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

es una función medible para cada${\displaystyle x\in M}$.

Los conjuntos compactos aleatorios en este sentido también son conjuntos cerrados aleatorios como en Matheron (1975). En consecuencia, bajo el supuesto adicional de que el espacio portador es localmente compacto, su distribución viene dada por las probabilidades

${\displaystyle \mathbb {P} (X\cap K=\emptyset )}$para${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}.}$

(La distribución de un conjunto convexo compacto aleatorio también viene dada por el sistema de todas las probabilidades de inclusión)${\displaystyle \mathbb {P} (X\subset K).}$)

Para${\displaystyle K=\{x\}}$, la probabilidad${\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)}$se obtiene, lo cual satisface

${\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)=1-\mathbb {P} (x\not \in X).}$

Por lo tanto, la función de cobertura${\displaystyle p_{X}}$es dado por

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)}$para${\displaystyle x\in M.}$

Por supuesto,${\displaystyle p_{X}}$También puede interpretarse como la media de la función indicadora.${\displaystyle \mathbf {1} _{X}}$:

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).}$

La función de cobertura toma valores entre${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$. El conjunto${\displaystyle b_{X}}$de todos${\displaystyle x\in M}$con${\displaystyle p_{X}(x)>0}$se llama el soporte de${\displaystyle X}$. El conjunto${\displaystyle k_{X}}$, de todos${\displaystyle x\in M}$con${\displaystyle p_{X}(x)=1}$Se denomina núcleo , conjunto de puntos fijos o mínimo esencial.${\displaystyle e(X)}$. Si${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$Si es una secuencia de conjuntos compactos aleatorios i.i.d. , entonces casi con seguridad

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)}$

y${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}}$converge casi con seguridad a${\displaystyle e(X).}$

• Matheron, G. (1975) Conjuntos aleatorios y geometría integral . J. Wiley & Sons, Nueva York. ISBN 0-471-57621-2
• Molchanov, I. (2005) Teoría de conjuntos aleatorios . Springer, Nueva York. ISBN 1-85233-892-X
• Stoyan D., y H. Stoyan (1994) Fractales, formas aleatorias y campos de puntos . John Wiley & Sons, Chichester, Nueva York. ISBN 0-471-93757-6