Medida aleatoria

Una medida aleatoria${\displaystyle \zeta }$es un núcleo de transición localmente finito ( como ) de un espacio de probabilidad abstracto${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {A}},P)}$a${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$. ^{[ 3 ]}

Ser un núcleo de transición significa que

• Para cualquier fijo${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}}$, el mapeo

${\displaystyle \omega \mapsto \zeta (\omega,B)}$

es medible desde${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {A}})}$ a${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

• Para cada fijo${\displaystyle \omega \in \Omega }$, el mapeo

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})}$

es una medida sobre${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Ser localmente finito significa que las medidas

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega,B)}$

satisfacer${\displaystyle \zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty }$para todos los conjuntos medibles acotados${\displaystyle {\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}}$ y para todos${\displaystyle \omega \in \Omega }$excepto algunos${\displaystyle P}$- conjunto nulo

En el contexto de los procesos estocásticos existe el concepto relacionado de núcleo estocástico, núcleo de probabilidad, núcleo de Markov .

Definir

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ es medida en }}(E,{\mathcal {E}})\}}$

y el subconjunto de medidas localmente finitas por

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ para todo medible acotado }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}}$

Para todo lo mensurable limitado${\displaystyle {\tilde {B}}}$, definir las asignaciones

${\displaystyle I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})}$

de${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Dejar${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}}$ser el${\displaystyle \sigma }$-álgebra inducida por las aplicaciones${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$en${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$y${\displaystyle \mathbb {M} }$el${\displaystyle \sigma }$-álgebra inducida por las aplicaciones${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$ en${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M} }$.

Una medida aleatoria es un elemento aleatorio de${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {A}},P)}$a${\displaystyle ({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})}$que casi con seguridad toma valores en${\displaystyle ({\mathcal {M}},\mathbb {M} )}$^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Para una medida aleatoria${\displaystyle \zeta }$la medida${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$satisfactorio

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

por cada función positiva medible${\displaystyle f}$se denomina medida de intensidad de${\displaystyle \zeta }$. La medida de intensidad existe para cada medida aleatoria y es una medida s-finita .

Para una medida aleatoria${\displaystyle \zeta }$la medida${\displaystyle \nu }$satisfactorio

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ ya que }}{\text{ si y solo si }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

para todas las funciones medibles positivas se denomina medida de soporte de${\displaystyle \zeta }$La medida de soporte existe para todas las medidas aleatorias y puede elegirse de forma que sea finita.

Para una medida aleatoria${\displaystyle \zeta }$, la transformada de Laplace se define como

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]}$

por cada función positiva medible${\displaystyle f}$.

Para una medida aleatoria${\displaystyle \zeta }$, las integrales

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

y ${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

para positivo${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-mensurable${\displaystyle f}$son medibles, por lo tanto son variables aleatorias .

La distribución de una medida aleatoria está determinada de forma única por las distribuciones de

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

para todas las funciones continuas con soporte compacto${\displaystyle f}$en${\displaystyle E}$. Para un semianillo fijo${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$que genera${\displaystyle {\mathcal {E}}}$en el sentido de que${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$, la distribución de una medida aleatoria también está determinada unívocamente por la integral sobre todos los números simples positivos${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-funciones medibles${\displaystyle f}$. ^{[ 6 ]}

Una medida generalmente se puede descomponer de la siguiente manera:

${\displaystyle \mu =\mu _ {d}+\mu _ {a}=\mu _ {d}+\sum _ {n=1}^{N}\kappa _ {n}\delta _ {X_ {n}},}$

Aquí${\displaystyle \mu _{d}}$es una medida difusa sin átomos, mientras que${\displaystyle \mu _{a}}$es una medida puramente atómica.