Medida aleatoria

En la teoría de la probabilidad , una medida aleatoria es un elemento aleatorio con valor de medida . ^{[1] [2]} Las medidas aleatorias se utilizan, por ejemplo, en la teoría de procesos aleatorios , donde forman muchos procesos puntuales importantes , como los procesos puntuales de Poisson y los procesos de Cox .

Las medidas aleatorias se pueden definir como núcleos de transición o como elementos aleatorios . Ambas definiciones son equivalentes. Para las definiciones, sea un espacio métrico completo separable y sea su álgebra de Borel . (El ejemplo más común de un espacio métrico completo separable es ) ${\estilo de visualización E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\estilo de visualización \sigma}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una medida aleatoria es un núcleo de transición localmente finito desde un espacio de probabilidad abstracto a . ^[3]${\estilo de visualización \zeta}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Ser un núcleo de transición significa que

• Para cualquier fijo , el mapeo${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}}$

${\displaystyle \omega \mapsto \zeta (\omega,B)}$

es medible de a${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

• Para cada fijo , el mapeo${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})}$

es una medida sobre${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Ser localmente finito significa que las medidas

${\displaystyle B\mapsto \zeta (\omega ,B)}$

satisfacer para todos los conjuntos mensurables acotados y para todos excepto algunos - conjunto nulo${\displaystyle \zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty }$${\displaystyle {\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle P}$

En el contexto de los procesos estocásticos existe el concepto relacionado de núcleo estocástico, núcleo de probabilidad o núcleo de Markov .

Definir

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}}$

y el subconjunto de medidas localmente finitas por

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}}$

Para todos los valores medibles acotados , defina las asignaciones ${\displaystyle {\tilde {B}}}$

${\displaystyle I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})}$

de a . Sea la -álgebra inducida por las aplicaciones en y la -álgebra inducida por las aplicaciones en . Nótese que . ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$${\displaystyle \mathbb {M} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle I_{\tilde {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M} }$

Una medida aleatoria es un elemento aleatorio de a que casi con seguridad toma valores en ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle ({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})}$${\displaystyle ({\mathcal {M}},\mathbb {M} )}$

Para una medida aleatoria , la medida que satisface ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

Para cada función medible positiva se denomina medida de intensidad de . La medida de intensidad existe para cada medida aleatoria y es una medida s-finita . ${\displaystyle f}$${\displaystyle \zeta }$

Para una medida aleatoria , la medida que satisface ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

Para todas las funciones medibles positivas se denomina medida de apoyo de . La medida de apoyo existe para todas las medidas aleatorias y puede elegirse que sea finita. ${\displaystyle \zeta }$

Para una medida aleatoria , la transformada de Laplace se define como ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]}$

para cada función medible positiva . ${\displaystyle f}$

Para una medida aleatoria , las integrales ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

y ${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

para los positivos -medibles son mensurables, por lo que son variables aleatorias . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle f}$

La distribución de una medida aleatoria está determinada únicamente por las distribuciones de

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

para todas las funciones continuas con soporte compacto en . Para un semianillo fijo que genera en el sentido de que , la distribución de una medida aleatoria también está determinada de forma única por la integral sobre todas las funciones simples medibles positivas . ^[6]${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle f}$

Una medida generalmente podría descomponerse de la siguiente manera:

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

Aquí hay una medida difusa sin átomos, mientras que es una medida puramente atómica. ${\displaystyle \mu _{d}}$${\displaystyle \mu _{a}}$

Una medida aleatoria de la forma:

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},}$

donde es la medida de Dirac , y son variables aleatorias, se denomina proceso puntual ^{[1] [2]} o medida de conteo aleatoria . Esta medida aleatoria describe el conjunto de N partículas, cuyas ubicaciones están dadas por las variables aleatorias (generalmente de valor vectorial) . El componente difuso es nulo para una medida de conteo. ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \mu _{d}}$

En la notación formal de arriba, una medida de conteo aleatoria es una función de un espacio de probabilidad al espacio medible ( ,  )${\displaystyle N_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(N_{X})}$ un espacio medible . Aquí está el espacio de todas las medidas de valores enteros finitos acotados (llamadas medidas de conteo ). ${\displaystyle N_{X}}$${\displaystyle N\in M_{X}}$

Las definiciones de medida de expectativa, funcional de Laplace, medidas de momento y estacionariedad para medidas aleatorias siguen las de los procesos puntuales . Las medidas aleatorias son útiles en la descripción y análisis de métodos de Monte Carlo , como la cuadratura numérica de Monte Carlo y los filtros de partículas . ^[7]

• Medida aleatoria de Poisson
• Medida vectorial
• Conjunto