Conjunto compacto aleatorio

En matemáticas , un conjunto aleatorio compacto es esencialmente una variable aleatoria con valor de conjunto compacto . Los conjuntos aleatorios compactos son útiles en el estudio de atractores para sistemas dinámicos aleatorios .

Sea un espacio métrico separable completo . Sea el conjunto de todos los subconjuntos compactos de . La métrica de Hausdorff en se define por ${\estilo de visualización (M,d)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización h}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}$es también un espacio métrico separable completo. Los subconjuntos abiertos correspondientes generan un σ-álgebra en , el álgebra sigma de Borel de . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Un conjunto compacto aleatorio es una función medible de un espacio de probabilidad en . ${\estilo de visualización K}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$

Dicho de otra manera, un conjunto compacto aleatorio es una función medible tal que es casi seguramente compacta y ${\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}$${\displaystyle K(\omega )}$

${\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

es una función medible para cada . ${\displaystyle x\en M}$

Los conjuntos compactos aleatorios en este sentido son también conjuntos cerrados aleatorios como en Matheron (1975). En consecuencia, bajo el supuesto adicional de que el espacio de portadores es localmente compacto, su distribución está dada por las probabilidades

${\displaystyle \mathbb {P} (X\cap K=\conjunto vacío)}$para${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}.}$

(La distribución de un conjunto convexo compacto aleatorio también está dada por el sistema de todas las probabilidades de inclusión ) ${\displaystyle \mathbb {P} (X\subconjunto K).}$

Para , se obtiene la probabilidad , que satisface$Estilo de visualización K=x$${\displaystyle \mathbb {P} (x\in X)}$

${\displaystyle \mathbb {P} (x\en X)=1-\mathbb {P} (x\no \en X).}$

Por lo tanto la función de cobertura viene dada por $estilo de visualización p_{X}}$

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} (x\in X)}$para${\displaystyle x\en M.}$

Por supuesto, también se puede interpretar como la media de la función indicadora : $estilo de visualización p_{X}}$${\displaystyle \mathbf {1}_{X}}$

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {E} \mathbf {1} _{X}(x).}$

La función de cobertura toma valores entre y . El conjunto de todos los con se llama soporte de . El conjunto , de todos los con se llama núcleo , el conjunto de puntos fijos o mínimo esencial . Si , es una secuencia de conjuntos compactos aleatorios iid , entonces casi con seguridad ${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 1}$$Estilo de visualización b_ {X}}$${\displaystyle x\en M}$$estilo de visualización p_{X}(x)>0}$${\estilo de visualización X}$$estilo de visualización k_ {X}}$${\displaystyle x\en M}$$estilo de visualización p_{X}(x)=1}$ ${\displaystyle e(X)}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\lpuntos}$

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)}$

y converge casi con seguridad a${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}}$${\displaystyle e(X).}$

• Matheron, G. (1975) Conjuntos aleatorios y geometría integral . J.Wiley & Sons, Nueva York. ISBN  0-471-57621-2
• Molchanov, I. (2005) La teoría de conjuntos aleatorios . Springer, Nueva York. ISBN 1-85233-892-X 
• Stoyan D. y H. Stoyan (1994) Fractales, formas aleatorias y campos de puntos . John Wiley & Sons, Chichester, Nueva York. ISBN 0-471-93757-6