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Elección social fraccionaria

La elección social fraccionaria , estocástica o ponderada es una rama de la teoría de la elección social en la que la decisión colectiva no es una única alternativa, sino una su...

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La elección social fraccionaria , estocástica o ponderada es una rama de la teoría de la elección social en la que la decisión colectiva no es una única alternativa, sino una suma ponderada de dos o más alternativas. [ 1 ] Por ejemplo, si la sociedad tiene que elegir entre tres candidatos (A, B o C), en la elección social estándar se elige exactamente uno de ellos. En cambio, en la elección social fraccionaria es posible elegir cualquier combinación lineal de estos, por ejemplo, "2/3 de A y 1/3 de B". [ 2 ]

Una interpretación común de la suma ponderada es como una lotería, en la que el candidato A es elegido con una probabilidad de 2/3 y el candidato B con una probabilidad de 1/3. La regla también puede interpretarse como una receta para compartir, por ejemplo:

  • Reparto de tiempo: el candidato A es elegido (de forma determinista) para 2/3 del tiempo, mientras que el candidato B es elegido para 1/3 del tiempo.
  • Distribución del presupuesto: el candidato A recibe 2/3 del presupuesto, mientras que el candidato B recibe 1/3 del presupuesto.
  • También se puede utilizar una división equitativa con diferentes porcentajes para repartir un recurso heterogéneo entre los candidatos A y B, cuyos porcentajes serán de 2/3 y 1/3, respectivamente.

Definiciones formales

Existe un conjunto finito de alternativas (también llamados candidatos ) y un conjunto finito de votantes (también llamados agentes ). Los votantes pueden tener diferentes preferencias sobre las alternativas. Las preferencias de los agentes pueden expresarse de varias maneras:

  • Relaciones de preferencia : cada votante tiene una clasificación de los candidatos. La relación puede ser estricta o débil . Estricta significa que no hay empates; el agente siempre prefiere a un candidato u otro. Débil significa que puede haber empates; el agente podría ser indiferente entre dos o más candidatos.
  • Distribuciones ideales: cada votante tiene en mente una distribución ideal de la probabilidad, el tiempo y el presupuesto entre los candidatos. Este modelo se desarrolla en la página sobre agregación de propuestas presupuestarias .

Una función de elección social aleatoria (RSCF) toma como entrada el conjunto de relaciones de preferencia de los votantes. Devuelve como salida una " mezcla ", un vector p de números reales en [0,1], uno por cada candidato, de manera que la suma de los números sea 1. Esta mezcla puede interpretarse como una variable aleatoria (una lotería), cuyo valor es igual a cada candidato x con probabilidad p ( x ). También puede interpretarse como una asignación determinista de una fracción a cada candidato.

Dado que los votantes expresan preferencias solo sobre candidatos individuales, para evaluar las funciones de clasificación estocásticas (RSCF) es necesario "elevar" estas preferencias a preferencias sobre combinaciones. Este proceso de elevación se suele denominar extensión de lotería y da como resultado uno de varios ordenamientos estocásticos .

Propiedades

Propiedades básicas

Dos propiedades básicas deseadas de las RSCF son el anonimato (los nombres de los votantes no importan) y la neutralidad (los nombres de los resultados no importan). El anonimato y la neutralidad no siempre pueden ser satisfechos por una función de elección social determinista. Por ejemplo, si hay dos votantes y dos alternativas A y B, y cada votante desea una alternativa diferente, entonces la única mezcla anónima y neutral es 1/2*A+1/2*B. Por lo tanto, el uso de mezclas es esencial para garantizar las propiedades básicas de equidad. [ 3 ] : 1

Propiedades de consistencia

Las siguientes propiedades implican cambios en el conjunto de votantes o en el conjunto de alternativas.

Consistencia de Condorcet : si existe un ganador de Condorcet, la función devuelve una mezcla degenerada en la que este ganador obtiene 1 y las demás alternativas obtienen 0 (es decir, el ganador de Condorcet se elige con probabilidad 1).

Consistencia de la agenda : sea p una mezcla, y sean A y B conjuntos de alternativas que contienen el soporte de p . Entonces, la función devuelve p para la unión de A y B, si y solo si devuelve p para A y para B. Esta propiedad fue denominada expansión/contracción por Sen. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

Consistencia de la población : si la función devuelve una mezcla p para dos conjuntos disjuntos de votantes, entonces devuelve la misma p para su unión. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

Independencia de los clones (también llamada consistencia de clonación ): si una alternativa se "clona", de manera que todos los votantes clasifican a todos sus clones uno cerca del otro, entonces el peso (=probabilidad) de todas las demás alternativas en la mezcla resultante no se ve afectado. [ 9 ]

  • Una variante más estricta es la consistencia de la composición : también requiere que, en cada componente, el peso de cada alternativa sea proporcional a su peso cuando el componente se considera de forma aislada.

Estas propiedades garantizan que un planificador central no pueda realizar manipulaciones simples como dividir alternativas, clonar alternativas o dividir la población.

Cabe señalar que las propiedades de consistencia dependen únicamente de la clasificación de las alternativas individuales; no requieren la clasificación de las mezclas.

Propiedades de comparación de mezclas

Las siguientes propiedades implican comparaciones de mezclas. Para definirlas con precisión, es necesario suponer cómo los votantes clasifican las mezclas. Esto requiere un ordenamiento estocástico en las loterías. Existen varios ordenamientos de este tipo; los más comunes en la teoría de la elección social, en orden de fuerza, son DD (dominancia determinista), BD (dominancia bilineal), SD (dominancia estocástica) y PC (dominancia por comparación por pares). Véase el apartado de ordenamiento estocástico para definiciones y ejemplos.

Eficiencia : ninguna combinación es mejor para al menos un votante y al menos igual de buena para todos. Se puede definir la eficiencia DD, la eficiencia BD, la eficiencia SD, la eficiencia PC y la eficiencia ex post (el resultado final siempre es eficiente).

Resistencia a la manipulación estratégica : informar preferencias falsas no conduce a una combinación que sea mejor para el votante. Nuevamente, se puede definir la resistencia a la manipulación estratégica DD, BD, SD y PC.

Participación : abstenerse de participar no garantiza una mejor opción para el votante. Nuevamente, se puede definir la participación DD, BD, SD y PC.

Funciones comunes

Algunas reglas comúnmente utilizadas para la elección social aleatoria son: [ 3 ]

Dictadura aleatoria : se selecciona un votante al azar, quien determina el resultado. Si las preferencias son estrictas, se obtiene una mezcla en la que el peso de cada alternativa es directamente proporcional al número de votantes que la clasifican en primer lugar. Si las preferencias son débiles y el votante elegido es indiferente entre dos o más opciones óptimas, se selecciona un segundo votante al azar para que elija entre ellas, y así sucesivamente. Esta extensión se denomina dictadura serial aleatoria . Satisface la eficiencia ex post, la fuerte resistencia a la estrategia SD, la participación SD muy fuerte, la consistencia de la agenda y la consistencia de clonación. No cumple con la consistencia de Condorcet, la consistencia de composición ni (con preferencias débiles) la consistencia de población.

Max Borda devuelve una mezcla en la que todas las alternativas con el mayor valor de Borda tienen el mismo peso, y todas las demás alternativas tienen un peso de 0. En otras palabras, elige aleatoriamente a una de las ganadoras de Borda (se pueden usar otras funciones de puntuación en lugar de Borda). Satisface la eficiencia SD, la participación fuerte SD y la consistencia poblacional, pero no satisface ninguna forma de resistencia a la manipulación estratégica ni ninguna otra consistencia.

Borda proporcional : devuelve una mezcla en la que el peso de cada alternativa es proporcional a su puntuación Borda . En otras palabras, aleatoriza entre todas las alternativas, donde la probabilidad de cada alternativa es proporcional a su puntuación (se pueden usar otras funciones de puntuación en lugar de Borda). Satisface la resistencia a la manipulación estratégica, la participación y la consistencia poblacional, pero no la eficiencia ni ninguna otra consistencia.

Loterías máximas : una regla basada en comparaciones por pares de alternativas. Para cualesquiera dos alternativas x,y , calculamos cuántos votantes prefieren x a y, y cuántos votantes prefieren y a x , y sea M xy la diferencia. La matriz resultante M se llama matriz de margen de mayoría . Una mezcla p se llama máxima si y solo sipagTMETRO≥0{\displaystyle p^{T}M\geq 0}Cuando se interpreta como una lotería, significa que p es débilmente preferida a cualquier otra lotería por una mayoría esperada de votantes (el número esperado de agentes que prefieren la alternativa devuelta por p a la devuelta por cualquier otra lotería q , es al menos tan grande como el número esperado de agentes que prefieren la alternativa devuelta por q a la devuelta por p ). Una lotería máxima es el análogo continuo de un ganador de Condorcet . Sin embargo, si bien un ganador de Condorcet puede no existir, una lotería máxima siempre existe. Esto se deduce de la aplicación del teorema Minimax a un juego de suma cero simétrico apropiado para dos jugadores . Satisface la eficiencia PC, la resistencia a la manipulación estratégica DD, la participación PC y todas las propiedades de consistencia, en particular, la consistencia de Condorcet.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Aziz, Haris (28 de marzo de 2015). "La paradoja de Condorcet y el teorema del votante mediano para la elección social aleatoria" . Boletín de Economía . 35 (1): 745–749 . ISSN 1545-2921 . 
  2. ↑ Pattanaik, Prasanta K.; Peleg, Bezalel (1986). "Distribución del poder bajo reglas de elección social estocásticas". Econometrica . 54 (4): 909– 921. doi : 10.2307/1912843 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1912843 .  
  3. 1 2 Felix Brandt (26 de octubre de 2017). "Lanzando los dados: resultados recientes en la elección social probabilística" . En Endriss, Ulle (ed.). Tendencias en la elección social computacional . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3.
  4. ↑ Sen, Amartya K. (1971). "Funciones de elección y preferencia revelada". The Review of Economic Studies . 38 (3): 307– 317. doi : 10.2307/2296384 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296384 .  
  5. ↑ Sen, Amartya (1977). "Teoría de la elección social: una reevaluación". Econometrica . 45 (1): 53– 89. doi : 10.2307/1913287 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1913287 .  
  6. ↑ Sen, Amartya (1986-01-01). «Capítulo 22 Teoría de la elección social» . Manual de Economía Matemática . 3 : 1073–1181 . doi : 10.1016/S1573-4382(86)03004-7 . ISBN 9780444861283ISSN 1573-4382​​ 
  7. ↑ Smith, John H. (1973). "Agregación de preferencias con electorado variable". Econometrica . 41 (6): 1027– 1041. doi : 10.2307/1914033 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1914033 .  
  8. ↑ Young, HP (1974-09-01). "Una axiomatización de la regla de Borda" . Journal of Economic Theory . 9 (1): 43– 52. doi : 10.1016/0022-0531(74)90073-8 . ISSN 0022-0531 . 
  9. 1 2 Fine, B.; Fine, K. (1974). "Elección social y clasificación individual I". The Review of Economic Studies . 41 (3): 303– 322. doi : 10.2307/2296751 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296751 .  
  10. ↑ Aziz, Haris (2016-11-08). "Incentivos de participación en la elección social aleatoria". arXiv : 1602.02174 [ cs.GT ].
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