Espacios de filas y columnas

Dada una matriz J :

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$

las filas son ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}}$. En consecuencia, el espacio fila de J es el subespacio de${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$generado por { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } . Dado que estos cuatro vectores fila son linealmente independientes , el espacio fila es de 4 dimensiones. Además, en este caso se puede observar que todos son ortogonales al vector n = [6, −1, 4, −4, 0] ( n es un elemento del núcleo de J ), por lo que se puede deducir que el espacio fila consta de todos los vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$que son ortogonales a n .

Sea K un cuerpo de escalares . Sea A una matriz m × n , con vectores columna v ₁ , v ₂ , ..., v _n . Una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma

${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}$

donde c ₁ , c ₂ , ..., c _n son escalares. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de v ₁ , ..., v _n se llama espacio columna de A . Es decir, el espacio columna de A es el espacio generado por los vectores v ₁ , ..., v _n .

Cualquier combinación lineal de los vectores columna de una matriz A puede escribirse como el producto de A con un vector columna:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}$

Por lo tanto, el espacio columna de A consta de todos los productos posibles A x , para x ∈ K ⁿ . Esto es lo mismo que la imagen (o rango ) de la transformación matricial correspondiente .

Las columnas de A abarcan el espacio columna, pero es posible que no formen una base si los vectores columna no son linealmente independientes . Afortunadamente, las operaciones elementales de fila no afectan las relaciones de dependencia entre los vectores columna. Esto permite utilizar la reducción de filas para encontrar una base para el espacio columna.

Por ejemplo, consideremos la matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.}$

Las columnas de esta matriz abarcan el espacio columna, pero pueden no ser linealmente independientes , en cuyo caso un subconjunto de ellas formará una base. Para encontrar esta base, reducimos A a la forma escalonada reducida por filas :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$^{[ 6 ]}

En este punto, queda claro que la primera, la segunda y la cuarta columna son linealmente independientes, mientras que la tercera columna es una combinación lineal de las dos primeras. (Específicamente, v ₃ = −2 v ₁ + v ₂ .) Por lo tanto, la primera, la segunda y la cuarta columna de la matriz original constituyen una base para el espacio columna:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.}$

Nótese que las columnas independientes de la forma escalonada reducida son precisamente las columnas con pivotes . Esto permite determinar qué columnas son linealmente independientes reduciendo únicamente a la forma escalonada .

El algoritmo anterior puede utilizarse en general para hallar las relaciones de dependencia entre cualquier conjunto de vectores y para seleccionar una base de cualquier conjunto generador. Asimismo, hallar una base para el espacio columna de A es equivalente a hallar una base para el espacio fila de la matriz transpuesta A ^T. 

Para encontrar la base en un entorno práctico (por ejemplo, para matrices grandes), se suele utilizar la descomposición en valores singulares .

La dimensión del espacio columna se denomina rango de la matriz. El rango es igual al número de pivotes en la forma escalonada reducida por filas y representa el número máximo de columnas linealmente independientes que se pueden seleccionar de la matriz. Por ejemplo, la matriz de 4  ×  4 del ejemplo anterior tiene rango tres.

Debido a que el espacio columna es la imagen de la transformación matricial correspondiente , el rango de una matriz es igual a la dimensión de la imagen. Por ejemplo, la transformación${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}}$descrito por la matriz anterior mapea todo${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$a algún subespacio tridimensional .

La nulidad de una matriz es la dimensión del espacio nulo y es igual al número de columnas en la forma escalonada reducida por filas que no tienen pivotes. ^{[ 7 ]} El rango y la nulidad de una matriz A con n columnas están relacionados por la ecuación:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,}$

Esto se conoce como el teorema de rango-nulidad .

El espacio nulo izquierdo de A es el conjunto de todos los vectores x tales que x ^T A = 0 ^T . Es lo mismo que el espacio nulo de la transpuesta de A . El producto de la matriz A ^T y el vector x se puede escribir en términos del producto escalar de vectores:

${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

porque los vectores fila de A ^T son transpuestas de los vectores columna v _k de A. Por lo tanto, A ^T x = 0 si y solo si x es ortogonal (perpendicular) a cada uno de los vectores columna de A.

De ello se deduce que el espacio nulo izquierdo (el espacio nulo de A ^T ) es el complemento ortogonal del espacio columna de A .

Para una matriz A , el espacio columna, el espacio fila, el espacio nulo y el espacio nulo izquierdo se denominan a veces los cuatro subespacios fundamentales .

De manera similar, el espacio columna (a veces desambiguado como espacio columna derecha ) puede definirse para matrices sobre un anillo K como

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}}$

para cualquier c ₁ , ..., c _n , con reemplazo del espacio vectorial m con " módulo libre derecho ", que cambia el orden de la multiplicación escalar del vector v _k por el escalar c _k de tal manera que se escribe en un orden inusual vector – escalar . ^{[ 8 ]}

Sea K un cuerpo de escalares . Sea A una matriz m × n , con vectores fila r ₁ , r ₂ , ..., r _m . Una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma

${\displaystyle c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},}$

donde c ₁ , c ₂ , ..., c _m son escalares. El conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de r ₁ , ..., r _m se llama espacio fila de A . Es decir, el espacio fila de A es el espacio generado por los vectores r ₁ , ..., r _m .

Por ejemplo, si

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},}$

Entonces, los vectores fila son r ₁ = [1, 0, 2] y r ₂ = [0, 1, 0] . Una combinación lineal de r ₁ y r ₂ es cualquier vector de la forma

${\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.}$

El conjunto de todos esos vectores es el espacio fila de A. En este caso, el espacio fila es precisamente el conjunto de vectores ( x , y , z ) ∈ K ³ que satisfacen la ecuación z = 2 x (usando coordenadas cartesianas , este conjunto es un plano que pasa por el origen en el espacio tridimensional ).

Para una matriz que representa un sistema homogéneo de ecuaciones lineales , el espacio fila consta de todas las ecuaciones lineales que se derivan de las del sistema.

^El espacio columna de A es igual al espacio fila de AT .

El espacio fila no se ve afectado por las operaciones elementales de fila . Esto permite utilizar la reducción de filas para encontrar una base para el espacio fila.

Por ejemplo, consideremos la matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.}$

Las filas de esta matriz abarcan el espacio fila, pero pueden no ser linealmente independientes , en cuyo caso las filas no constituirán una base. Para encontrar una base, reducimos A a la forma escalonada por filas :

r ₁ , r ₂ , r ₃ representan las filas.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Una vez que la matriz está en forma escalonada, las filas no nulas forman una base para el espacio fila. En este caso, la base es { [1, 3, 2], [2, 7, 4] } . Otra base posible , { [1, 0, 2], [0, 1, 0] }, se obtiene mediante una reducción adicional. ^{[ 9 ]}

Este algoritmo puede utilizarse en general para hallar una base para el espacio vectorial generado por un conjunto de vectores. Si la matriz se simplifica aún más a una forma escalonada reducida por filas , la base resultante queda determinada de forma única por el espacio de filas.

En ocasiones, resulta conveniente encontrar una base para el espacio fila entre las filas de la matriz original (por ejemplo, este resultado es útil para demostrar de forma elemental que el rango determinante de una matriz es igual a su rango). Dado que las operaciones de fila pueden afectar las relaciones de dependencia lineal de los vectores fila, dicha base se encuentra indirectamente utilizando el hecho de que el espacio columna de A ^T es igual al espacio fila de A. Utilizando la matriz A de ejemplo anterior, encuentre A ^T y redúzcala a la forma escalonada por filas:

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Los pivotes indican que las dos primeras columnas de A ^T forman una base del espacio columna de A ^T . Por lo tanto, las dos primeras filas de A (antes de cualquier reducción de filas) también forman una base del espacio fila de A .

La dimensión del espacio fila se denomina rango de la matriz. Esto equivale al número máximo de filas linealmente independientes que se pueden seleccionar de la matriz, o, de forma equivalente, al número de pivotes. Por ejemplo, la matriz de 3  ×  3 del ejemplo anterior tiene rango dos. ^{[ 9 ]}

El rango de una matriz también es igual a la dimensión del espacio columna . La dimensión del espacio nulo se denomina nulidad de la matriz y está relacionada con el rango mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,}$

donde n es el número de columnas de la matriz A. La ecuación anterior se conoce como el teorema de rango-nulidad .

El espacio nulo de la matriz A es el conjunto de todos los vectores x para los cuales A x = 0. El producto de la matriz A y el vector x se puede escribir en términos del producto escalar de vectores:

${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},}$

donde r ₁ , ..., r _m son los vectores fila de A . Por lo tanto, A x = 0 si y solo si x es ortogonal (perpendicular) a cada uno de los vectores fila de A .

De ello se deduce que el espacio nulo de A es el complemento ortogonal del espacio fila. Por ejemplo, si el espacio fila es un plano que pasa por el origen en tres dimensiones, entonces el espacio nulo será la recta perpendicular que pasa por el origen. Esto proporciona una demostración del teorema de rango-nulidad (véase la dimensión más arriba).

El espacio fila y el espacio nulo son dos de los cuatro subespacios fundamentales asociados a una matriz A (los otros dos son el espacio columna y el espacio nulo izquierdo ).

Si V y W son espacios vectoriales , entonces el núcleo de una transformación lineal T : V → W es el conjunto de vectores v ∈ V para los cuales T ( v ) = 0. El núcleo de una transformación lineal es análogo al espacio nulo de una matriz.

Si V es un espacio con producto interno , entonces el complemento ortogonal del núcleo puede considerarse una generalización del espacio fila. A esto se le llama a veces coimagen de T. La transformación T es biyectiva en su coimagen, y la coimagen se mapea isomórficamente sobre la imagen de T.

Cuando V no es un espacio con producto interno, la coimagen de T se puede definir como el espacio cociente V / ker( T ) .