Elemento regular de un álgebra de Lie

En matemáticas, un elemento regular de un álgebra de Lie o grupo de Lie es un elemento cuyo centralizador tiene la dimensión más pequeña posible. Por ejemplo, en un álgebra de Lie semisimple compleja, un elemento${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$es regular si su centralizador en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tiene dimensión igual al rango de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, que a su vez es igual a la dimensión de alguna subálgebra de Cartan${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$(nótese que en trabajos anteriores, un elemento de un álgebra de Lie semisimple compleja se denominaba regular si era semisimple y el núcleo de su representación adjunta era una subálgebra de Cartan). Un elemento${\displaystyle g\in G}$Un grupo de Lie es regular si su centralizador tiene dimensión igual al rango de${\displaystyle G}$.

En el caso específico de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {k} )}$, el álgebra de Lie de${\displaystyle n\times n}$matrices sobre un cuerpo algebraicamente cerrado${\displaystyle \mathbb {k} }$(como los números complejos ), un elemento regular${\displaystyle M}$es un elemento cuya forma normal de Jordan contiene un único bloque de Jordan para cada valor propio (en otras palabras, la multiplicidad geométrica de cada valor propio es 1). El centralizador de un elemento regular es el conjunto de polinomios de grado menor que${\displaystyle n}$evaluado en la matriz${\displaystyle M}$y por lo tanto el centralizador tiene dimensión${\displaystyle n}$(que equivale al rango de${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$, pero no necesariamente es un toro algebraico).

Si la matriz${\displaystyle M}$es diagonalizable, entonces es regular si y solo si hay${\displaystyle n}$diferentes autovalores. Para ver esto, observe que${\displaystyle M}$se conmutará con cualquier matriz${\displaystyle P}$que estabiliza cada uno de sus autoespacios. Si hay${\displaystyle n}$valores propios diferentes, entonces esto sucede solo si${\displaystyle P}$es diagonalizable sobre la misma base que${\displaystyle M}$; En realidad${\displaystyle P}$es una combinación lineal de la primera${\displaystyle n}$poderes de${\displaystyle M}$y el centralizador es un toro algebraico de dimensión compleja.${\displaystyle n}$(dimensión real)${\displaystyle 2n}$); dado que esta es la dimensión más pequeña posible de un centralizador, la matriz${\displaystyle M}$es regular. Sin embargo, si hay autovalores iguales, entonces el centralizador es el producto de los grupos lineales generales de los autoespacios de${\displaystyle M}$y tiene una dimensión estrictamente mayor, de modo que${\displaystyle M}$no es regular.

Para un grupo de Lie compacto conectado${\displaystyle G}$, los elementos regulares forman un subconjunto denso abierto , compuesto por${\displaystyle G}$- Clases de conjugación de los elementos en un toro maximal${\displaystyle T}$que son regulares en${\displaystyle G}$. Los elementos regulares de${\displaystyle T}$se dan explícitamente como el complemento de un conjunto en${\displaystyle T}$, un conjunto de subtoros de codimensión uno que corresponden al sistema de raíces de${\displaystyle G}$. De manera similar, en el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de${\displaystyle G}$, los elementos regulares forman un subconjunto denso abierto que puede describirse explícitamente como adjunto${\displaystyle G}$-órbitas de elementos regulares del álgebra de Lie de${\displaystyle T}$, los elementos fuera de los hiperplanos correspondientes al sistema de raíces. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo infinito. ^{[ 2 ]} Para cada${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$, dejar

${\displaystyle p_{x}(t)=\det(t-\operatorname {ad} (x))=\sum _{i=0}^{\dim {\mathfrak {g}}}a_{i}(x)t^{i}}$

sea ​​el polinomio característico del endomorfismo adjunto${\displaystyle \operatorname {ad} (x):y\mapsto [x,y]}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Entonces, por definición, el rango de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es el entero más pequeño${\displaystyle r}$de tal manera que${\displaystyle a_{r}(x)\neq 0}$para algunos${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$y se denota por${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, dado que${\displaystyle a_{\dim {\mathfrak {g}}}(x)=1}$para cada x ,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es nilpotente (es decir, cada${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$es nilpotente por el teorema de Engel ) si y solo si${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})=\dim {\mathfrak {g}}}$. Nótese que sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero y${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es una subálgebra de Cartan de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$entonces${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})=\dim {\mathfrak {h}}}$; véase la sección siguiente.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\text{reg}}=\{x\in {\mathfrak {g}}|a_{\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}(x)\neq 0\}}$. Por definición, un elemento regular de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un elemento del conjunto${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\text{reg}}}$. ^{[ 3 ]} Desde${\displaystyle a_{\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}}$es una función polinómica en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, con respecto a la topología de Zariski , el conjunto${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\text{reg}}}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Encima${\displaystyle \mathbb {C} }$,${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\text{reg}}}$es un conjunto conexo (con respecto a la topología usual), ^{[ 4 ]} pero sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$, es solo una unión finita de conjuntos abiertos conexos. ^{[ 5 ]}

Sobre un cuerpo infinito, un elemento regular puede utilizarse para construir una subálgebra de Cartan , una subálgebra nilpotente autonormalizante. Sobre un cuerpo de característica cero, este método permite construir todas las subálgebras de Cartan.

Dado un elemento${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$, dejar

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}(x)=\sum _ {n\geq 0}\ker(\operatorname {ad} (x)^{n}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}})}$

sea ​​el espacio propio generalizado de${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$para el valor propio cero. Es una subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 6 ]} Nótese que${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$es lo mismo que la multiplicidad (algebraica) ^{[ 7 ]} de cero como un valor propio de${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$; es decir, el menor entero m tal que${\displaystyle a_{m}(x)\neq 0}$en la notación del §  Definición . Por lo tanto,${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})\leq \dim {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$y la igualdad se cumple si y solo si${\displaystyle x}$es un elemento regular. ^{[ 3 ]}

La afirmación es entonces que si${\displaystyle x}$es un elemento regular, entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$es una subálgebra de Cartan. ^{[ 8 ]} Por lo tanto,${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$es la dimensión de al menos alguna subálgebra de Cartan; de hecho,${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$es la dimensión mínima de una subálgebra de Cartan. Más fuertemente, sobre un cuerpo de característica cero (por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$), ^{[ 9 ]}

• cada subálgebra de Cartan de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tiene la misma dimensión; por lo tanto,${\displaystyle \operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$es la dimensión de una subálgebra de Cartan arbitraria,
• un elemento x de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es regular si y solo si${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$es una subálgebra de Cartan, y
• Cada subálgebra de Cartan tiene la forma${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{0}(x)}$para algún elemento regular${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$.

Para una subálgebra de Cartan${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de un álgebra de Lie semisimple compleja${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con el sistema radicular${\displaystyle \Phi }$, un elemento de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es regular si y solo si no está en la unión de hiperplanos${\textstyle \bigcup _{\alpha \in \Phi }\{h\in {\mathfrak {h}}\mid \alpha (h)=0\}}$. ^{[ 10 ]} Esto se debe a que: para${\displaystyle r=\dim {\mathfrak {h}}}$,

• Para cada${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$, el polinomio característico de${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$es${\textstyle t^{r}\left(t^{\dim {\mathfrak {g}}-r}-\sum _{\alpha \in \Phi }\alpha (h)t^{\dim {\mathfrak {g}}-r-1}+\cdots \pm \prod _{\alpha \in \Phi }\alpha (h)\right)}$.

Esta caracterización se toma a veces como la definición de un elemento regular (especialmente cuando solo interesan los elementos regulares en las subálgebras de Cartan).

• Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie , Éléments de Mathématique , Hermann
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Teoría de la representación, un primer curso , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  129, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249 
• Procesi, Claudio (2007), Grupos de Lie: un enfoque a través de invariantes y representación , Springer, ISBN 9780387260402
• Serre, Jean-Pierre (2001), Álgebras de mentira complejas semisimples , Springer, ISBN 3-5406-7827-1