Subgrupo Cartan

En la teoría de grupos algebraicos , un subgrupo de Cartan de un grupo algebraico lineal conexo sobre un cuerpo (no necesariamente algebraicamente cerrado) es el centralizador de un toro maximalista. Los subgrupos de Cartan son suaves (equivalentemente reducidos), conexos y nilpotentes. Si es algebraicamente cerrado, todos son conjugados entre sí. ^[1]${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización k}$

Obsérvese que en el contexto de los grupos algebraicos, un toro es un grupo algebraico tal que la extensión de base (donde es la clausura algebraica de ) es isomorfa al producto de un número finito de copias de . Máximos tales subgrupos tienen en la teoría de grupos algebraicos un papel similar al de los toros máximos en la teoría de grupos de Lie . ${\estilo de visualización T}$${\displaystyle T_{({\bar {k}})}}$${\displaystyle {\bar {k}}}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=\mathbf {GL} _{1}}$

Si es reductivo (en particular, si es semisimple), entonces un toro es maximal si y solo si es su propio centralizador ^[2] y, por lo tanto, los subgrupos de Cartan son precisamente los toros maximalistas. ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$

Los grupos lineales generales son reductivos. El subgrupo diagonal es claramente un toro (de hecho, un toro dividido , ya que es producto de n copias de ya antes de cualquier extensión de base), y se puede demostrar que es máximo. Como es reductivo, el subgrupo diagonal es un subgrupo de Cartan. ${\displaystyle \mathbf {GL} _ {n}}$${\displaystyle \mathbf {G}_{m}}$${\displaystyle \mathbf {GL} _ {n}}$

• Subgrupo Borel
• Grupo algebraico
• Toro algebraico

• Borel, Armand (1991-12-31). Grupos algebraicos lineales . ISBN 3-540-97370-2.
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Saltador. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Milne, JS (2017), Grupos algebraicos: la teoría de esquemas de grupos de tipo finito sobre un campo , Cambridge University Press , doi :10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, Sr.  3729270
• Popov, VL (2001) [1994], "Subgrupo de Cartan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Springer, Tonny A. (1998), Grupos algebraicos lineales , Progress in Mathematics, vol. 9 (2.ª ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, Sr.  1642713