Número racional

En matemáticas , un número racional es un número que puede expresarse como cociente o fracción .${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$de dos enteros , un numerador p y un denominador distinto de cero q . ^{[ 1 ]} Por ejemplo ,${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$⁠ es un número racional, como lo es todo número entero (por ejemplo,${\displaystyle -5={\tfrac {-5}{1}}}$ El conjunto de todos los números racionales se suele denominar " los racionales " ^{[ 2 ]} y es cerrado bajo la suma , la resta , la multiplicación y la división por un número racional distinto de cero. Es un cuerpo bajo estas operaciones y, por lo tanto, también se denomina cuerpo de los racionales ^{[ 3 ]} o cuerpo de los números racionales . Generalmente se denota con la letra Q en negrita o en negrita de pizarra .${\displaystyle \mathbb {Q} .}$⁠

Un número racional es un número real . Los números reales que son racionales son aquellos cuya expansión decimal termina después de un número finito de dígitos (ejemplo: 3/4 = 0,75 ), o eventualmente comienza a repetir la misma secuencia finita de dígitos una y otra vez (ejemplo: 9/44 = 0,20454545... ). ^{[ 4 ]} Esta afirmación es cierta no solo en base 10 , sino también en cualquier otra base entera , como las binarias y hexadecimales (véase Decimal periódico §  Extensión a otras bases ).

Un número real que no es racional se llama irracional . ^{[ 5 ]} Los números irracionales incluyen la raíz cuadrada de 2 ( ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) , π , e y laproporción áurea(φ). Dado que el conjunto de los números racionales esnumerabley el conjunto de los números reales esincontable,casi todoslos números reales son irracionales. ^{[ 1 ]}

El cuerpo de los números racionales es el único cuerpo que contiene los enteros y está contenido en cualquier cuerpo que contenga los enteros. En otras palabras, el cuerpo de los números racionales es un cuerpo primo . Un cuerpo tiene característica cero si y solo si contiene los números racionales como subcuerpo. Extensiones finitas de${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ se denominan cuerpos numéricos algebraicos , y la clausura algebraica de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$es el campo de los números algebraicos . ^{[ 6 ]}

En análisis matemático , los números racionales forman un subconjunto denso de los números reales. Los números reales se pueden construir a partir de los racionales mediante completitud , utilizando sucesiones de Cauchy , cortes de Dedekind o decimales infinitos (véase Construcción de los números reales ).

En matemáticas, «racional» se usa a menudo como sustantivo abreviatura de «número racional». El adjetivo «racional» a veces significa que los coeficientes son números racionales. Por ejemplo, un punto racional es un punto con coordenadas racionales (es decir, un punto cuyas coordenadas son números racionales); una matriz racional es una matriz de números racionales, aunque a veces también se refiere a una matriz cuyos elementos son funciones racionales; un polinomio racional puede ser un polinomio con coeficientes racionales, aunque generalmente se prefiere el término «polinomio sobre los racionales» para evitar confusiones entre « expresión racional » y « función racional » (un polinomio es una expresión racional y define una función racional, incluso si sus coeficientes no son números racionales). Sin embargo, una curva racional no es una curva definida sobre los racionales, sino una curva que puede parametrizarse mediante funciones racionales.

Una fracción continua finita es una expresión como por ejemplo:

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

donde a _n son números enteros. Todo número racional${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$puede representarse como una fracción continua finita, cuyos coeficientes a _n pueden determinarse aplicando el algoritmo euclidiano a ( a, b ) .

• fracción común :${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$⁠
• numeral mixto :${\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}}$⁠
• decimal periódico usando un vínculo :${\displaystyle 2.{\overline {6}}}$
• decimal periódico usando paréntesis :${\displaystyle 2.(6)}$
• Fracción continua utilizando tipografía tradicional:${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}$
• Fracción continua en notación abreviada:${\displaystyle [2;1,2]}$
• fracción egipcia :${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}}$
• Descomposición en potencias primas :${\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}}$
• notación de comillas :${\displaystyle 3'6}$

son diferentes maneras de representar el mismo valor racional.

Los números racionales pueden construirse como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros . ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Más precisamente, dejemos${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$Sea el conjunto de pares ( m, n ) de enteros tales que n ≠ 0. En este conjunto se defineuna relación de equivalencia mediante:

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^{[ 13 ] [ 14 ]}

La suma y la multiplicación se pueden definir mediante las siguientes reglas:

${\displaystyle (m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).}$^{[ 13 ]}

Esta relación de equivalencia es una relación de congruencia , lo que significa que es compatible con la suma y la multiplicación definidas anteriormente; el conjunto de números racionales .${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ se define como el conjunto cociente por esta relación de equivalencia, ⁠${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,}$Equipado con la suma y la multiplicación inducidas por las operaciones anteriores. (Esta construcción puede realizarse con cualquier dominio integral y produce su campo de fracciones ). ^{[ 13 ]}

La clase de equivalencia de un par ( m, n ) se denota ⁠${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.}$Dos pares ( m1 , n1 ) y ( m2 , n2 ₎ pertenecen a la misma clase de equivalencia (es decir, son equivalentes) _si y _{solo si}

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Esto significa que

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

si y solo si ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

Cada clase de equivalencia${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$⁠ puede representarse mediante infinitos pares, ya que

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

Cada clase de equivalencia contiene un único elemento representativo canónico . El representante canónico es el único par ( m, n ) en la clase de equivalencia tal que m y n son coprimos y n > 0. Se le denomina representación en términos de menor grado del número racional.

Los números enteros pueden considerarse números racionales, identificando el entero n con el número racional .${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.}$⁠

Se puede definir un orden total en los números racionales, que extiende el orden natural de los enteros. Uno tiene

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

Si

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}}$

El conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} }$El conjunto de todos los números racionales, junto con las operaciones de suma y multiplicación mostradas anteriormente, forma un cuerpo . ^{[ 13 ]}

⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$No tiene ningún automorfismo de cuerpo aparte de la identidad. (Un automorfismo de cuerpo debe fijar 0 y 1; como debe fijar la suma y la diferencia de dos elementos fijos, debe fijar todo número entero; como debe fijar el cociente de dos elementos fijos, debe fijar todo número racional, y por lo tanto es la identidad).

⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ es un cuerpo primo , que es un cuerpo que no tiene ningún subcuerpo aparte de sí mismo. ^{[ 15 ]} Los racionales son el cuerpo más pequeño con característica cero. Todo cuerpo de característica cero contiene un único subcuerpo isomorfo a ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$⁠

Con el orden definido anteriormente ,${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ es un campo ordenado ^{[ 14 ]} que no tiene ningún subcampo aparte de sí mismo, y es el campo ordenado más pequeño, en el sentido de que todo campo ordenado contiene un único subcampo isomorfo a ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$⁠

⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$es el campo de fracciones de los enteros${\displaystyle \mathbb {Z} .}$⁠ ^{[ 16 ]} El cierre algebraico de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$⁠ es decir, el campo de las raíces de los polinomios racionales, es el campo de los números algebraicos .

Los racionales son un conjunto densamente ordenado : entre dos racionales cualesquiera, hay otro, y, por lo tanto, infinitos otros. ^{[ 13 ]} Por ejemplo, para dos fracciones cualesquiera tales que

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$

(dónde${\displaystyle b,d}$son positivos), tenemos

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}$

Cualquier conjunto totalmente ordenado que sea numerable, denso (en el sentido anterior) y que no tenga un elemento mínimo ni máximo es isomorfo en orden a los números racionales. ^{[ 17 ]}

Contabilidad

El conjunto de números racionales positivos es numerable , como se ilustra en la figura.

Más precisamente, se pueden ordenar las fracciones según la suma creciente del numerador y el denominador, y, en el caso de sumas iguales, según el numerador o el denominador. Esto genera una secuencia de fracciones de la cual se pueden eliminar las fracciones reducibles (en rojo en la figura), obteniendo así una secuencia que contiene cada número racional exactamente una vez. Esto establece una biyección entre los números racionales y los números naturales, que asigna a cada número racional su posición en la secuencia.

Se puede utilizar un método similar para numerar todos los números racionales (positivos y negativos).

Como el conjunto de todos los números racionales es numerable, y el conjunto de todos los números reales (así como el conjunto de los números irracionales) es incontable, el conjunto de los números racionales es un conjunto vacío , es decir, casi todos los números reales son irracionales, en el sentido de la medida de Lebesgue . ^{[ 18 ]}

Los racionales son un subconjunto denso de los números reales ; cada número real tiene números racionales arbitrariamente cercanos a él. ^{[ 13 ]} Una propiedad relacionada es que los números racionales son los únicos números con expansiones finitas como fracciones continuas regulares . ^{[ 19 ]}

En la topología usual de los números reales, los racionales no son ni un conjunto abierto ni un conjunto cerrado . ^{[ 20 ]}

En virtud de su orden, los números racionales poseen una topología de orden . Los números racionales, como subespacio de los números reales, también poseen una topología de subespacio . Los números racionales forman un espacio métrico mediante el uso de la métrica de diferencia absoluta.${\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}$y esto produce una tercera topología en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$Las tres topologías coinciden y convierten los racionales en un campo topológico . Los números racionales son un ejemplo importante de un espacio que no es localmente compacto . Los racionales se caracterizan topológicamente como el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados . El espacio también es totalmente disconexo . Los números racionales no forman un espacio métrico completo , y los números reales son la culminación de${\displaystyle \mathbb {Q} }$bajo la métrica${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$arriba. ^{[ 14 ]}

Además de la métrica de valor absoluto mencionada anteriormente, existen otras métricas que convierten${\displaystyle \mathbb {Q} }$en un campo topológico:

Sea p un número primo y para cualquier entero distinto de cero a , sea${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n},}$donde p ⁿ es la mayor potencia de p que divide a .

Además, se estableció${\displaystyle |0|_{p}=0.}$Para cualquier número racional${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$⁠ establecimos

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.}$

Entonces

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

define una métrica en${\displaystyle \mathbb {Q} .}$[ ^{21 ]​}

El espacio métrico${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}$⁠ no está completo, y su completitud es el campo numérico p -ádico ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$El teorema de Ostrowski establece que cualquier valor absoluto no trivialen los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$es equivalente al valor absoluto real usual o a unvalor absoluto p -ádico .

• racional diádico
• Punto flotante
• Círculos Ford
• Racional gaussiano
• Altura ingenua: altura de un número racional en su mínima expresión.
• Teorema de Niven
• Tipo de datos racional

• "Número racional" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Número racional" de MathWorld – Un recurso web de Wolfram