Proporciones divinas: De la trigonometría racional a la geometría universal

Proporciones Divinas: De la Trigonometría Racional a la Geometría Universal es un libro de 2005 del matemático Norman J. Wildberger sobre una propuesta de enfoque alternativo a la geometría euclidiana y la trigonometría , denominada trigonometría racional . El libro propone reemplazar las cantidades básicas habituales de la trigonometría, la distancia euclidiana y la medida del ángulo , por la distancia al cuadrado y el cuadrado del seno del ángulo, respectivamente. Esto es lógicamente equivalente al desarrollo estándar (ya que las cantidades de reemplazo pueden expresarse en términos de las estándar y viceversa). El autor afirma que su enfoque presenta algunas ventajas, como evitar la necesidad de números irracionales .

El libro fue "prácticamente autopublicado" ^{[ 1 ]} por Wildberger a través de su editorial Wild Egg. Las fórmulas y teoremas del libro se consideran matemáticas correctas, pero las afirmaciones sobre su superioridad práctica o pedagógica son promovidas principalmente por el propio Wildberger y han recibido críticas mixtas.

La idea principal de las Proporciones Divinas es reemplazar las distancias por la distancia euclidiana al cuadrado , que Wildberger denomina cuadrancia , y reemplazar las medidas de los ángulos por los cuadrados de sus senos, que Wildberger denomina la distancia entre dos líneas. Las Proporciones Divinas definen ambos conceptos directamente a partir de las coordenadas cartesianas de los puntos que determinan un segmento de línea o un par de líneas que se cruzan. Definidas de esta manera, son funciones racionales de dichas coordenadas y pueden calcularse directamente sin necesidad de tomar las raíces cuadradas o las funciones trigonométricas inversas requeridas para calcular distancias o medidas de ángulos. ^{[ 1 ]}

Para Wildberger, un finitista , este reemplazo tiene la supuesta ventaja de evitar los conceptos de límites e infinito real utilizados en la definición de los números reales , que Wildberger afirma que carecen de fundamento. ^{[ 2 ] [ 1 ]} También permite extender conceptos análogos directamente de los números racionales a otros sistemas numéricos, como los campos finitos, utilizando las mismas fórmulas para cuadratura y dispersión. ^{[ 1 ]} Además, este método evita la ambigüedad de los dos ángulos suplementarios formados por un par de líneas, ya que ambos ángulos tienen la misma dispersión. Se afirma que este sistema es más intuitivo y que se extiende más fácilmente de dos a tres dimensiones. ^{[ 3 ]} Sin embargo, a cambio de estos beneficios, se pierde la aditividad de distancias y ángulos: por ejemplo, si un segmento de línea se divide en dos, su longitud es la suma de las longitudes de las dos partes, pero combinar las cuadraturas de las partes es más complicado y requiere raíces cuadradas. ^{[ 1 ]}

Proporciones Divinas se divide en cuatro partes. La Parte I presenta una visión general del uso de la cuadratura y la dispersión para reemplazar la distancia y el ángulo, y argumenta sus ventajas. La Parte II formaliza las afirmaciones hechas en la Parte I y las demuestra rigurosamente. ^{[ 1 ]} En lugar de definir las líneas como conjuntos infinitos de puntos, se definen por sus coordenadas homogéneas , que pueden usarse en fórmulas para probar la incidencia de puntos y líneas. Al igual que el seno, el coseno y la tangente se reemplazan con equivalentes racionales, llamados "cruz" y "torsión", y Proporciones Divinas desarrolla varios análogos de identidades trigonométricas que involucran estas cantidades, ^{[ 3 ]} incluyendo versiones del teorema de Pitágoras , la ley de los senos y la ley de los cosenos . ^{[ 4 ]}

La Parte III desarrolla la geometría de triángulos y secciones cónicas utilizando las herramientas desarrolladas en las dos partes anteriores. ^{[ 1 ]} Resultados bien conocidos, como la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados, o el teorema del ángulo inscrito en el que los ángulos subtendidos por una cuerda de un círculo desde otros puntos del círculo son iguales, se reformulan en términos de cuadratura y dispersión, y por lo tanto se generalizan a campos arbitrarios de números. ^{[ 3 ] [ 5 ]} Finalmente, la Parte IV considera aplicaciones prácticas en física y topografía, y desarrolla extensiones al espacio euclidiano de dimensiones superiores y a coordenadas polares . ^{[ 1 ]}

Proporciones Divinas no presupone muchos conocimientos matemáticos en sus lectores, pero sus numerosas fórmulas extensas, la frecuente consideración de cuerpos finitos y (después de la primera parte) el énfasis en el rigor matemático probablemente representen un obstáculo para un público matemático general . En cambio, está escrito principalmente para profesores e investigadores de matemáticas. Sin embargo, también puede ser accesible para estudiantes de matemáticas y contiene ejercicios que permiten utilizarlo como base para un curso de matemáticas. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

La característica del libro que fue recibida más positivamente por los críticos fue su trabajo extendiendo resultados en geometría de distancia y ángulo a campos finitos. La crítica Laura Wiswell encontró este trabajo impresionante y quedó encantada con el resultado de que el campo finito más pequeño que contiene un pentágono regular es${\displaystyle \mathbb {F} _{19}}$[ ^{1 ] Michael Henle llama a la extensión de la geometría de secciones triangulares y cónicas a cuerpos finitos, en la} parte III del libro, "una teoría elegante de gran generalidad", ^{[ 4 ]} y William Barker también escribe favorablemente sobre este aspecto del libro, calificándolo de "particularmente novedoso" y posiblemente abriendo nuevas líneas de investigación. ^{[ 6 ]}

Wiswell plantea la cuestión de cuántos de los resultados detallados presentados sin atribución en este trabajo son realmente novedosos. ^{[ 1 ]} En este sentido, Michael Henle señala que el uso de la distancia euclidiana al cuadrado "a menudo se ha encontrado conveniente en otros lugares"; ^{[ 4 ]} por ejemplo, se utiliza en geometría de distancias , estadística de mínimos cuadrados y optimización convexa . James Franklin señala que para espacios de tres o más dimensiones, modelados convencionalmente mediante álgebra lineal , el uso de la dispersión por proporciones divinas no es muy diferente de los métodos estándar que implican productos escalares en lugar de funciones trigonométricas. ^{[ 5 ]}

Una ventaja de los métodos de Wildberger, señalada por Henle, es que, al implicar solo álgebra simple, las demostraciones son fáciles de seguir y de verificar para una computadora. Sin embargo, sugiere que las afirmaciones del libro sobre la mayor simplicidad de su teoría general se basan en una comparación errónea en la que la cuadratura y la dispersión se ponderan no frente a los conceptos clásicos correspondientes de distancias, ángulos y senos, sino frente al conjunto mucho más amplio de herramientas de la trigonometría clásica. También señala que, para un estudiante con una calculadora científica, las fórmulas que evitan las raíces cuadradas y las funciones trigonométricas no representan un problema, ^{[ 4 ]} y Barker añade que las nuevas fórmulas a menudo implican un mayor número de pasos de cálculo individuales. ^{[ 6 ]} Aunque varios revisores consideraron que una reducción en el tiempo necesario para enseñar trigonometría a los estudiantes sería muy bienvenida, ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 7 ]} Paul Campbell se muestra escéptico de que estos métodos realmente aceleren el aprendizaje. ^{[ 7 ]} Gerry Leversha mantiene una mente abierta y escribe que "Será interesante ver algunos de los libros de texto dirigidos a alumnos [que Wildberger] ha prometido producir, y... experimentos controlados con estudiantes como conejillos de indias". ^{[ 3 ]} Sin embargo, estos libros de texto y experimentos no se han publicado.

Wiswell no está convencido de la afirmación de que la geometría convencional tenga fallas fundamentales que estos métodos evitan. ^{[ 1 ]} Si bien coincide con Wiswell, Barker señala que puede haber otros matemáticos que compartan las sospechas filosóficas de Wildberger sobre el infinito, y que este trabajo debería ser de gran interés para ellos. ^{[ 6 ]}

Una cuestión final planteada por varios revisores es la inercia: suponiendo, a efectos de argumentación, que estos métodos son mejores, se preguntan si son lo suficientemente mejores como para justificar el gran esfuerzo individual que supone reaprender geometría y trigonometría en estos términos, y el esfuerzo institucional de reelaborar el currículo escolar para utilizarlos en lugar de la geometría y trigonometría clásicas. Henle, Barker y Leversha concluyen que el libro no ha demostrado su validez, ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]} pero Sandra Arlinghaus ve en este trabajo una oportunidad para campos como su geografía matemática, «que tienen relativamente poca inversión en la rigidez institucional tradicional», para demostrar el potencial de tal sustitución. ^{[ 8 ]}

• Configuración de Perles , un conjunto finito de puntos y líneas en el plano euclidiano que no puede representarse con coordenadas racionales.