Relación de equivalencia adecuada

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una relación de equivalencia adecuada es una relación de equivalencia sobre ciclos algebraicos de variedades proyectivas suaves que se utiliza para obtener una teoría funcional de dichos ciclos y, en particular, productos de intersección bien definidos . Pierre Samuel formalizó el concepto de relación de equivalencia adecuada en 1958. ^{[ 1 ]} Desde entonces, se ha convertido en un elemento central de la teoría de los motivos. Para cada relación de equivalencia adecuada, se puede definir la categoría de motivos puros con respecto a dicha relación.

Las posibles (y útiles) relaciones de equivalencia adecuadas incluyen la equivalencia racional , algebraica , homológica y numérica . Se denominan "adecuadas" porque la división por la relación de equivalencia es funtorial , es decir, el avance (con cambio de codimensión) y el retroceso de ciclos están bien definidos. Los ciclos de codimensión 1 módulo equivalencia racional forman el grupo clásico de divisores módulo equivalencia lineal. Todos los ciclos módulo equivalencia racional forman el anillo de Chow .

Sea Z ^* ( X )  := Z [ X ] el grupo abeliano libre sobre los ciclos algebraicos de X . Entonces, una relación de equivalencia adecuada es una familia de relaciones de equivalencia , ~ _X en Z ^* ( X ), una para cada variedad proyectiva lisa X , que satisface las siguientes tres condiciones:

1. (Linealidad) La relación de equivalencia es compatible con la adición de ciclos.
2. ( Lema de movimiento ) Si${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z^{*}(X)}$Si hay ciclos en X , entonces existe un ciclo.${\displaystyle \alpha '\in Z^{*}(X)}$de tal manera que${\displaystyle \alpha }$~ _X${\displaystyle \alpha '}$y${\displaystyle \alpha '}$interseca${\displaystyle \beta }$adecuadamente.
3. (Empujar hacia adelante) Dejar${\displaystyle \alpha \in Z^{*}(X)}$y${\displaystyle \beta \in Z^{*}(X\times Y)}$sean ciclos tales que${\displaystyle \beta }$interseca${\displaystyle \alpha \times Y}$correctamente. Si${\displaystyle \alpha }$~ _X 0, entonces${\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$~ _Y 0, donde${\displaystyle \pi _{Y}:X\times Y\to Y}$es la proyección.

El ciclo de empuje hacia adelante en el último axioma se suele denotar

${\displaystyle \beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$

Si${\displaystyle \beta }$Si es la gráfica de una función , entonces esto se reduce a la proyección de la función. Las generalizaciones de funciones de X a Y a ciclos en X × Y se conocen como correspondencias . El último axioma nos permite proyectar ciclos mediante una correspondencia.

Las relaciones de equivalencia más comunes, ordenadas de la más fuerte a la más débil, se recogen en la siguiente tabla.

• Kleiman, Steven L. (1972), "Motivos", en Oort, F. (ed.), Geometría algebraica, Oslo 1970 (Actas de la Quinta Escuela de Verano Nórdica de Matemáticas, Oslo, 1970) , Groningen: Wolters-Noordhoff, pp. 53–82 , MR 0382267  
• Jannsen, U. (2000), "Relaciones de equivalencia en ciclos algebraicos", La aritmética y la geometría de los ciclos algebraicos, OTAN, 200 , Kluwer Ac. Publ. Co.: 225–260