Campo de clase Ray

En matemáticas, un cuerpo de clases de rayos es una extensión abeliana de un cuerpo global asociada a un grupo de clases de rayos de clases de ideales o clases idele . Toda extensión abeliana finita de un cuerpo numérico está contenida en uno de sus cuerpos de clases de rayos.

El término «grupo de clases de rayos» es una traducción del término alemán «Strahlklassengruppe». Aquí, «Strahl» significa rayo en alemán y suele referirse a la recta real positiva, que aparece en las condiciones de positividad que definen los grupos de clases de rayos. Hasse (1926 , p. 6) utiliza «Strahl» para referirse a un grupo determinado de ideales definidos mediante condiciones de positividad, y «Strahlklasse» para referirse a una clase lateral de este grupo.

Existen dos nociones ligeramente diferentes de lo que es un campo de clases de rayos, ya que los autores difieren en la forma en que se tratan los números primos infinitos.

Weber introdujo los grupos de clases de rayos en 1897. Takagi demostró la existencia de los campos de clases de rayos correspondientes alrededor de 1920. Chevalley reformuló la definición de grupos de clases de rayos en términos de ídeles en 1933.

Si m es un ideal del anillo de enteros de un cuerpo numérico K y S es un subconjunto de los lugares reales, entonces el grupo de clases de rayos de m y S es el grupo cociente.

${\displaystyle I^{m}/P^{m}\,}$

donde I ^m es el grupo de ideales fraccionarios coprimos con m , y el "rayo" P ^m es el grupo de ideales principales generados por elementos a con a  ≡  1  mod m que son positivos en los lugares de S. Cuando S consta de todos los lugares reales, de modo que a está restringido a ser totalmente positivo, el grupo se llama grupo de clases de rayo estrecho de m . Algunos autores usan el término "grupo de clases de rayo" para referirse a "grupo de clases de rayo estrecho". 

Un cuerpo de clases de rayos de K es la extensión abeliana de K asociada a un grupo de clases de rayos mediante la teoría de cuerpos de clases , y su grupo de Galois es isomorfo al grupo de clases de rayos correspondiente. La demostración de la existencia de un cuerpo de clases de rayos de un grupo de clases de rayos dado es larga e indirecta, y en general no se conoce una forma sencilla de construirlo (aunque se conocen construcciones explícitas en algunos casos especiales, como los cuerpos cuadráticos imaginarios).

Chevalley redefinió el grupo de clases de rayos de un ideal m y un conjunto S de lugares reales como el cociente del grupo de clases de ídeles por la imagen del grupo.

${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

donde U _p viene dado por:

• Los números complejos distintos de cero para un lugar complejo p
• Los números reales positivos para un lugar real p en S , y todos los números reales distintos de cero para p que no está en S.
• Las unidades de K _p para un lugar finito p que no divide a m
• Las unidades de K _p congruentes con 1 mod p ⁿ si p ⁿ es la potencia máxima de p que divide a m .

Algunos autores utilizan una definición más general, donde el grupo U _p puede ser todos los números reales distintos de cero para ciertos lugares reales p . 

Los grupos de clases de rayos definidos mediante ídales son naturalmente isomorfos a los definidos mediante ideales. A veces son más fáciles de manejar teóricamente porque todos son cocientes de un único grupo y, por lo tanto, más fáciles de comparar.

El campo de clases de rayos de un grupo de clases de rayos es la extensión abeliana (única) L de K tal que la norma del grupo de clases idélico C _L de L es la imagen de${\displaystyle \prod U_{p}\,}$en el grupo de clases idéle de K.

Si K es el cuerpo de los números racionales , m es un entero racional distinto de cero y S comprende el lugar arquimediano de K , entonces el grupo de clases de rayos de ( m ) y S es isomorfo al grupo de unidades de Z / mZ , y el cuerpo de clases de rayos es el cuerpo generado por las raíces m -ésimas de la unidad . El cuerpo de clases de rayos para ( m ) y el conjunto vacío de lugares es su subcuerpo totalmente real máximo: el cuerpo${\displaystyle \mathbb {Q} (\cos({\frac {2\pi }{m}}))}$.

El campo de clases de Hilbert es el campo de clases de rayos que corresponde al ideal unitario y al conjunto vacío de lugares reales, por lo que es el campo de clases de rayos más pequeño. El campo de clases de Hilbert estrecho es el campo de clases de rayos que corresponde al ideal unitario y al conjunto de todos los lugares reales, por lo que es el campo de clases de rayos estrecho más pequeño.

• Hasse, Helmut (1926), "Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper". , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 35 , Gotinga: Teubner
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol.  322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR 1697859 . Zbl 0956.11021 .