Análisis de la matriz de transferencia de rayos

El análisis de la matriz de transferencia de rayos (también conocido como análisis de la matriz ABCD ) es una forma matemática de realizar cálculos de trazado de rayos en problemas suficientemente simples que pueden resolverse considerando solo rayos paraxiales. Cada elemento óptico (superficie, interfaz, espejo o trayectoria del haz) se describe mediante una matriz de transferencia de rayos de 2 × 2 que opera sobre un vector que describe un rayo de luz incidente para calcular el rayo saliente. La multiplicación de las matrices sucesivas produce así una matriz de transferencia de rayos concisa que describe todo el sistema óptico. Las mismas matemáticas se utilizan también en la física de aceleradores para rastrear partículas a través de las instalaciones magnéticas de un acelerador de partículas (véase óptica electrónica ).

Esta técnica, como se describe a continuación, se deriva utilizando la aproximación paraxial , que requiere que todas las direcciones de los rayos (direcciones normales a los frentes de onda) formen ángulos pequeños θ con respecto al eje óptico del sistema, de modo que la aproximación sin θ ≈ θ siga siendo válida. Un θ pequeño implica además que la extensión transversal de los haces de rayos ( x e y ) es pequeña en comparación con la longitud del sistema óptico (por lo tanto, "paraxial"). Dado que un sistema de imagen adecuado, donde esto no se cumple para todos los rayos, debe enfocar correctamente los rayos paraxiales, este método matricial describirá adecuadamente las posiciones de los planos focales y las magnificaciones; sin embargo, las aberraciones aún deben evaluarse utilizando técnicas completas de trazado de rayos . ^{[ 1 ]}

La técnica de trazado de rayos se basa en dos planos de referencia, denominados plano de entrada y plano de salida , cada uno perpendicular al eje óptico del sistema. En cualquier punto del tren óptico se define un eje óptico correspondiente a un rayo central; este rayo central se propaga para definir el eje óptico más adelante en el tren óptico, que no necesariamente tiene que estar en la misma dirección física (como cuando se desvía por un prisma o un espejo). Las direcciones transversales x e y (a continuación solo consideramos la dirección x ) se definen entonces como ortogonales a los ejes ópticos aplicables. Un rayo de luz entra en un componente cruzando su plano de entrada a una distancia _x₁ del eje óptico, viajando en una dirección que forma un ángulo θ₁ con _el eje óptico. Después de propagarse al plano de salida, ese rayo se encuentra a una distancia _x₂ del eje óptico y forma un ángulo θ₂ con respecto a él. n₁ y n₂ son los índices de _refracción de los medios en _{los planos de} entrada y salida, respectivamente.

La matriz ABCD que representa un componente o sistema relaciona el rayo de salida con la entrada según $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}},}$$ donde los valores de los 4 elementos de la matriz vienen dados por $${\displaystyle A=\left.{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad B=\left.{\frac {x_{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0},}$$ y $${\displaystyle C=\left.{\frac {\theta _{2}}{x_{1}}}\right|_{\theta _{1}=0}\qquad D=\left.{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right|_{x_{1}=0}.}$$

Esto relaciona los vectores de rayos en los planos de entrada y salida mediante la matriz de transferencia de rayos ( RTM ) M , que representa el componente o sistema óptico presente entre los dos planos de referencia. El determinante de una RTM siempre es igual a la relación de los índices de refracción ^{[ 2 ]} : $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={\frac {n_ {1}}{n_ {2}}}.}$$

En consecuencia, si los planos de entrada y salida se encuentran dentro del mismo medio, o dentro de dos medios diferentes que resultan tener índices de refracción idénticos, entonces el determinante de M es simplemente igual a 1.

Se puede emplear una convención diferente para los vectores de rayos. En lugar de usar θ ≈ sin θ , el segundo elemento del vector de rayos es n sin θ , ^{[ 3 ]} que es proporcional no al ángulo del rayo en sí, sino a la componente transversal del vector de onda . Esto modifica las matrices ABCD que se muestran en la tabla siguiente, donde interviene la refracción en una interfaz.

El uso de matrices de transferencia de esta manera es paralelo a laMatrices de 2 × 2 que describen redes electrónicas de dos puertos , en particular varias matrices denominadas ABCD que pueden multiplicarse de manera similar para resolver sistemas en cascada.

Una matriz de transferencia de rayos puede considerarse como una transformación canónica lineal . Según los valores propios del sistema óptico, el sistema puede clasificarse en varias clases. ^{[ 4 ]} Supongamos que la matriz ABCD que representa un sistema relaciona el rayo de salida con la entrada según $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {T} \mathbf {v} .}$$

Calculamos los valores propios de la matriz${\displaystyle \mathbf {T} }$que satisfacen la ecuación propia $${\displaystyle [{\boldsymbol {T}}-\lambda I]\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{bmatrix}}\mathbf {v} =0,}$$ calculando el determinante $${\displaystyle {\begin{vmatrix}A-\lambda &B\\C&D-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +1=0.}$$

Dejar${\displaystyle m={\frac {(A+D)}{2}}}$y tenemos valores propios${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=m\pm {\sqrt {m^{2}-1}}}$.

Según los valores de${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$Existen varios casos posibles. Por ejemplo:

1. Un par de valores propios reales:${\displaystyle r}$y${\displaystyle r^{-1}}$, dónde${\displaystyle r\neq 1}$Este caso representa una lupa${\displaystyle {\begin{bmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{bmatrix}}}$
2. ${\displaystyle \lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = 1}$o${\displaystyle \lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = -1}$Este caso representa la matriz identidad (o con un inversor de coordenadas adicional).${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$.
3. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=\pm 1}$Este caso se produce si, pero no exclusivamente, el sistema es un operador de unidad, una sección de espacio libre o una lente.
4. Un par de dos autovalores conjugados complejos unimodulares${\displaystyle e^{i\theta }}$y${\displaystyle e^{-i\theta }}$Este caso es similar a una transformada fraccional de Fourier separable .

La teoría de la transformación canónica lineal implica la relación entre la matriz de transferencia de rayos ( óptica geométrica ) y la óptica ondulatoria. ^{[ 8 ]}

Existen infinitas maneras de descomponer una matriz de transferencia de rayos.${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$en una concatenación de múltiples matrices de transferencia. Por ejemplo, en el caso especial cuando${\displaystyle n_{1}=n_{2}}$:

1. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\D/B&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}B&0\\0&1/B\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\A/B&1\end{array}}\right]}$.
2. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/A&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rr}A&0\\0&A^{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&B/A\\0&1\end{array}}\right]}$
3. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&A/C\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}-C^{-1}&0\\0&-C\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}0&1\\-1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&D/C\\0&1\end{array}}\right]}$
4. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ll}1&B/D\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}D^{-1}&0\\0&D\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ll}1&0\\C/D&1\end{array}}\right]}$

El análisis RTM es particularmente útil al modelar el comportamiento de la luz en resonadores ópticos , como los que se utilizan en los láseres. En su forma más simple, un resonador óptico consta de dos espejos idénticos enfrentados con una reflectividad del 100 % y un radio de curvatura R , separados por una distancia d . Para los fines del trazado de rayos, esto es equivalente a una serie de lentes delgadas idénticas de distancia focal f = R /2 , cada una separada de la siguiente por una longitud d . Esta construcción se conoce como conducto equivalente de lente o guía de onda equivalente de lente . El RTM de cada sección de la guía de onda es, como se indicó anteriormente, $${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{pmatrix}}.}$$

El análisis RTM ahora se puede utilizar para determinar la estabilidad de la guía de ondas (y, equivalentemente, del resonador). Es decir, se puede determinar bajo qué condiciones la luz que viaja a través de la guía de ondas se reenfocará periódicamente y permanecerá dentro de ella. Para ello, podemos encontrar todos los "rayos propios" del sistema: el vector del rayo de entrada en cada una de las secciones mencionadas de la guía de ondas multiplicado por un factor real o complejo λ es igual al de salida. Esto da como resultado: $${\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$ que es una ecuación de valores propios : $${\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0,}$$ dónde${\textstyle \mathbf {I} =\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$ es elMatriz identidad de 2 × 2 .

Procedemos a calcular los valores propios de la matriz de transferencia: $${\displaystyle \det \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0,}$$ lo que lleva a la ecuación característica$${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\det(\mathbf {M} )=0,}$$ dónde $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{\frac {d}{f}}}$$ es el rastro del RTM y $${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC=1}$$ es el determinante de la RTM . Después de una sustitución común tenemos: $${\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0,}$$ dónde $${\displaystyle g{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {\operatorname {tr} (\mathbf {M} )}{2}}=1-{\frac {d}{2f}}}$$ es el parámetro de estabilidad . Los autovalores son las soluciones de la ecuación característica. A partir de la fórmula cuadrática encontramos $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}.}$$

Ahora, consideremos un rayo después de que N pase a través del sistema: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}.}$$

Si la guía de ondas es estable, ningún rayo debería desviarse arbitrariamente lejos del eje principal, es decir, λ ^N no debe crecer sin límite. Supongamos que${\displaystyle g^{2}>1}$Entonces ambos autovalores son reales. Dado que${\displaystyle \lambda _{+}\lambda _{-}=1}$, uno de ellos tiene que ser mayor que 1 (en valor absoluto ), lo que implica que el rayo que corresponde a este vector propio no convergería. Por lo tanto, en una guía de ondas estable,${\displaystyle g^{2}\leq 1}$y los valores propios pueden representarse mediante números complejos: $${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi },}$$ con la sustitución g = cos( ϕ ) .

Para${\displaystyle g^{2}<1}$dejar${\displaystyle r_{+}}$y${\displaystyle r_{-}}$sean los vectores propios con respecto a los valores propios${\displaystyle \lambda _{+}}$y${\displaystyle \lambda _{-}}$respectivamente, que abarcan todo el espacio vectorial porque son ortogonales, el último debido a${\displaystyle \lambda _{+}\neq \lambda _{-}}$Por lo tanto , el vector de entrada se puede escribir como $${\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-},}$$ para algunas constantes${\displaystyle c_{+}}$y${\displaystyle c_{-}}$.

Después de N sectores de guía de ondas, la salida es: $${\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-},}$$ que representa una función periódica .

Las mismas matrices también pueden utilizarse para calcular la evolución de haces gaussianos ^{[ 9 ]} que se propagan a través de componentes ópticos descritos por las mismas matrices de transmisión. Si tenemos un haz gaussiano de longitud de onda${\displaystyle \lambda _{0}}$, radio de curvatura R (positivo para divergente, negativo para convergente), tamaño del punto del haz w e índice de refracción n , es posible definir un parámetro de haz complejo q mediante: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}.}$$

( R , w , y q son funciones de la posición.) Si el eje del haz está en la dirección z , con cintura en z ₀ y rango de Rayleigh z _R , esto se puede escribir de forma equivalente como ^{[ 10 ]}$${\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}.}$$

Este haz se puede propagar a través de un sistema óptico con una matriz de transferencia de rayos dada utilizando la ecuación : $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}},}$$ donde k es una constante de normalización elegida para mantener la segunda componente del vector rayo igual a 1. Usando la multiplicación de matrices , esta ecuación se expande como $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{2}&=k(Aq_{1}+B)\\1&=k(Cq_{1}+D)\,.\end{aligned}}}$$

Al dividir la primera ecuación entre la segunda, se elimina la constante de normalización: $${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}},}$$

A menudo resulta conveniente expresar esta última ecuación en forma recíproca: $${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {C+D/q_{1}}{A+B/q_{1}}}.}$$

Métodos que utilizan matrices de transferencia de mayor dimensionalidad, es decir3 × 3 ,4 × 4 y6 × 6 , también se utilizan en análisis óptico. ^{[ 11 ]} En particular,Las matrices de propagación de 4 × 4 se utilizan en el diseño y análisis de secuencias de prisma para la compresión de pulsos en láseres de femtosegundos . ^{[ 6 ]}

• Método de matriz de transferencia (óptica)
• Transformación canónica lineal

• Saleh, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). "1.4: Operaciones matriciales". Fundamentos de fotónica . Nueva York: John Wiley & Sons.

• Lentes gruesas (métodos matriciales)
• El tutorial sobre matrices ABCD proporciona un ejemplo de matriz de sistema para un sistema completo.
• Calculadora ABCD: Una calculadora interactiva para ayudar a resolver matrices ABCD.