Motor de reacción

Para todos los motores de reacción que llevan propulsor a bordo (como los motores de cohete y los sistemas de propulsión eléctrica ), se debe invertir energía en acelerar la masa de reacción. Cada motor desperdicia algo de energía, pero incluso suponiendo una eficiencia del 100%, el motor necesita energía equivalente a...

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}MV_{e}^{2}}$

(donde M es la masa de propulsor gastado y${\displaystyle V_{e}}$es la velocidad de escape), que es simplemente la energía para acelerar el escape.

Al comparar la ecuación del cohete (que muestra cuánta energía termina en el vehículo final) con la ecuación anterior (que muestra la energía total requerida), se observa que incluso con una eficiencia del motor del 100% , ciertamente no toda la energía suministrada termina en el vehículo; parte de ella, de hecho, generalmente la mayor parte, termina como energía cinética de los gases de escape.

Si el impulso específico (${\displaystyle I_{sp}}$) es fijo, para una misión delta-v, hay un particular${\displaystyle I_{sp}}$que minimiza la energía total utilizada por el cohete. Esto resulta en una velocidad de escape de aproximadamente dos tercios del delta-v de la misión (ver la energía calculada a partir de la ecuación del cohete ). Los propulsores con un impulso específico alto y fijo, como los propulsores iónicos, tienen velocidades de escape que pueden ser enormemente superiores a este ideal, y por lo tanto terminan limitados por la fuente de energía y proporcionan un empuje muy bajo. Cuando el rendimiento del vehículo está limitado por la energía, por ejemplo, si se utiliza energía solar o nuclear, entonces en el caso de un gran${\displaystyle v_{e}}$La aceleración máxima es inversamente proporcional a ella. Por lo tanto, el tiempo para alcanzar un delta-v requerido es proporcional a${\displaystyle v_{e}}$Por lo tanto, este último no debería ser demasiado grande.

Por otro lado, si se puede hacer que la velocidad de escape varíe de manera que en cada instante sea igual y opuesta a la velocidad del vehículo, se logra el mínimo absoluto de consumo de energía. Cuando esto se logra, el escape se detiene en el espacio ^{[ NB 1 ]} y no tiene energía cinética; y la eficiencia propulsora es del 100%, toda la energía termina en el vehículo (en principio, tal sistema de propulsión sería 100% eficiente; en la práctica, habría pérdidas térmicas dentro del sistema de propulsión y calor residual en el escape). Sin embargo, en la mayoría de los casos esto requiere una cantidad poco práctica de propulsor, pero es una consideración teórica útil.

Algunos propulsores (como VASIMR o el propulsor de plasma sin electrodos ) pueden variar significativamente su velocidad de escape. Esto puede ayudar a reducir el consumo de propulsor y mejorar la aceleración en diferentes etapas del vuelo. Sin embargo, el mejor rendimiento energético y la mayor aceleración se obtienen cuando la velocidad de escape es cercana a la velocidad del vehículo. Los propulsores de iones y plasma propuestos suelen tener velocidades de escape enormemente superiores a la ideal (en el caso de VASIMR, la velocidad mínima citada es de alrededor de 15  km/s en comparación con un delta-v de misión desde la órbita terrestre alta a Marte de aproximadamente 4  km/s ).

Para una misión, por ejemplo, al despegar o aterrizar en un planeta, es necesario contrarrestar los efectos de la atracción gravitatoria y la resistencia atmosférica mediante el uso de combustible. Generalmente, se combinan estos y otros efectos para obtener un delta-v efectivo de la misión . Por ejemplo, una misión de lanzamiento a la órbita terrestre baja requiere  un delta-v de aproximadamente 9,3 a 10 km/s. Estos delta-v de misión se integran numéricamente mediante un ordenador.

Todos los motores de reacción pierden algo de energía, principalmente en forma de calor.

Los distintos motores de reacción presentan diferentes eficiencias y pérdidas. Por ejemplo, los motores de cohete pueden alcanzar una eficiencia energética de entre el 60 % y el 70 % en la aceleración del propulsor. El resto se pierde en forma de calor y radiación térmica , principalmente en los gases de escape.

Los motores de reacción son más eficientes energéticamente cuando emiten su masa de reacción cuando el vehículo circula a alta velocidad.

Esto se debe a que la energía mecánica útil generada es simplemente fuerza por distancia, y cuando se genera una fuerza de empuje mientras el vehículo se mueve, entonces:

${\displaystyle E=F\times d\;}$

donde F es la fuerza y ​​d es la distancia recorrida.

Dividiendo por la duración del movimiento obtenemos:

${\displaystyle {\frac {E}{t}}=P={\frac {F\times d}{t}}=F\times v}$

Por eso:

${\displaystyle P=F\times v\;}$

donde P es la potencia útil y v es la velocidad.

Por lo tanto, v debe ser lo más alta posible, y un motor estacionario no realiza ningún trabajo útil. ^{[ NB 2 ]}

Agotar todo el propulsor utilizable de una nave espacial a través de los motores en línea recta en el espacio libre produciría un cambio neto de velocidad en el vehículo; este número se denomina delta-v (${\displaystyle \Delta v}$).

Si la velocidad de escape es constante, entonces el total${\displaystyle \Delta v}$de un vehículo se puede calcular utilizando la ecuación del cohete, donde M es la masa del propulsor, P es la masa de la carga útil (incluida la estructura del cohete) y${\displaystyle v_{e}}$es la velocidad del escape del cohete . Esto se conoce como la ecuación del cohete de Tsiolkovsky :

${\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln \left({\frac {M+P}{P}}\right).}$

Por razones históricas, como se mencionó anteriormente,${\displaystyle v_{e}}$a veces se escribe como

${\displaystyle v_{e}=I_{\text{sp}}g_{0}}$

dónde${\displaystyle I_{\text{sp}}}$es el impulso específico del cohete, medido en segundos, y${\displaystyle g_{0}}$es la aceleración gravitatoria a nivel del mar.

Para una misión con un alto delta-v, la mayor parte de la masa de la nave espacial debe ser masa de reacción. Debido a que un cohete debe transportar toda su masa de reacción, la mayor parte de la masa de reacción inicialmente gastada se destina a acelerar la masa de reacción en lugar de a la carga útil. Si el cohete tiene una carga útil de masa P , la nave espacial necesita cambiar su velocidad en${\displaystyle \Delta v}$y el motor del cohete tiene una velocidad de escape v _e , entonces la masa de reacción M que se necesita se puede calcular utilizando la ecuación del cohete y la fórmula para${\displaystyle I_{\text{sp}}}$:

${\displaystyle M=P\left(e^{\frac {\Delta v}{v_{e}}}-1\right).}$

Para${\displaystyle \Delta v}$mucho menor que v _e , esta ecuación es aproximadamente lineal y se necesita poca masa de reacción. Si${\displaystyle \Delta v}$Si es comparable a v _e , entonces se necesita aproximadamente el doble de combustible que la carga útil y la estructura combinadas (que incluye motores, tanques de combustible, etc.). Más allá de esto, el crecimiento es exponencial; velocidades mucho mayores que la velocidad de escape requieren proporciones muy altas de masa de combustible con respecto a la carga útil y la masa estructural.

Para una misión, por ejemplo, al despegar o aterrizar en un planeta, es necesario contrarrestar los efectos de la atracción gravitatoria y la resistencia atmosférica mediante el uso de combustible. Generalmente, se combinan estos y otros efectos para obtener un delta-v efectivo de la misión . Por ejemplo, una misión de lanzamiento a la órbita terrestre baja requiere  un delta-v de aproximadamente 9,3 a 10 km/s. Estos delta-v de misión se integran numéricamente mediante un ordenador.

Algunos efectos, como el efecto Oberth, solo pueden ser aprovechados significativamente por motores de alto empuje, como los cohetes; es decir, motores que pueden producir una alta fuerza g (empuje por unidad de masa, igual a delta-v por unidad de tiempo).

En el caso ideal${\displaystyle m_{1}}$es una carga útil útil y${\displaystyle m_{0}-m_{1}}$es la masa de reacción (esto corresponde a tanques vacíos que no tienen masa, etc.). La energía requerida se puede calcular simplemente como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1})v_{\text{e}}^{2}}$

Esto corresponde a la energía cinética que tendría la masa de reacción expulsada a una velocidad igual a la velocidad de escape. Si la masa de reacción tuviera que acelerarse desde velocidad cero hasta la velocidad de escape, toda la energía producida iría a la masa de reacción y no quedaría nada para que el cohete y la carga útil ganaran energía cinética. Sin embargo, si el cohete ya se mueve y acelera (la masa de reacción se expulsa en la dirección opuesta a la dirección en la que se mueve el cohete), se añade menos energía cinética a la masa de reacción. Para ver esto, si, por ejemplo,${\displaystyle v_{e}}$Si la velocidad de reacción es de 10  km/s y la velocidad del cohete es de 3  km/s, entonces la velocidad de una pequeña cantidad de masa de reacción gastada cambia de 3  km/s hacia adelante a 7  km/s hacia atrás. Por lo tanto, aunque la energía requerida es de 50 MJ por kg de masa de reacción, solo 20 MJ se utilizan para el aumento de la velocidad de la masa de reacción. Los 30 MJ restantes corresponden al aumento de la energía cinética del cohete y la carga útil.

En general:

${\displaystyle d\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)=vdv=vv_{\text{e}}{\frac {dm}{m}}={\frac {1}{2}}\left[v_{\text{e}}^{2}-\left(v-v_{\text{e}}\right)^{2}+v^{2}\right]{\frac {dm}{m}}}$

Así, la ganancia de energía específica del cohete en cualquier intervalo de tiempo pequeño es la ganancia de energía del cohete, incluyendo el combustible restante, dividida por su masa, donde la ganancia de energía es igual a la energía producida por el combustible menos la ganancia de energía de la masa de reacción. Cuanto mayor sea la velocidad del cohete, menor será la ganancia de energía de la masa de reacción; si la velocidad del cohete supera la mitad de la velocidad de escape, la masa de reacción incluso pierde energía al ser expulsada, en beneficio de la ganancia de energía del cohete; cuanto mayor sea la velocidad del cohete, mayor será la pérdida de energía de la masa de reacción.

Tenemos

${\displaystyle \Delta \epsilon =\int v\,d(\Delta v)}$

dónde${\displaystyle \epsilon }$es la energía específica del cohete (energía potencial más energía cinética) y${\displaystyle \Delta v}$es una variable separada, no solo el cambio en${\displaystyle v}$. En el caso de utilizar el cohete para desaceleración; es decir, expulsar masa de reacción en la dirección de la velocidad,${\displaystyle v}$debe tomarse de forma negativa.

La fórmula se refiere nuevamente al caso ideal, sin pérdida de energía por calor, etc. Esto último provoca una reducción del empuje, por lo que resulta una desventaja incluso cuando el objetivo es perder energía (desaceleración).

Si la energía se produce por la masa misma, como en un cohete químico, el valor del combustible tiene que ser...${\displaystyle \scriptstyle {v_{\text{e}}^{2}/2}}$donde para el valor del combustible también se debe tener en cuenta la masa del oxidante. Un valor típico es${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 4,5  km/s, lo que corresponde a un valor energético de 10,1  MJ/kg. El valor energético real es mayor, pero gran parte de la energía se pierde como calor residual en los gases de escape que la boquilla no pudo extraer.

La energía requerida${\displaystyle E}$es

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m_{1}\left(e^{\frac {\Delta v}{v_{\text{e}}}}-1\right)v_{\text{e}}^{2}}$

Conclusiones:

• para${\displaystyle \Delta v\ll v_{e}}$tenemos${\displaystyle E\approx {\frac {1}{2}}m_{1}v_{\text{e}}\Delta v}$
• para un dado${\displaystyle \Delta v}$, se necesita la energía mínima si${\displaystyle v_{\text{e}}=0,6275\Delta v}$, que requiere una energía de

${\displaystyle E=0,772m_{1}(\Delta v)^{2}}$.

En el caso de aceleración en una dirección fija, partiendo de velocidad cero y en ausencia de otras fuerzas, esto representa un 54,4 % más que la energía cinética final de la carga útil. En este caso óptimo, la masa inicial es 4,92 veces la masa final.

Estos resultados son válidos para una velocidad de escape fija.

Debido al efecto Oberth y partiendo de una velocidad distinta de cero, la energía potencial requerida del propulsor puede ser menor que el aumento de energía en el vehículo y la carga útil. Esto puede ocurrir cuando la masa de reacción tiene una velocidad menor después de ser expulsada que antes; los cohetes pueden liberar parte o la totalidad de la energía cinética inicial del propulsor.

Además, para un objetivo dado, como pasar de una órbita a otra, se requiere${\displaystyle \Delta v}$puede depender en gran medida de la velocidad a la que el motor puede producir${\displaystyle \Delta v}$y las maniobras pueden incluso ser imposibles si esa tasa es demasiado baja. Por ejemplo, un lanzamiento a la órbita terrestre baja (LEO) normalmente requiere una${\displaystyle \Delta v}$de aproximadamente 9,5  km/s (principalmente para la velocidad que se debe adquirir), pero si el motor pudiera producir${\displaystyle \Delta v}$a una velocidad de solo un poco más de g , sería un lanzamiento lento que requeriría en total una muy gran${\displaystyle \Delta v}$(piensa en flotar sin progresar en velocidad o altitud, costaría un${\displaystyle \Delta v}$de 9,8  m/s cada segundo). Si la velocidad posible es solo${\displaystyle g}$o menos, la maniobra no se puede realizar en absoluto con este motor.

El poder es dado por

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}mav_{\text{e}}={\frac {1}{2}}Fv_{\text{e}}}$

dónde${\displaystyle F}$es el impulso y${\displaystyle a}$la aceleración debida a ello. Por lo tanto, el empuje teóricamente posible por unidad de potencia es 2 dividido por el impulso específico en m/s. La eficiencia del empuje es el empuje real expresado como porcentaje de este.

Si, por ejemplo, se utiliza energía solar , esto restringe${\displaystyle a}$; en el caso de un gran${\displaystyle v_{\text{e}}}$la aceleración posible es inversamente proporcional a ella, por lo tanto, el tiempo para alcanzar un delta-v requerido es proporcional a${\displaystyle v_{\text{e}}}$; con 100% de eficiencia:

• para${\displaystyle \Delta v\ll v_{\text{e}}}$tenemos${\displaystyle t\approx {\frac {mv_{\text{e}}\Delta v}{2P}}}$

Ejemplos:

• potencia, 1000  W; masa, 100  kg;${\displaystyle \Delta v}$= 5  km/s,${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 16  km/s, tarda 1,5 meses.
• potencia, 1000  W; masa, 100  kg;${\displaystyle \Delta v}$= 5  km/s,${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 50  km/s, tarda 5 meses.

De este modo${\displaystyle v_{\text{e}}}$No debe ser demasiado grande.

La relación potencia/empuje es simplemente: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {P}{F}}={\frac {{\frac {1}{2}}{{\dot {m}}v^{2}}}{{\dot {m}}v}}={\frac {1}{2}}v}$

Por lo tanto, para cualquier potencia P del vehículo, el empuje que se puede proporcionar es:

${\displaystyle F={\frac {P}{{\frac {1}{2}}v}}={\frac {2P}{v}}}$

 Supongamos que se enviará una sonda espacial de 10.000 kg a Marte. El requerido${\displaystyle \Delta v}$La velocidad desde LEO es de aproximadamente 3000  m/s, utilizando una órbita de transferencia de Hohmann . A modo de ejemplo, supongamos que los siguientes propulsores son opciones a utilizar:

Obsérvese que los motores más eficientes en consumo de combustible pueden utilizar mucho menos combustible; su masa es prácticamente insignificante (en relación con la masa de la carga útil y del propio motor) en algunos casos. Sin embargo, estos requieren una gran cantidad de energía total. Para el lanzamiento desde la Tierra, los motores requieren una relación empuje-peso superior a uno. Para lograr esto con los propulsores iónicos o eléctricos más teóricos, el motor tendría que recibir entre uno y varios gigavatios de potencia, equivalente a una gran central eléctrica metropolitana . En la tabla se puede apreciar que esto resulta claramente inviable con las fuentes de energía actuales.

Entre los enfoques alternativos se incluyen algunas formas de propulsión láser , donde la masa de reacción no proporciona la energía necesaria para acelerarla, sino que esta proviene de un láser externo u otro sistema de propulsión alimentado por haz . Se han realizado vuelos con modelos a pequeña escala de algunos de estos conceptos, aunque los problemas de ingeniería son complejos y los sistemas de alimentación en tierra aún no están resueltos.

En cambio, se podría incluir un generador mucho más pequeño y menos potente, que tardaría mucho más en generar la energía total necesaria. Esta menor potencia solo basta para acelerar una pequeña cantidad de combustible por segundo, y sería insuficiente para el lanzamiento desde la Tierra. Sin embargo, tras largos periodos en órbita, donde no hay fricción, se alcanzará la velocidad deseada. Por ejemplo, el SMART-1 tardó más de un año en llegar a la Luna, mientras que con un cohete químico se tarda unos pocos días. Dado que el propulsor iónico necesita mucho menos combustible, la masa total lanzada suele ser menor, lo que generalmente se traduce en un menor coste total, pero el viaje es más largo.

Por lo tanto, la planificación de la misión con frecuencia implica ajustar y elegir el sistema de propulsión para minimizar el costo total del proyecto, y puede implicar un equilibrio entre los costos de lanzamiento y la duración de la misión frente a la fracción de carga útil .