Elemento real

En la teoría de grupos , una disciplina dentro del álgebra moderna, un elemento${\displaystyle x}$de un grupo${\displaystyle G}$se llama un elemento real de${\displaystyle G}$si pertenece a la misma clase de conjugación que su inverso${\displaystyle x^{-1}}$, es decir, si hay un${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$con${\displaystyle x^{g}=x^{-1}}$, dónde${\displaystyle x^{g}}$se define como${\displaystyle g^{-1}\cdot x\cdot g}$. ^{[ 1 ]} Un elemento${\displaystyle x}$de un grupo${\displaystyle G}$Se denomina fuertemente real si existe una involución.${\displaystyle t}$con${\displaystyle x^{t}=x^{-1}}$. ^{[ 2 ]}

Un elemento${\displaystyle x}$de un grupo${\displaystyle G}$es real si y solo si para todas las representaciones${\displaystyle \rho }$de${\displaystyle G}$, el rastro${\displaystyle \mathrm {Tr} (\rho (g))}$de la matriz correspondiente es un número real . En otras palabras, un elemento${\displaystyle x}$de un grupo${\displaystyle G}$es real si y solo si${\displaystyle \chi (x)}$es un número real para todos los caracteres${\displaystyle \chi }$de${\displaystyle G}$. ^{[ 3 ]}

Un grupo con todos sus elementos reales se llama grupo ambivalente . Todo grupo ambivalente tiene una tabla de caracteres reales . El grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$de cualquier grado${\displaystyle n}$es ambivalente.

Un grupo con elementos reales distintos del elemento identidad es necesariamente de orden par . ^{[ 3 ]}

Para un elemento real${\displaystyle x}$de un grupo${\displaystyle G}$, el número de elementos del grupo${\displaystyle g}$con${\displaystyle x^{g}=x^{-1}}$es igual a${\displaystyle \left|C_{G}(x)\right|}$, ^{[ 1 ]} donde${\displaystyle C_{G}(x)}$es el centralizador de${\displaystyle x}$,

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\}}$.

Toda involución es fuertemente real. Además, todo elemento que es producto de dos involuciones es fuertemente real. Recíprocamente, todo elemento fuertemente real es producto de dos involuciones.

Si${\displaystyle x\neq e}$y${\displaystyle x}$es real en${\displaystyle G}$y${\displaystyle \left|C_{G}(x)\right|}$es extraño, entonces${\displaystyle x}$es fuertemente real en${\displaystyle G}$.

El centralizador extendido de un elemento${\displaystyle x}$de un grupo${\displaystyle G}$se define como

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}^{*}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\lor x^{g}=x^{-1}\},}$

haciendo el centralizador extendido de un elemento${\displaystyle x}$igual al normalizador del conjunto${\displaystyle \left\{x,x^{-1}\right\}}$. ^{[ 4 ]}

El centralizador extendido de un elemento de un grupo${\displaystyle G}$siempre es un subgrupo de${\displaystyle G}$. Para involuciones o elementos no reales, el centralizador y el centralizador extendido son iguales. ^{[ 1 ]} Para un elemento real${\displaystyle x}$de un grupo${\displaystyle G}$eso no es una involución,

${\displaystyle \left|\mathrm {C} _{G}^{*}(x):\mathrm {C} _{G}(x)\right|=2.}$

• Teorema de Brauer-Fowler

• Gorenstein, Daniel (2007) [reimpresión de una obra publicada originalmente en 1980]. Grupos finitos . AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821843420.
• Isaacs, I. Martin (1994) [reedición íntegra y corregida de la obra publicada originalmente por Academic Press, Nueva York, en 1976]. Teoría de caracteres de grupos finitos . Dover Publications. ISBN 978-0486680149.
• Rose, John S. (2012) [reedición íntegra e inalterada de una obra publicada originalmente por Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, en 1978]. A Course on Group Theory . Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.