Producto tensorial de campos

En matemáticas , el producto tensorial de dos cuerpos es su producto tensorial como álgebras sobre un subcuerpo común . Si no se especifica explícitamente ningún subcuerpo, los dos cuerpos deben tener la misma característica y el subcuerpo común es su subcuerpo primo .

El producto tensorial de dos cuerpos es a veces un cuerpo, y a menudo un producto directo de cuerpos; en algunos casos, puede contener elementos nilpotentes distintos de cero .

El producto tensorial de dos campos expresa en una sola estructura la diferente manera de incrustar los dos campos en un campo de extensión común .

Primero, se define la noción de compositum de cuerpos. Esta construcción aparece con frecuencia en la teoría de cuerpos . La idea detrás del compositum es hacer que el cuerpo más pequeño contenga otros dos cuerpos. Para definir formalmente el compositum, primero se debe especificar una torre de cuerpos . Sea k un cuerpo y L y K dos extensiones de k . El compositum, denotado KL , se define como${\displaystyle KL=k(K\cup L)}$donde el lado derecho denota la extensión generada por K y L. Esto supone algún cuerpo que contiene tanto a K como a L. Se puede partir de una situación en la que sea fácil identificar un cuerpo ambiente (por ejemplo, si K y L son subcuerpos de los números complejos ), o bien se puede demostrar un resultado que permita ubicar tanto a K como a L (como copias isomorfas ) en algún cuerpo suficientemente grande.

En muchos casos se puede identificar K . L como un producto tensorial de espacio vectorial , tomado sobre el campo N que es la intersección de K y L. Por ejemplo, si se adjunta √2 al campo racional.${\displaystyle \mathbb {Q} }$Para obtener K y √3 para obtener L , es cierto que el campo M se obtiene como K . L dentro de los números complejos.${\displaystyle \mathbb {C} }$es ( salvo isomorfismo)

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }L}$

como un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$(Este tipo de resultado puede verificarse, en general, utilizando la teoría de ramificación de la teoría algebraica de números ).

Los subcampos K y L de M son linealmente disjuntos (sobre un subcampo N ) cuando de esta manera el mapa N -lineal natural de

${\displaystyle K\otimes _ {N}L}$

a K . L es inyectivo . ^{[ 1 ]} Naturalmente, esto no siempre es así, por ejemplo, cuando K = L . Cuando los grados son finitos, la inyectividad es equivalente aquí a la biyectividad . Por lo tanto, cuando K y L son campos de extensión de grado finito linealmente disjuntos sobre N ,${\displaystyle KL\cong K\otimes _{N}L}$, al igual que con las extensiones de los racionales antes mencionadas.

Un caso significativo en la teoría de campos ciclotómicos es que para las raíces n -ésimas de la unidad , para n un número compuesto , los subcampos generados por las p ^- ésimas raíces de la unidad para potencias primas que dividen a n son linealmente disjuntos para p distintos . ^{[ 2 ]}

Para obtener una teoría general, es necesario considerar una estructura de anillo en${\displaystyle K\otimes _ {N}L}$Se puede definir el producto.${\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d)}$ser${\displaystyle ac\otimes bd}$(véase Producto tensorial de álgebras ). Esta fórmula es multilineal sobre N en cada variable; y por lo tanto define una estructura de anillo en el producto tensorial, lo que hace${\displaystyle K\otimes _ {N}L}$en un álgebra N conmutativa , llamada producto tensorial de cuerpos .

La estructura del anillo puede analizarse considerando todas las formas de incrustar tanto K como L en alguna extensión de cuerpo de N. La construcción aquí asume el subcuerpo común N ; pero no asume a priori que K y L sean subcuerpos de algún cuerpo M (evitando así las advertencias sobre la construcción de un cuerpo compuesto). Siempre que se incrustan K y L en dicho cuerpo M , digamos usando incrustaciones α de K y β de L , resulta un homomorfismo de anillo γ de${\displaystyle K\otimes _ {N}L}$en M definido por:

${\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).}$

El núcleo de γ será un ideal primo del producto tensorial; y, a la inversa, cualquier ideal primo del producto tensorial dará un homomorfismo de N -álgebras a un dominio integral (dentro de un cuerpo de fracciones ) y, por lo tanto , proporciona incrustaciones de K y L en algún cuerpo como extensiones de (una copia de) N.

De esta manera se puede analizar la estructura de${\displaystyle K\otimes _ {N}L}$: en principio puede haber un nilradical no nulo (intersección de todos los ideales primos) – y después de tomar el cociente por eso se puede hablar del producto de todas las incrustaciones de K y L en varios M , sobre N .

En caso de que K y L sean extensiones finitas de N , la situación es particularmente simple ya que el producto tensorial es de dimensión finita como un N -álgebra (y por lo tanto un anillo artiniano ). Entonces se puede decir que si R es el radical, se tiene${\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R}$como producto directo de un número finito de campos. Cada uno de estos campos es un representante de una clase de equivalencia de incrustaciones de campos (esencialmente distintas) para K y L en alguna extensión M.

Para dar un ejemplo explícito, consideremos los campos.${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$y${\displaystyle L=\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)}$. Claramente${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L\neq K}$son campos isomorfos pero técnicamente desiguales, siendo su intersección (en teoría de conjuntos) el campo primo.${\displaystyle N=\mathbb {Q} }$. Su producto tensorial

${\displaystyle K\otimes L=K\otimes _{N}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\otimes _ {\mathbb {Q} }\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

no es un campo, sino un sistema de 4 dimensiones${\displaystyle \mathbb {Q} }$-álgebra. Además, esta álgebra es isomorfa a una suma directa de campos.

${\displaystyle K\otimes L\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\oplus \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

a través del mapa inducido por${\displaystyle 1\mapsto (1,1),z\mapsto ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$Moralmente${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$debe considerarse el subcampo común más grande salvo isomorfismo de K y L a través de los isomorfismos.${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L}$Cuando se realiza el producto tensorial sobre este mejor candidato para el subcampo común más grande, en realidad obtenemos un campo (bastante trivial)

${\displaystyle K\otimes _{\tilde {N}}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})={\tilde {N}}\cong K\cong L}$.

Por otro ejemplo, si K se genera sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$por la raíz cúbica de 2, entonces${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K}$es la suma de (una copia de) K y un campo de descomposición de

X ³ − 2,

de grado 6 sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$Esto se puede demostrar calculando la dimensión del producto tensorial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$como 9, y observando que el campo de división contiene dos (de hecho tres) copias de K , y es el compuesto de dos de ellas. Eso demuestra incidentalmente que R = {0} en este caso.

Un ejemplo que conduce a un nilpotente distinto de cero:

P ( X ) = X ^p − T

donde K es el campo de funciones racionales en la indeterminada T sobre el campo finito con p elementos (véase Polinomio separable : el punto aquí es que P no es separable). Si L es la extensión de campo K ( T ^{1/ p} ) (el campo de descomposición de P ), entonces L / K es un ejemplo de una extensión de campo puramente inseparable . En${\displaystyle L\otimes _{K}L}$el elemento

${\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}$

es nilpotente: al tomar su p- ésima potencia se obtiene 0 mediante la K -linealidad.

En la teoría algebraica de números , los productos tensoriales de cuerpos son (implícitamente, a menudo) una herramienta básica. Si K es una extensión de${\displaystyle \mathbb {Q} }$de grado finito n ,${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$es siempre un producto de campos isomorfos a${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$Los campos de números totalmente reales son aquellos para los que solo aparecen campos reales : en general hay r ₁ campos reales y r ₂ campos complejos, con r ₁ +  2 r ₂ = n , como se observa al contar las dimensiones. Los factores de campo están en correspondencia biunívoca con las incrustaciones reales y pares de incrustaciones complejas conjugadas , descritas en la literatura clásica.

Esta idea también se aplica a${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},}$dónde${\displaystyle \mathbb {Q} }$_p es el campo de los números p -ádicos . Este es un producto de extensiones finitas de${\displaystyle \mathbb {Q} }$_p , en correspondencia biunívoca con las completaciones de K para extensiones de lamétrica p -ádica en${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Esto ofrece una visión general y, de hecho, una forma de desarrollar la teoría de Galois (siguiendo las líneas empleadas en la teoría de Galois de Grothendieck ). Se puede demostrar que, para extensiones separables, el radical siempre es {0}; por lo tanto, el caso de la teoría de Galois es el semisimple , el de productos de cuerpos únicamente.

• Extensión de escalares : producto tensorial de una extensión de cuerpo y un espacio vectorial sobre ese cuerpo.

• "Compositum" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Kempf, George R. (2012) [1995]. "9.2 Descomposición de productos tensoriales de cuerpos" . Estructuras algebraicas . Springer. pp. 85–87 . ISBN  978-3-322-80278-1.
• Milne, JS (18 de marzo de 2017). Teoría algebraica de números (PDF) . pág.  17. 3.07.
• Stein, William (2004). "Una breve introducción a la teoría algebraica clásica y adélica de números" (PDF) . págs. 140–2 . 
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975) [1958]. Álgebra conmutativa I. Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  28. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90089-6. MR 0090581 . 

• Hilo de MathOverflow sobre la definición de disyunción lineal