Real radical

En álgebra , el radical real de un ideal I en un anillo de polinomios con coeficientes reales es el ideal más grande que contiene a I con el mismo lugar de anulación (real). En geometría algebraica real, desempeña un papel similar al del radical de un ideal en geometría algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado . Más específicamente, el teorema de los ceros de Hilbert establece que cuando I es un ideal en un anillo de polinomios con coeficientes provenientes de un cuerpo algebraicamente cerrado, el radical de I es el conjunto de polinomios que se anulan en el lugar de anulación de I. En geometría algebraica real, el teorema de los ceros no se cumple, ya que los números reales no son algebraicamente cerrados. Sin embargo, se puede recuperar un teorema similar, el teorema de los ceros real , utilizando el radical real en lugar del radical (ordinario).

El radical real de un ideal I en un anillo de polinomios${\displaystyle \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$sobre los números reales, denotados por${\displaystyle {\sqrt[{\mathbb {R} }]{I}}}$, se define como

${\displaystyle {\sqrt[{\mathbb {R} }]{I}}={\Big \{}f\in \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n}]\left|\,-f^{2m}=\textstyle {\sum _{i}}h_{i}^{2}+g\right.{\text{ donde }}\ m\in \mathbb {Z} _{+},\,h_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n}],\,{\text{y }}g\in I{\Big \}}.}$

El Positivstellensatz implica entonces que${\displaystyle {\sqrt[{\mathbb {R} }]{I}}}$es el conjunto de todos los polinomios que se anulan en la variedad real ^{[ Nota 1 ]} definida por la anulación de${\displaystyle I}$.

• Marshall, Murray. Polinomios positivos y sumas de cuadrados. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1; 0-8218-4402-4