Estructura real

En matemáticas , una estructura real sobre un espacio vectorial complejo es una forma de descomponer dicho espacio en la suma directa de dos espacios vectoriales reales . El prototipo de esta estructura es el propio cuerpo de los números complejos, considerado como un espacio vectorial complejo sobre sí mismo y con la aplicación de conjugación.${\displaystyle \sigma$ :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,} , con${\displaystyle \sigma (z)={\bar {z}}}$, dando la estructura real "canónica" en${\displaystyle {\mathbb {C} }\,}$, eso es${\displaystyle {\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,}$.

El mapa de conjugación es antilineal :${\displaystyle \sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,}$y${\displaystyle \sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,}$.

Una estructura real en un espacio vectorial complejo V es una involución antilineal.${\displaystyle \sigma :V\to V}$Una estructura real define un subespacio real.${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\subset V}$, su ubicación fija y el mapa natural

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V}$

es un isomorfismo. Recíprocamente, cualquier espacio vectorial que sea la complejización de un espacio vectorial real tiene una estructura real natural.

En primer lugar, cabe señalar que todo espacio complejo V tiene una realización obtenida al tomar los mismos vectores que en el conjunto original y restringir los escalares a ser reales.${\displaystyle t\in V\,}$y${\displaystyle t\neq 0}$entonces los vectores${\displaystyle t\,}$y${\displaystyle it\,}$son linealmente independientes en la realización de V. Por lo tanto:

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V}$

Naturalmente, uno desearía representar V como la suma directa de dos espacios vectoriales reales, las "partes real e imaginaria de V ". No hay una forma canónica de hacer esto: tal división es una estructura real adicional en V. Se puede introducir de la siguiente manera. ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$sea ​​una aplicación antilineal tal que${\displaystyle \sigma \circ \sigma =id_{V}\,}$, que es una involución antilineal del espacio complejo V . Cualquier vector${\displaystyle v\in V\,}$se puede escribir${\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}$, dónde${\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}$y${\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}$.

Por lo tanto, se obtiene una suma directa de espacios vectoriales.${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$dónde:

${\displaystyle V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}}$y${\displaystyle V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,}$.

Ambos conjuntos${\displaystyle V^{+}\,}$y${\displaystyle V^{-}\,}$son espacios vectoriales reales . El mapeo lineal${\displaystyle K:V^{+}\to V^{-}\,}$, dónde${\displaystyle K(t)=it\,}$, es un isomorfismo de espacios vectoriales reales, por lo que:

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,}$.

El primer factor${\displaystyle V^{+}\,}$también se denota por${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$y queda invariable por${\displaystyle \sigma \,}$, eso es${\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}$El segundo factor${\displaystyle V^{-}\,}$se suele denotar por${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$. La suma directa${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$ahora se lee como:

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$,

es decir, como la suma directa de lo "real"${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$y "imaginario"${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$partes de V. Esta construcción depende en gran medida de la elección de una involución antilineal del espacio vectorial complejo V. La complejización del espacio vectorial real${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$, es decir, ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}$admite una estructura real natural y por lo tanto es canónicamente isomorfo a la suma directa de dos copias de${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$:

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$.

Sigue un isomorfismo lineal natural.${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,}$entre espacios vectoriales complejos con una estructura real dada.

Una estructura real en un espacio vectorial complejo V , que es una involución antilineal.${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$, puede describirse de forma equivalente en términos del mapa lineal${\displaystyle {\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,}$del espacio vectorial${\displaystyle V\,}$al espacio vectorial conjugado complejo${\displaystyle {\bar {V}}\,}$definido por

${\displaystyle v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,}$. ^{[ 2 ]}

Para una variedad algebraica definida sobre un subcampo de los números reales , la estructura real es la conjugación compleja que actúa sobre los puntos de la variedad en el espacio proyectivo o afín complejo. Su lugar fijo es el espacio de puntos reales de la variedad (que puede ser vacío).

Para un esquema definido sobre un subcampo de los números reales, la conjugación compleja es, de forma natural, un miembro del grupo de Galois de la clausura algebraica del cuerpo base. La estructura real es la acción de Galois de esta conjugación sobre la extensión del esquema sobre la clausura algebraica del cuerpo base. Los puntos reales son aquellos cuyo cuerpo residual está fijo (el cual puede ser vacío).

En matemáticas , una estructura de realidad en un espacio vectorial complejo V es una descomposición de V en dos subespacios reales, llamados partes real e imaginaria de V :

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

Aquí V _R es un subespacio real de V , es decir, un subespacio de V considerado como un espacio vectorial sobre los números reales . Si V tiene dimensión compleja n (dimensión real 2n ) , entonces V _R debe tener dimensión real n .

La estructura de realidad estándar en el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$es la descomposición

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.}$

En presencia de una estructura de realidad, cada vector en V tiene una parte real y una parte imaginaria, cada una de las cuales es un vector en V _R :

${\displaystyle v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

En este caso, el conjugado complejo de un vector v se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

Este mapa${\displaystyle v\mapsto {\overline {v}}}$es una involución antilineal , es decir

${\displaystyle {\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.}$

Por el contrario, dada una involución antilineal${\displaystyle v\mapsto c(v)}$En un espacio vectorial complejo V , es posible definir una estructura de realidad en V de la siguiente manera. Sea

${\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),}$

y definir

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}$

Entonces

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

En realidad, esta es la descomposición de V como los autoespacios del operador lineal real c . Los autovalores de c son +1 y −1 , con autoespacios V _R y${\displaystyle i}$ V _R , respectivamente. Típicamente, el operador c en sí mismo, en lugar de la descomposición del espacio propio que implica, se denomina estructura de realidad en V .

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• Complejización
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• Mapa lineal
• Forma sesquilineal
• cálculo espinorial

• Horn y Johnson, Análisis matricial, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2(Los mapas antilineales se analizan en la sección 4.6).
• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3(Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3).
• Penrose, Roger ; Rindler, Wolfgang (1986), Espinores y espacio-tiempo. Vol. 2 , Monografías de Cambridge sobre física matemática, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25267-6, MR 0838301