Reciprocidad (ciencia de redes)

Una forma tradicional de definir la reciprocidad${\displaystyle r}$está utilizando la relación del número de enlaces que apuntan en ambas direcciones${\displaystyle L^{<->}}$al número total de enlaces L ^{[ 6 ]}${\displaystyle r={\frac {L^{<->}}{L}}}$

Con esta definición,${\displaystyle r=1}$es para una red puramente bidireccional mientras ${\displaystyle r=0}$para una red puramente unidireccional. Las redes reales tienen un valor intermedio entre 0 y 1.

Sin embargo, esta definición de reciprocidad tiene algunos defectos. No puede indicar la diferencia relativa de reciprocidad en comparación con una red puramente aleatoria con el mismo número de vértices y aristas. La información útil de la reciprocidad no es el valor en sí, sino si los enlaces mutuos ocurren con mayor o menor frecuencia de lo esperado por azar. Además, en aquellas redes que contienen bucles de autoenlace (enlaces que comienzan y terminan en el mismo vértice), los bucles de autoenlace deben excluirse al calcular${\displaystyle L}$.

Para superar los defectos de la definición anterior, Garlaschelli y Loffredo definieron la reciprocidad como el coeficiente de correlación entre las entradas de la matriz de adyacencia de un grafo dirigido (${\displaystyle a_{ij}=1}$si un enlace de${\displaystyle i}$a${\displaystyle j}$existe y${\displaystyle a_{ij}=0}$si no):

${\displaystyle \rho \equiv {\frac {\sum _{i\neq j}(a_{ij}-{\bar {a}})(a_{ji}-{\bar {a}})}{\sum _{i\neq j}(a_{ij}-{\bar {a}})^{2}}}}$,

donde el valor promedio${\displaystyle {\bar {a}}\equiv {\frac {\sum _{i\neq j}a_{ij}}{N(N-1)}}={\frac {L}{N(N-1)}}}$.

${\displaystyle {\bar {a}}}$mide la relación entre los enlaces dirigidos observados y posibles (densidad de enlaces), y ahora se excluyen los bucles de autoenlace.${\displaystyle L}$desde${\displaystyle i}$no es igual a${\displaystyle j}$.

La definición se puede escribir de la siguiente forma sencilla:

${\displaystyle \rho ={\frac {r-{\bar {a}}}{1-{\bar {a}}}}}$

La nueva definición de reciprocidad da una cantidad absoluta que permite distinguir directamente entre recíproco (${\displaystyle \rho >0}$) y antirrecíproco (${\displaystyle \rho <0}$) redes, con enlaces mutuos que ocurren con mayor y menor frecuencia que al azar, respectivamente.

Si todos los enlaces aparecen en pares recíprocos,${\displaystyle \rho =1}$; si${\displaystyle r=0}$,${\displaystyle \rho =\rho _{min}}$. ${\displaystyle \rho _{min}\equiv {\frac {-{\bar {a}}}{1-{\bar {a}}}}}$

Esta es otra ventaja de usar${\displaystyle \rho }$, puesto que incorpora la idea de que la antirreciprocidad completa es estadísticamente más significativa en redes con mayor densidad, mientras que debe considerarse un efecto menos pronunciado en redes más dispersas.