Reconstrucción a partir de proyecciones

El problema de reconstruir una señal multidimensional a partir de su proyección es intrínsecamente multidimensional, sin equivalente unidimensional. Sus aplicaciones abarcan desde la tomografía computarizada hasta el procesamiento de señales geofísicas. Es un problema que puede explorarse desde diversas perspectivas: como un problema de deconvolución , un problema de modelado, un problema de estimación o un problema de interpolación . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Numerosos campos de la ciencia y la ingeniería utilizan la reconstrucción a partir de proyecciones, especialmente en la obtención de imágenes. Se aplica ampliamente en la tomografía geofísica , la imagen médica y la radiografía industrial . Por ejemplo, en un escáner de TC , la estructura 3D del cuerpo del paciente que se está escaneando se mide mediante haces que atraviesan el tejido e inciden en un detector, lo que proporciona una proyección plana del cuerpo desde ese ángulo. Se combinan múltiples proyecciones para obtener una imagen de la posición y la forma de las estructuras internas en 3D. ^{[ 3 ]}

Una proyección es un mapeo lineal de un${\displaystyle M}$señal dimensional en una${\displaystyle N}$uno dimensional, donde${\displaystyle N\leq M}$. Y el objetivo de la reconstrucción es restaurar la${\displaystyle M}$señal dimensional basada en la${\displaystyle N}$señal dimensional. El siguiente caso es una señal 2D proyectada en una señal 1D. ^{[ 4 ]} La señal en la coordenada original se denota como${\displaystyle d(u,v)}$Ahora consideremos un haz de radiación colimado que proviene de la orientación opuesta de${\displaystyle {\hat {v}}}$, produciendo una proyección a lo largo de${\displaystyle {\hat {u}}}$.${\displaystyle {\hat {v}}}$y${\displaystyle {\hat {u}}}$son normales entre sí, y el ángulo entre${\displaystyle u}$y${\displaystyle {\hat {u}}}$es theta. La señal obtenida a lo largo${\displaystyle {\hat {u}}}$El eje se define como${\displaystyle p_{\theta }({\hat {u}})}$La relación entre la coordenada original y la coordenada rotada viene dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {u}}\\{\hat {v}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}}$

o inversamente,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {u}}\\{\hat {v}}\end{bmatrix}}}$

Entonces tenemos

${\displaystyle p_{\theta }({\hat {u}})=\int _{-\infty }^{\infty }d(u,v)\,\mathrm {d} {\hat {v}}=\int _{-\infty }^{\infty }d({\hat {u}}\cos(\theta )-{\hat {v}}\sin(\theta ),{\hat {u}}\sin(\theta )+{\hat {v}}\cos(\theta ))\,\mathrm {d} {\hat {v}}}$

Variando el parámetro theta, se puede obtener un gran número de proyecciones.

Dado el teorema de proyección-corte ,${\displaystyle D(\Omega ,\theta )}$,la sección de la transformada de Fourier de${\displaystyle d(u,v)}$en el ángulo theta, es equivalente a${\displaystyle P_{\theta }(\Omega )}$, la transformada de Fourier de la proyección${\displaystyle p_{\theta }({\hat {u}})}$Por lo tanto, lo desconocido${\displaystyle d(u,v)}$se puede obtener a partir de su transformada de Fourier mediante la integral de inversión de la transformada de Fourier

${\displaystyle \mathrm {d} (u,v)={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }D(\Omega _{1},\Omega _{2})e^{j\Omega _{1}u}e^{j\Omega _{2}v}\,\mathrm {d} \Omega _{1},\Omega _{2}}$${\displaystyle ={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\pi }^{\pi }D(\Omega ,\theta )e^{j\Omega u\cos(\theta )}e^{j\Omega vsin\theta }{\begin{vmatrix}\Omega \end{vmatrix}}\,\mathrm {d} \Omega \mathrm {d} \theta }$${\displaystyle ={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{0}^{\infty }P_{\theta }(\Omega )e^{j}\Omega (u\cos \theta +v\sin \theta ){\begin{vmatrix}\Omega \end{vmatrix}}\,\mathrm {d} \Omega \mathrm {d} \theta }$${\displaystyle ={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\pi }(\int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }(\Omega ){\begin{vmatrix}\Omega \end{vmatrix}}}$${\displaystyle e^{j\Omega {\hat {u}}}\mathrm {d} \Omega )\mathrm {d} \theta }$

Al tomar la transformada inversa de Fourier y asumir${\displaystyle g({\hat {u}})={\mathcal {F}}^{-1}({{\begin{vmatrix}\Omega \end{vmatrix}}^{2}})}$, obtenemos${\displaystyle d(u,v)=\sum _{i}\vartriangle \theta _{i}[p_{\theta }({\hat {u}})*g_{\theta i}({\hat {u}})]}$

En la práctica, se utilizan diversos métodos, la mayoría de los cuales reconstruyen información tridimensional (volumen) a partir de señales bidimensionales (imagen). Los métodos más comunes son la tomografía computarizada (TC), la resonancia magnética (RM), la tomografía por emisión de positrones (PET) y la tomografía computarizada por emisión de fotón único (SPECT). La retroproyección filtrada, basada en los principios descritos anteriormente, se aplica con frecuencia. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• Escáner 3D
• retroproyección filtrada
• Técnica de reconstrucción algebraica
• Adquisición de datos 3D y reconstrucción de objetos

• http://www.tecn.upf.es/~afrangi/ibi/reconstruction_color_2.pdf
• http://opax.swin.edu.au/~dliley/lectures/het408/backproj.pdf