Función rectangular

La función rectangular (también conocida como función rectangular , función rect , función Pi , función Pi de Heaviside , ^{[ 1 ]} función de puerta , pulso unitario o función de caja normalizada ) se define como ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{T}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{si }}|t|>{\frac {T}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{si }}|t|={\frac {T}{2}}\\1,&{\text{si }}|t|<{\frac {T}{2}}.\end{array}}\right.}$$

Definiciones alternativas de la función definen${\textstyle \operatorname {rect} \left(t=\pm {\frac {T}{2}}\right)}$ser 0, ^{[ 3 ]} 1, ^{[ 4 ] [ 5 ]} o indefinido. El área bajo la curva no cambia para las diferentes definiciones de las funciones en${\textstyle t=\pm {\frac {T}{2}}}$.

La función rectangular puede utilizarse como base para una onda rectangular .

La función rect fue introducida en 1953 por Woodward ^{[ 6 ]} en "Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar" ^{[ 7 ]} como un operador de recorte ideal , junto con la función sinc ^{[ 8 ] [ 9 ]} como un operador de interpolación ideal , y sus operaciones de contrapartida que son el muestreo ( operador comb ) y la replicación ( operador rep ), respectivamente.

La función rectangular es un caso especial de la función rectangular más general :

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {tX}{Y}}\right)=H(t-(XY/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(tXY/2)}$$

dónde${\displaystyle H(x)}$es la función escalón de Heaviside ; la función está centrada en${\displaystyle X}$y tiene duración${\displaystyle Y}$, de${\displaystyle XY/2}$a${\displaystyle X+Y/2.}$

Las transformadas unitarias de Fourier de la función rectangular son ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} (\pi f)=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$ utilizando la frecuencia ordinaria f , donde${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$es la forma normalizada ^{[ 10 ]} de la función sinc y $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$ utilizando frecuencia angular${\displaystyle \omega }$, dónde${\displaystyle \operatorname {sinc} }$es la forma no normalizada de la función sinc .

Para${\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}$, su transformada de Fourier es$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

La autoconvolución de la función rectangular discontinua da como resultado la función triangular , una spline definida por partes que es continua, pero no continuamente diferenciable . Las convoluciones sucesivas de la función rectangular dan como resultado pulsos definidos por partes con máximos más bajos que son más anchos y suaves, donde "más suaves" significa que las derivadas de orden superior son continuas. ^{[ 11 ]}

La convolución de la función rectangular discontinua consigo misma da como resultado la función triangular, que es una función continua:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} =\operatorname {tri(t/T)} ={\begin{cases}1+t,&-T<t<0\\1-t,&\,\,\,\,\,0<t<T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

La autoconvolución de la función rectangular aplicada dos veces produce una spline parabólica continua y diferenciablemente continua:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} =\operatorname {tri(t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} ={\begin{cases}{\frac {9}{8}}+{\frac {3}{2}}t+{\frac {1}{2}}t^{2},&-{\frac {3}{2}}T<t<-{\frac {1}{2}}T\\{\frac {3}{4}}-t^{2},&-{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {1}{2}}T\\{\frac {9}{8}}-{\frac {3}{2}}t+{\frac {1}{2}}t^{2},&\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {3}{2}}T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Una autoconvolución de la función rectangular aplicada tres veces produce una spline cúbica continua y diferenciablemente continua de segundo orden:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri(t/T)} *\operatorname {tri(t/T)} ={\begin{cases}{\frac {4}{3}}+{2}t+t^{2}+{\frac {1}{6}}t^{3},&-2T<t<-T\\{\frac {2}{3}}-t^{2}-{\frac {1}{2}}t^{3},&-T<t<0\\{\frac {2}{3}}-t^{2}+{\frac {1}{2}}t^{3},&\,\,\,\,\,0<t<T\\{\frac {4}{3}}-{2}t+t^{2}-{\frac {1}{6}}t^{3},&\,\,\,\,\,T<t<2T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Una autoconvolución de la función rectangular aplicada cuatro veces produce una spline continua y una spline de cuarto orden diferenciablemente continua de tercer orden:

$${\displaystyle {\begin{aligned}4^{th}\,{\text{order spline}}={\begin{cases}{\frac {625}{384}}+{\frac {125}{48}}t+{\frac {25}{16}}t^{2}+{\frac {5}{12}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4},&-{\frac {5}{2}}T<t<-{\frac {3}{2}}T\\{\frac {55}{96}}-{\frac {5}{24}}t-{\frac {5}{4}}t^{2}-{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4},&-{\frac {3}{2}}T<t<-{\frac {1}{2}}T\\{\frac {115}{192}}-{\frac {5}{8}}t^{2}+{\frac {1}{4}}t^{4},&-{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {1}{2}}T\\{\frac {55}{96}}+{\frac {5}{24}}t-{\frac {5}{4}}t^{2}+{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4},&\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {3}{2}}T\\{\frac {625}{384}}-{\frac {125}{48}}t+{\frac {25}{16}}t^{2}-{\frac {5}{12}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4},&\,\,\,\,\,{\frac {3}{2}}T<t<{\frac {5}{2}}T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Dado que la transformada de Fourier de la función rectangular es la función Sinc , el teorema de convolución implica que la transformada de Fourier de los pulsos resultantes de convoluciones sucesivas de la función rectangular consigo misma es simplemente la función Sinc del orden del número de veces que se aplicó la función de convolución + 1 (es decir, la transformada de Fourier de la función triangular es Sinc ² , la transformada de Fourier de la spline parabólica resultante de dos convoluciones sucesivas de la función rectangular consigo misma es Sinc ³ , etc.).

Considerando la función rectangular como una función de densidad de probabilidad , es un caso especial de la distribución uniforme continua con${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$La función característica es

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

y su función generadora de momentos es

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

dónde${\displaystyle \sinh(t)}$es la función seno hiperbólico .

La función de pulso también puede expresarse como un límite de una función racional :

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

La función rectángulo se puede utilizar para representar la función delta de Dirac.${\displaystyle \delta (x)}$. ^{[ 12 ]} Específicamente,$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$Para una función${\displaystyle g(x)}$, su promedio sobre el ancho${\displaystyle a}$alrededor de 0 en el dominio de la función se calcula como,

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$ Para obtener${\displaystyle g(0)}$Se aplica el siguiente límite:

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$ y esto se puede escribir en términos de la función delta de Dirac como, $${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$La transformada de Fourier de la función delta de Dirac${\displaystyle \delta (t)}$es

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$ where the sinc function here is the normalized sinc function. Because the first zero of the sinc function is at ${\displaystyle f=1/a}$ and ${\displaystyle a}$ goes to infinity, the Fourier transform of ${\displaystyle \delta (t)}$ is

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$ means that the frequency spectrum of the Dirac delta function is infinitely broad. As a pulse is shorten in time, it is larger in spectrum.

• Fourier transform
• Square wave
• Step function
• Top-hat filter
• Boxcar function