Producto estrella de Redheffer

En matemáticas , el producto estrella de Redheffer es una operación binaria sobre operadores lineales que surge al resolver sistemas acoplados de ecuaciones lineales . Fue introducido por Raymond Redheffer en 1959 ^{[ 1 ]} y posteriormente se ha adoptado ampliamente en métodos computacionales para matrices de dispersión . Dadas dos matrices de dispersión de diferentes dispersores lineales, el producto estrella de Redheffer produce la matriz de dispersión combinada que se genera cuando algunos o todos los canales de salida de un dispersor se conectan a las entradas de otro dispersor.

Definición

Suponer $A,B$ son las matrices de bloques $A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}$ y $B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}$ , cuyos bloques $A_{ij},B_{kl}$ tienen la misma forma cuando $ij=kl$ . El producto estrella de Redheffer se define entonces por: ^{[ 1 ]}

$A\star B={\begin{pmatrix}B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{11}&B_{12}+B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{12}B_{22}\\A_{21}+A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{21}A_{11}&A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{22}\end{pmatrix}}$ ,

suponiendo que $(I-A_{12}B_{21}),(I-B_{21}A_{12})$ son invertibles , donde $I$ es una matriz identidad conforme a $A_{12}B_{21}$ o $B_{21}A_{12}$ , respectivamente. Esto se puede reescribir de varias maneras utilizando la llamada identidad de empuje. $(I-AB)A=A(I-BA)\iff A(I-BA)^{-1}=(I-AB)^{-1}A$ .

La definición de Redheffer se extiende más allá de las matrices a los operadores lineales en un espacio de Hilbert. ${\mathcal {H}}$ . ^{[ 2 ]} . Por definición, $A_{ij},B_{kl}$ son endomorfismos lineales de ${\mathcal {H}}$ , haciendo $A,B$ endomorfismos lineales de ${\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}$ , dónde $\oplus$ es la suma directa . Sin embargo, el producto estrella sigue teniendo sentido siempre que las transformaciones sean compatibles, lo cual es posible cuando $A\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\alpha },H_{\alpha }\oplus H_{\gamma })}}$ y $B\in {\mathcal {L(H_{\alpha }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\alpha })}}$ de modo que $A\star B\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\gamma })}}$ .

Propiedades

Existencia

$(I-A_{12}B_{21})^{-1}$ existe si y solo si $(I-B_{21}A_{12})^{-1}$ existe. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, cuando existe cualquiera de ellos, también existe el producto estrella de Redheffer.

Identidad

La identidad de la estrella es la identidad en ${\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}$ , o ${\begin{pmatrix}I&0\\0&I\end{pmatrix}}$ . ^{[ 2 ]}

Asociatividad

El producto estrella es asociativo, siempre que se definan todas las matrices relevantes. ^{[ 3 ]} Por lo tanto $A\star B\star C=(A\star B)\star C=A\star (B\star C)$ .

Adjunto

Siempre que exista cualquiera de los lados, el adjunto de un producto estrella de Redheffer es $(A\star B)^{*}=B^{*}\star A^{*}$ . ^{[ 2 ]}

Inverso

Si $B$ es la matriz inversa izquierda de $A$ de tal manera que $BA=I$ , $A_{22}$ tiene un inverso derecho, y $A\star B$ existe, entonces $A\star B=I$ . ^{[ 2 ]} De manera similar, si $B$ es la matriz inversa izquierda de $A$ de tal manera que $BA=I$ , $A_{11}$ tiene un inverso derecho, y $B\star A$ existe, entonces $B\star A=I$ .

Además, si $A\star B=I$ y $A_{22}$ tiene una inversa izquierda entonces $BA=I$ .

La inversa de la estrella es igual a la inversa de la matriz y ambas se pueden calcular con inversión de bloques como ^{[ 2 ].}

${\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}&(A_{21}-A_{22}A_{12}^{-1}A_{11})^{-1}\\(A_{12}-A_{11}A_{21}^{-1}A_{22})^{-1}&(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\end{pmatrix}}$ .

Derivación a partir de un sistema lineal

El producto estrella surge de la resolución de múltiples sistemas de ecuaciones lineales que comparten variables comunes. A menudo, cada sistema lineal modela el comportamiento de un subsistema en un proceso físico y, al conectar los múltiples subsistemas en un todo, se pueden eliminar las variables compartidas entre ellos para obtener el sistema lineal general. Por ejemplo, sea $\{x_{i}\}_{i=1}^{6}$ ser elementos de un espacio de Hilbert ${\mathcal {H}}$ de tal manera que ^{[ 4 ]}

${\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{4}\end{pmatrix}}$

y

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

dando lo siguiente $4$ ecuaciones en $6$ variables:

${\begin{aligned}x_{3}&=A_{11}x_{5}+A_{12}x_{4}\\x_{6}&=A_{21}x_{5}+A_{22}x_{4}\\x_{1}&=B_{11}x_{3}+B_{12}x_{2}\\x_{4}&=B_{21}x_{3}+B_{22}x_{2}\end{aligned}}$ .

Sustituyendo la primera ecuación en la última, obtenemos:

$x_{4}=(I-B_{21}A_{12})^{-1}(B_{21}A_{11}x_{5}+B_{22}x_{2})$ .

Sustituyendo la última ecuación en la primera, obtenemos:

$x_{3}=(I-A_{12}B_{21})^{-1}(A_{11}x_{5}+A_{12}B_{22}x_{2})$ .

Eliminando $x_{3},x_{4}$ sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en las de $x_{1},x_{6}$ da como resultado que el producto estrella de Redheffer sea la matriz tal que: ^{[ 1 ]}

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{6}\end{pmatrix}}=(A\star B){\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{2}\end{pmatrix}}$ .

Conexión con matrices de dispersión

Muchos procesos de dispersión adoptan una forma que motiva una convención diferente para la estructura de bloques del sistema lineal de una matriz de dispersión. Típicamente, un dispositivo físico que realiza una transformación lineal en las entradas, como los medios dieléctricos lineales en ondas electromagnéticas o en la dispersión cuántica, puede encapsularse como un sistema que interactúa con el entorno a través de varios puertos, cada uno de los cuales acepta entradas y devuelve salidas. Es convencional utilizar una notación diferente para el espacio de Hilbert, ${\mathcal {H}}_{i}$ , cuyo subíndice etiqueta un puerto en el dispositivo. Además, cualquier elemento, $c_{i}^{\pm }\in {\mathcal {H}}_{i}$ , tiene un superíndice adicional que indica la dirección del viaje (donde + indica el movimiento del puerto i al i+1 y - indica el movimiento inverso).

La notación equivalente para una transformación de Redheffer, $R\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{2}\oplus H_{1})}}$ , utilizado en la sección anterior es

${\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}R_{11}&R_{12}\\R_{21}&R_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}$ .

La acción de la matriz S , $S\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}$ , se define con un cambio adicional en comparación con la definición de Redheffer: ^{[ 5 ]}

${\begin{pmatrix}c_{1}^{-}\\c_{2}^{+}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}$ ,

entonces $S={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}R$ . Tenga en cuenta que para que se definan las matrices identidad fuera de la diagonal, necesitamos ${\mathcal {H_{1},H_{2}}}$ sea el mismo espacio de Hilbert subyacente. (El subíndice no implica ninguna diferencia, sino que es solo una etiqueta para fines contables).

El producto estrella, $\star _{S}$ , para dos matrices S, $A,B$ , viene dado por ^{[ 5 ]}

$A\star _{S}B={\begin{pmatrix}A_{11}+A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{11}A_{21}&A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{12}\\B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{21}&B_{22}+B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{22}B_{12}\end{pmatrix}}$ ,

dónde $A\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}$ y $B\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{3},H_{2}\oplus H_{3})}}$ , entonces $A\star _{S}B\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{3},H_{1}\oplus H_{3})}}$ .

Propiedades

Estos son análogos de las propiedades de $\star$ para $\star _{S}$ La mayoría de ellas se derivan de la correspondencia. $J(A\star B)=(JA)\star _{S}(JB)$ . $J$ , el operador de intercambio , es también la identidad estrella de la matriz S definida a continuación. Para el resto de esta sección, $A,B,C$ son matrices S.

Existencia

$A\star _{S}B$ existe cuando $(I-A_{22}B_{11})^{-1}$ o $(I-B_{11}A_{22})^{-1}$ existir.

Identidad

La identidad estelar de la matriz S, $J$ , es $J={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}$ . Esto significa $J\star _{S}S=S\star _{S}J=S$

Asociatividad

Asociatividad de $\star _{S}$ Se deduce de la asociatividad de $\star$ y de multiplicación de matrices .

Adjunto

De la correspondencia entre $\star$ y $\star _{S}$ y el adjunto de $\star$ , tenemos eso $(A\star _{S}B)^{*}=J(B^{*}\star _{S}A^{*})J$

Inverso

La matriz $\Sigma$ que es el producto estrella de la matriz S inverso de $S$ en el sentido de que $\Sigma \star _{S}S=S\star _{S}\Sigma =J$ es $JS^{-1}J$ dónde $S^{-1}$ es la inversa de matriz ordinaria y $J$ es como se define anteriormente.

Conexión a matrices de transferencia

Obsérvese que una matriz de dispersión puede reescribirse como una matriz de transferencia , $T$ , con acción ${\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}=T{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}$ , donde ^{[ 6 ]}

$T={\begin{pmatrix}T_{\scriptscriptstyle ++}&T_{\scriptscriptstyle +-}\\T_{\scriptscriptstyle -+}&T_{\scriptscriptstyle --}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{21}-S_{22}S_{12}^{-1}S_{11}&S_{22}S_{12}^{-1}\\-S_{12}^{-1}S_{11}&S_{12}^{-1}\end{pmatrix}}$ .

Aquí los subíndices relacionan las diferentes direcciones de propagación en cada puerto. Como resultado, el producto estrella de matrices de dispersión

${\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}=(S^{A}\star S^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}$ ,

es análogo a la siguiente multiplicación matricial de matrices de transferencia ^{[ 7 ]}

${\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}=(T^{A}T^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}$ ,

dónde $T^{A}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{2}\oplus H_{2})}}$ y $T^{B}\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{2},H_{3}\oplus H_{3})}}$ , entonces $T^{A}T^{B}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{3}\oplus H_{3})}}$ .

Generalizaciones

Redheffer generalizó el concepto de producto estrella de varias maneras:

Biyecciones arbitrarias

Si existe una biyección $M\leftrightarrow L$ dado por $L=f(M)$ Entonces, un producto estrella asociativo puede definirse mediante: ^{[ 7 ]}

$A\star B=f^{-1}(f(A)f(B))$ .

El producto estrella particular definido por Redheffer anteriormente se obtiene de:

$f(A)=((I-A)+(I+A)J)^{-1}((A-I)+(A+I)J)$

dónde $J(x,y)=(-x,y)$ .

Producto de 3 estrellas

También se puede definir un producto estrella para matrices de 3x3. ^{[ 8 ]}

Aplicaciones a matrices de dispersión

En física , el producto estrella de Redheffer aparece al construir una matriz de dispersión total a partir de dos o más subsistemas. Si el sistema $A$ tiene una matriz de dispersión $S^{A}$ y sistema $B$ tiene matriz de dispersión $S^{B}$ , entonces el sistema combinado $AB$ tiene matriz de dispersión $S^{AB}=S^{A}\star S^{B}$ . ^{[ 5 ]}

teoría de la línea de transmisión

Muchos procesos físicos, incluyendo la transferencia radiativa , la difusión de neutrones, la teoría de circuitos y otros, se describen mediante procesos de dispersión cuya formulación depende de la dimensión del proceso y la representación de los operadores. ^{[ 6 ]} Para problemas probabilísticos, la ecuación de dispersión puede aparecer como una ecuación de tipo Kolmogorov .

Electromagnetismo

El producto estrella de Redheffer se puede utilizar para resolver la propagación de campos electromagnéticos en medios estratificados y multicapa. ^{[ 9 ]} Cada capa en la estructura tiene su propia matriz de dispersión y la matriz de dispersión total de la estructura se puede describir como el producto estrella entre todas las capas. ^{[ 10 ]} Un programa de software libre que simula el electromagnetismo en medios estratificados es el Stanford Stratified Structure Solver .

Interfaces de semiconductores

Los modelos cinéticos de interfaces semiconductoras consecutivas pueden utilizar una formulación de matriz de dispersión para modelar el movimiento de electrones entre los semiconductores. ^{[ 11 ]}

Factorización en grafos

En el análisis de operadores de Schrödinger en grafos, la matriz de dispersión de un grafo se puede obtener como un producto estrella generalizado de las matrices de dispersión correspondientes a sus subgrafos. ^{[ 12 ]}

Referencias

1 2 3 Redheffer, Raymond (1959). "Desigualdades para una ecuación de Riccati matricial" . Journal of Mathematics and Mechanics . 8 (3): 349– 367. ISSN 0095-9057 . JSTOR 24900576 .
1 2 3 4 5 Redheffer, RM (1960). "Sobre una cierta transformación fraccionaria lineal" . Journal of Mathematics and Physics . 39 ( 1–4 ): 269–286 . doi : 10.1002/sapm1960391269 . ISSN 1467-9590 .
1 2 Mistiri, F. (1986-01-01). "El producto estrella y sus propiedades algebraicas" . Journal of the Franklin Institute . 321 (1): 21– 38. Bibcode : 1986FrInJ.321...21M . doi : 10.1016/0016-0032(86)90053-0 . ISSN 0016-0032 .
↑ Liu, Victor. "Sobre matrices de dispersión y el producto estrella de Redheffer" (PDF) . Consultado el 26 de junio de 2021 .
1 2 3 Rumpf, Raymond C. (2011). "Formulación mejorada de matrices de dispersión para métodos semianalíticos que es consistente con la convención" . Progress in Electromagnetics Research B. 35 : 241–261 . doi : 10.2528 /PIERB11083107 . ISSN 1937-6472 .
1 2 Redheffer, Raymond (1962). "Sobre la relación de la teoría de líneas de transmisión con la dispersión y la transferencia" . Journal of Mathematics and Physics . 41 ( 1– 4): 1– 41. doi : 10.1002/sapm19624111 . ISSN 1467-9590 .
1 2 Redheffer, Raymond (1960). "Nota complementaria sobre ecuaciones de Riccati matriciales" . Journal of Mathematics and Mechanics . 9 (5): 745–7f48. ISSN 0095-9057 . JSTOR 24900784 .
↑ Redheffer, Raymond M. (1960). "El problema de difusión de Mycielski-Paszkowski" . Journal of Mathematics and Mechanics . 9 (4): 607– 621. ISSN 0095-9057 . JSTOR 24900958 .
↑ Ko, DYK; Sambles, JR (1988-11-01). "Método de matriz de dispersión para la propagación de radiación en medios estratificados: estudios de reflexión total atenuada de cristales líquidos" . JOSA A. 5 ( 11): 1863– 1866. Bibcode : 1988JOSAA...5.1863K . doi : 10.1364/JOSAA.5.001863 . ISSN 1520-8532 .
↑ Whittaker, DM; Culshaw, IS (1999-07-15). "Tratamiento de matriz de dispersión de estructuras fotónicas multicapa con patrones" . Physical Review B. 60 ( 4): 2610– 2618. Bibcode : 1999PhRvB..60.2610W . doi : 10.1103/PhysRevB.60.2610 .
↑ Gosse, Laurent (2014-01-01). "Productos de Redheffer y aproximación numérica de corrientes en modelos cinéticos de semiconductores unidimensionales" . Multiscale Modeling & Simulation . 12 (4): 1533– 1560. doi : 10.1137/130939584 . ISSN 1540-3459 .
↑ Kostrykin, V.; Schrader, R. (2001-03-22). "El producto estrella generalizado y la factorización de matrices de dispersión en grafos" . Journal of Mathematical Physics . 42 (4): 1563– 1598. arXiv : math-ph/0008022 . Bibcode : 2001JMP....42.1563K . doi : 10.1063/1.1354641 . ISSN 0022-2488 . S2CID 6791638 .

[Redheffer59-1] 1 2 3 Redheffer, Raymond (1959). "Desigualdades para una ecuación de Riccati matricial" . Journal of Mathematics and Mechanics . 8 (3): 349– 367. ISSN 0095-9057 . JSTOR 24900576 .

[Redheffer60transform-2] 1 2 3 4 5 Redheffer, RM (1960). "Sobre una cierta transformación fraccionaria lineal" . Journal of Mathematics and Physics . 39 ( 1–4 ): 269–286 . doi : 10.1002/sapm1960391269 . ISSN 1467-9590 .

[Mistiri86-3] 1 2 Mistiri, F. (1986-01-01). "El producto estrella y sus propiedades algebraicas" . Journal of the Franklin Institute . 321 (1): 21– 38. Bibcode : 1986FrInJ.321...21M . doi : 10.1016/0016-0032(86)90053-0 . ISSN 0016-0032 .

[4] Liu, Victor. "Sobre matrices de dispersión y el producto estrella de Redheffer" (PDF) . Consultado el 26 de junio de 2021 .

[Rumpf11-5] 1 2 3 Rumpf, Raymond C. (2011). "Formulación mejorada de matrices de dispersión para métodos semianalíticos que es consistente con la convención" . Progress in Electromagnetics Research B. 35 : 241–261 . doi : 10.2528 /PIERB11083107 . ISSN 1937-6472 .

[Redheffer62-6] 1 2 Redheffer, Raymond (1962). "Sobre la relación de la teoría de líneas de transmisión con la dispersión y la transferencia" . Journal of Mathematics and Physics . 41 ( 1– 4): 1– 41. doi : 10.1002/sapm19624111 . ISSN 1467-9590 .

[Redheffer60supp-7] 1 2 Redheffer, Raymond (1960). "Nota complementaria sobre ecuaciones de Riccati matriciales" . Journal of Mathematics and Mechanics . 9 (5): 745–7f48. ISSN 0095-9057 . JSTOR 24900784 .

[Redheffer60diffusion-8] Redheffer, Raymond M. (1960). "El problema de difusión de Mycielski-Paszkowski" . Journal of Mathematics and Mechanics . 9 (4): 607– 621. ISSN 0095-9057 . JSTOR 24900958 .

[Ko88-9] Ko, DYK; Sambles, JR (1988-11-01). "Método de matriz de dispersión para la propagación de radiación en medios estratificados: estudios de reflexión total atenuada de cristales líquidos" . JOSA A. 5 ( 11): 1863– 1866. Bibcode : 1988JOSAA...5.1863K . doi : 10.1364/JOSAA.5.001863 . ISSN 1520-8532 .

[Whittaker99-10] Whittaker, DM; Culshaw, IS (1999-07-15). "Tratamiento de matriz de dispersión de estructuras fotónicas multicapa con patrones" . Physical Review B. 60 ( 4): 2610– 2618. Bibcode : 1999PhRvB..60.2610W . doi : 10.1103/PhysRevB.60.2610 .

[Gosse14-11] Gosse, Laurent (2014-01-01). "Productos de Redheffer y aproximación numérica de corrientes en modelos cinéticos de semiconductores unidimensionales" . Multiscale Modeling & Simulation . 12 (4): 1533– 1560. doi : 10.1137/130939584 . ISSN 1540-3459 .

[Kostrykin01-12] Kostrykin, V.; Schrader, R. (2001-03-22). "El producto estrella generalizado y la factorización de matrices de dispersión en grafos" . Journal of Mathematical Physics . 42 (4): 1563– 1598. arXiv : math-ph/0008022 . Bibcode : 2001JMP....42.1563K . doi : 10.1063/1.1354641 . ISSN 0022-2488 . S2CID 6791638 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]