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Glosario de geometría aritmética y diofántica

Este es un glosario de aritmética y geometría diofántica en matemáticas , áreas que surgieron del estudio tradicional de las ecuaciones diofánticas y que abarcan gran parte de l...

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Este es un glosario de aritmética y geometría diofántica en matemáticas , áreas que surgieron del estudio tradicional de las ecuaciones diofánticas y que abarcan gran parte de la teoría de números y la geometría algebraica . Gran parte de la teoría se presenta en forma de conjeturas propuestas , que pueden relacionarse en diversos niveles de generalidad.

La geometría diofántica, en general, es el estudio de variedades algebraicas V sobre cuerpos K que son finitamente generadas sobre sus cuerpos primos —incluidos, de especial interés, los cuerpos numéricos y los cuerpos finitos— y sobre cuerpos locales . De estos, solo los números complejos son algebraicamente cerrados ; sobre cualquier otro K , la existencia de puntos de V con coordenadas en K es algo que debe demostrarse y estudiarse como un tema adicional, incluso conociendo la geometría de V.

La geometría aritmética puede definirse de forma más general como el estudio de esquemas de tipo finito sobre el espectro del anillo de los enteros . [ 1 ] La geometría aritmética también se ha definido como la aplicación de las técnicas de la geometría algebraica a problemas de la teoría de números . [ 2 ]

Véase también el glosario de términos de teoría de números en Glosario de teoría de números .

A

conjetura abc
La conjetura abc de Masser y Oesterlé intenta afirmar lo máximo posible sobre los factores primos repetidos en una ecuación a + b = c . Por ejemplo, 3 + 125 = 128, pero las potencias primas en este caso son excepcionales.
grupo de clase Arakelov
El grupo de clases de Arakelov es el análogo del grupo de clases de ideales o grupo de clases de divisores para los divisores de Arakelov . [ 3 ]
divisor de Arakelov
Un divisor de Arakelov (o divisor completo [ 4 ] ) en un cuerpo global es una extensión del concepto de divisor o ideal fraccionario . Es una combinación lineal formal de lugares del cuerpo, donde los lugares finitos tienen coeficientes enteros y los lugares infinitos tienen coeficientes reales. [ 3 ] [ 5 ] [ 6 ]
Altura de Arakelov
La altura de Arakelov en un espacio proyectivo sobre el cuerpo de los números algebraicos es una función de altura global con contribuciones locales provenientes de las métricas de Fubini-Study en los cuerpos arquimedianos y la métrica usual en los cuerpos no arquimedianos . [ 7 ] [ 8 ]
teoría de Arakelov
La teoría de Arakelov es un enfoque de la geometría aritmética que incluye explícitamente los "números primos infinitos".
Aritmética de variedades abelianas
Véase el artículo principal sobre aritmética de variedades abelianas.
Funciones L de Artin
Las funciones L de Artin se definen para representaciones de Galois bastante generales . La introducción de la cohomología étale en la década de 1960 significó que las funciones L de Hasse-Weil pudieran considerarse funciones L de Artin para las representaciones de Galois en grupos de cohomología l-ádica .

B

Reducción deficiente
Vea una buena reducción .
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer sobre curvas elípticas postula una conexión entre el rango de una curva elíptica y el orden del polo de su función L de Hasse-Weil. Ha sido un hito importante en la geometría diofántica desde mediados de la década de 1960, con resultados como el teorema de Coates-Wiles , el teorema de Gross-Zagier y el teorema de Kolyvagin . [ 9 ]

do

Altura canónica
La altura canónica en una variedad abeliana es una función de altura que es una forma cuadrática distinguida . Véase altura de Néron-Tate .
El método de Chabauty
El método de Chabauty , basado en funciones analíticas p -ádicas, es una aplicación particular, pero capaz de demostrar casos de la conjetura de Mordell para curvas cuyo rango jacobiano es menor que su dimensión. Desarrolló ideas a partir del método de Thoralf Skolem para un toro algebraico . (Otros métodos más antiguos para problemas diofánticos incluyen el método de Runge ).
Teorema de Coates-Wiles
El teorema de Coates-Wiles establece que una curva elíptica con multiplicación compleja por un cuerpo cuadrático imaginario de clase 1 y rango positivo tiene una función L con un cero en s  =  1. Este es un caso especial de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer . [ 10 ]
Cohomología cristalina
La cohomología cristalina es una teoría de cohomología p-ádica en característica p , introducida por Alexander Grothendieck para llenar el vacío dejado por la cohomología étale, que resulta deficiente al utilizar coeficientes módulo p en este caso. Es una de las diversas teorías que derivan de alguna manera del método de Dwork y tiene aplicaciones más allá de cuestiones puramente aritméticas.

D

Formas diagonales
Las formas diagonales son algunas de las variedades proyectivas más sencillas de estudiar desde un punto de vista aritmético (incluidas las variedades de Fermat ). Sus funciones zeta locales se calculan en términos de sumas de Jacobi . El problema de Waring es el caso más clásico.
Dimensión diofántica
La dimensión diofántica de un cuerpo es el número natural más pequeño k , si existe, tal que el cuerpo es de clase C k : es decir, tal que cualquier polinomio homogéneo de grado d en N variables tiene un cero no trivial siempre que N > d k . Los cuerpos algebraicamente cerrados tienen dimensión diofántica 0; los cuerpos cuasi-algebraicamente cerrados tienen dimensión 1. [ 11 ]
Discriminante de un punto
El discriminante de un punto se refiere a dos conceptos relacionados con un punto P en una variedad algebraica V definida sobre un cuerpo numérico K : el discriminante geométrico (logarítmico) [ 12 ] d ( P ) y el discriminante aritmético , definido por Vojta. [ 13 ] La diferencia entre ambos puede compararse con la diferencia entre el género aritmético de una curva singular y el género geométrico de la desingularización . [ 13 ] El género aritmético es mayor que el género geométrico, y la altura de un punto puede acotarse en términos del género aritmético. Obtener cotas similares que involucren el género geométrico tendría consecuencias significativas. [ 13 ]
El método de Dwork
Bernard Dwork empleó métodos distintivos de análisis p-ádico , ecuaciones diferenciales algebraicas p-ádicas , complejos de Koszul y otras técnicas que no se han incorporado por completo a teorías generales como la cohomología cristalina . Fue el primero en demostrar la racionalidad de las funciones zeta locales, lo que supuso un avance inicial en la dirección de las conjeturas de Weil .

mi

cohomología étale
La búsqueda de una cohomología de Weil (qv) se cumplió al menos parcialmente en la teoría de cohomología étale de Alexander Grothendieck y Michael Artin . Proporcionó una demostración de la ecuación funcional para las funciones zeta locales y fue fundamental en la formulación de la conjetura de Tate (qv) y numerosas otras teorías.

F

Altura de Faltings
La altura de Faltings de una curva elíptica o variedad abeliana definida sobre un cuerpo numérico es una medida de su complejidad introducida por Faltings en su demostración de la conjetura de Mordell . [ 14 ] [ 15 ]
El último teorema de Fermat
El último teorema de Fermat , la conjetura más célebre de la geometría diofántica, fue demostrado por Andrew Wiles y Richard Taylor .
cohomología plana
La cohomología plana es, para la escuela de Grothendieck, un punto final de desarrollo. Tiene la desventaja de ser bastante difícil de calcular. La razón por la que la topología plana se ha considerado el topos fundacional "correcto" para la teoría de esquemas se remonta al hecho del descenso fielmente plano , al descubrimiento de Grothendieck de que los functores representables son haces para ella (es decir, se cumple un axioma de pegado muy general ).
analogía de campo de función
En el siglo XIX se comprendió que el anillo de enteros de un cuerpo numérico guarda analogías con el anillo de coordenadas afines de una curva algebraica o superficie de Riemann compacta, con uno o más puntos de separación que corresponden a los «infinitos lugares» de un cuerpo numérico. Esta idea se expresa con mayor precisión en la teoría que establece que todos los cuerpos globales deben tratarse sobre la misma base. La idea va más allá. Así, las superficies elípticas sobre los números complejos también guardan analogías bastante estrictas con las curvas elípticas sobre cuerpos numéricos.

GRAMO

teoría geométrica de campos de clases
La extensión de los resultados propios de la teoría de cuerpos de clases sobre recubrimientos abelianos a variedades de dimensión al menos dos se suele denominar teoría geométrica de cuerpos de clases.
Buena reducción
Fundamental para el análisis local en problemas aritméticos es la reducción módulo todos los números primos p o, más generalmente, los ideales primos . En la situación típica, esto presenta poca dificultad para casi todos los p ; por ejemplo , los denominadores de fracciones son complicados, ya que la reducción módulo un primo en el denominador se asemeja a una división por cero , pero esto solo excluye un número finito de p por fracción. Con un poco más de sofisticación, las coordenadas homogéneas permiten eliminar los denominadores multiplicando por un escalar común. Para un punto dado, se puede hacer esto sin dejar un factor común p . Sin embargo, entra en juego la teoría de singularidades : un punto no singular puede convertirse en un punto singular al reducir módulo p , porque el espacio tangente de Zariski puede hacerse más grande cuando los términos lineales se reducen a 0 (la formulación geométrica muestra que no es culpa de un solo conjunto de coordenadas). Una buena reducción se refiere a que la variedad reducida tenga las mismas propiedades que la original, por ejemplo, una curva algebraica con el mismo género , o una variedad suave que permanece suave. En general, habrá un conjunto finito S de primos para una variedad V dada , supuesta suave, tal que existe, de otro modo, una V p reducida suave sobre Z / p Z . Para variedades abelianas , la buena reducción está relacionada con la ramificación en el campo de puntos de división por el criterio de Néron-Ogg-Shafarevich . La teoría es sutil, en el sentido de que la libertad de cambiar variables para intentar mejorar las cosas es bastante poco obvia: véase el modelo de Néron , la buena reducción potencial , la curva de Tate , la variedad abeliana semiestable , la curva elíptica semiestable , el teorema de Serre-Tate . [ 16 ]
Conjetura de Grothendieck-Katz
La conjetura de curvatura p de Grothendieck-Katz aplica la reducción módulo primos a ecuaciones diferenciales algebraicas para obtener información sobre soluciones de funciones algebraicas . El resultado inicial de este tipo fue el teorema de Eisenstein .

H

Principio de Hasse
El principio de Hasse establece que la solubilidad en un campo global es la misma que la solubilidad en todos los campos locales relevantes . Uno de los principales objetivos de la geometría diofántica es clasificar los casos en los que se cumple el principio de Hasse. Generalmente, esto ocurre con un gran número de variables, cuando el grado de una ecuación se mantiene fijo. El principio de Hasse suele asociarse con el éxito del método del círculo de Hardy-Littlewood . Cuando este método funciona, puede proporcionar información cuantitativa adicional, como el número asintótico de soluciones. Reducir el número de variables dificulta el método del círculo; por lo tanto, los fallos del principio de Hasse, por ejemplo, para formas cúbicas con un número reducido de variables (y en particular para curvas elípticas como curvas cúbicas ), están relacionados, en general, con las limitaciones del enfoque analítico.
Función L de Hasse-Weil
Una función L de Hasse-Weil , a veces llamada función L global , es un producto de Euler formado a partir de funciones zeta locales. Las propiedades de dichas funciones L siguen siendo en gran medida conjeturales, siendo la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura un hito importante. La filosofía de Langlands complementa en gran medida la teoría de las funciones L globales.
Función de altura
Una función de altura en geometría diofántica cuantifica el tamaño de las soluciones de ecuaciones diofánticas. [ 17 ]
campos hilbertianos
Un cuerpo hilbertiano K es aquel para el cual los espacios proyectivos sobre K no son conjuntos delgados en el sentido de Jean-Pierre Serre . Esta es una interpretación geométrica del teorema de irreducibilidad de Hilbert , que demuestra que los números racionales son hilbertianos. Los resultados se aplican al problema inverso de Galois . Los conjuntos delgados (en francés, mince ) son, en cierto sentido, análogos a los conjuntos escasos (en francés, maigre ) del teorema de la categoría de Baire .

I

Función zeta de Igusa
Una función zeta de Igusa , llamada así en honor a Jun-ichi Igusa , es una función generadora que cuenta el número de puntos en una variedad algebraica módulo altas potencias p n de un número primo fijo p . Actualmente se conocen teoremas generales de racionalidad , basados ​​en métodos de lógica matemática . [ 18 ]
Descenso infinito
El descenso infinito fue el método clásico de Pierre de Fermat para las ecuaciones diofánticas. Se convirtió en una de las dos partes de la demostración estándar del teorema de Mordell-Weil, siendo la otra un argumento con funciones de altura (véase). El descenso es similar a la división por dos en un grupo de espacios homogéneos principales (a menudo denominados «descensos» cuando se expresan mediante ecuaciones); en términos más modernos, en un grupo de cohomología de Galois cuya finitud debe demostrarse. Véase grupo de Selmer .
Teoría de Iwasawa
La teoría de Iwasawa se construye a partir de la teoría analítica de números y el teorema de Stickelberger como una teoría de grupos de clases ideales como módulos de Galois y funciones L p-ádicas (con raíces en la congruencia de Kummer en los números de Bernoulli ). En sus inicios, a finales de la década de 1960, se la denominó el análogo de Iwasawa del jacobiano . La analogía se establecía con la variedad jacobiana J de una curva C sobre un cuerpo finito F ( como variedad de Picard), donde al cuerpo finito se le suman raíces de la unidad para formar extensiones de cuerpo finito F '. La función zeta local (qv) de C se puede recuperar a partir de los puntos J ( F ' ) como módulo de Galois. De la misma manera, Iwasawa agregó p raíces de la unidad de potencia n para un p fijo y con n → ∞, para su análogo, a un cuerpo numérico K , y consideró el límite inverso de los grupos de clases, encontrando una función L p- ádica introducida anteriormente por Kubota y Leopoldt.

K

Teoría K
La teoría K algebraica es, por un lado, una teoría bastante general con tintes de álgebra abstracta y, por otro, implicada en algunas formulaciones de conjeturas aritméticas. Véanse, por ejemplo, la conjetura de Birch-Tate y la conjetura de Lichtenbaum .

L

Conjetura de Lang
Enrico Bombieri (dimensión 2), Serge Lang y Paul Vojta (caso de puntos enteros) y Piotr Blass conjeturaron que las variedades algebraicas de tipo general no tienen subconjuntos densos de Zariski de puntos K -racionales, donde K es un cuerpo finitamente generado. Este círculo de ideas incluye la comprensión de la hiperbolicidad analítica y las conjeturas de Lang al respecto, así como las conjeturas de Vojta. Una variedad algebraica analíticamente hiperbólica V sobre los números complejos es aquella que no tiene ninguna aplicación holomorfa del plano complejo completo a ella, es decir, que no sea constante. Ejemplos de ello son las superficies de Riemann compactas de género g > 1. Lang conjeturó que V es analíticamente hiperbólica si y solo si todas sus subvariedades son de tipo general. [ 19 ]
toro lineal
Un toro lineal es un subgrupo cerrado de Zariski geométricamente irreducible de un toro afín (producto de grupos multiplicativos). [ 20 ]
Función zeta local
Una función zeta local es una función generadora para el número de puntos en una variedad algebraica V sobre un cuerpo finito F , sobre las extensiones de cuerpo finito de F. Según las conjeturas de Weil (qv), estas funciones, para variedades no singulares , exhiben propiedades muy análogas a la función zeta de Riemann , incluida la hipótesis de Riemann .

METRO

Conjetura de Manin-Mumford
La conjetura de Manin-Mumford , ahora demostrada por Michel Raynaud , afirma que una curva C en su variedad jacobiana J solo puede contener un número finito de puntos que son de orden finito en J , a menos que C = J. [ 21 ] [ 22 ]
Conjetura de Mordell
La conjetura de Mordell, ahora conocida como el teorema de Faltings , establece que una curva de género al menos dos tiene un número finito de puntos racionales. La conjetura de uniformidad afirma que debe existir una cota uniforme para el número de dichos puntos, que depende únicamente del género y del campo de definición.
Conjetura de Mordell-Lang
La conjetura de Mordell-Lang, ahora demostrada por McQuillan siguiendo el trabajo de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta y Faltings , es una conjetura de Lang que unifica la conjetura de Mordell y la conjetura de Manin-Mumford en una variedad abeliana o semiabeliana . [ 23 ] [ 24 ]
Teorema de Mordell-Weil
El teorema de Mordell-Weil es un resultado fundamental que establece que, para una variedad abeliana A sobre un cuerpo numérico K, el grupo A ( K ) es un grupo abeliano finitamente generado . Inicialmente se demostró para cuerpos numéricos K , pero se extiende a todos los cuerpos finitamente generados.
Variedad mordélica
Una variedad mordélica es una variedad algebraica que tiene solo un número finito de puntos en cualquier cuerpo finitamente generado. [ 25 ]

norte

Altura ingenua
La altura ingenua o clásica de un vector de números racionales es el valor absoluto máximo del vector de enteros coprimos obtenido al multiplicar por un mínimo común denominador . Esto puede usarse para definir la altura en un punto del espacio proyectivo sobre Q , o de un polinomio, considerado como un vector de coeficientes, o de un número algebraico, a partir de la altura de su polinomio mínimo. [ 26 ]
Símbolo de Nerón
El símbolo de Néron es un emparejamiento bimultiplicativo entre divisores y ciclos algebraicos en una variedad abeliana , utilizado en la formulación de Néron de la altura de Néron-Tate como una suma de contribuciones locales. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] El símbolo global de Néron, que es la suma de los símbolos locales, es simplemente el negativo del emparejamiento de altura. [ 30 ]
Altura de Nerón-Tate
La altura de Néron-Tate (también conocida como altura canónica ) en una variedad abeliana A es una función de altura (qv) esencialmente intrínseca y de forma cuadrática exacta , en lugar de aproximadamente cuadrática con respecto a la suma en A , como lo proporciona la teoría general de alturas. Puede definirse a partir de una altura general mediante un proceso límite; también existen fórmulas, en el sentido de que es una suma de contribuciones locales. [ 30 ]
Invariante de Nevanlinna
El invariante de Nevanlinna de un divisor amplio D en una variedad proyectiva normal X es un número real que describe la tasa de crecimiento del número de puntos racionales en la variedad con respecto a la incrustación definida por el divisor. [ 31 ] Tiene propiedades formales similares a la abscisa de convergencia de la función zeta de altura y se conjetura que son esencialmente lo mismo. [ 32 ]

O

Reducción ordinaria
Una variedad abeliana A de dimensión d tiene reducción ordinaria en un primo p si tiene buena reducción en p y además la p -torsión tiene rango d . [ 33 ]

Q

Cierre cuasi-algebraico
El tema del cierre cuasi-algebraico , es decir, la solubilidad garantizada por un número de variables polinomial en el grado de una ecuación, surgió de los estudios del grupo de Brauer y del teorema de Chevalley-Warning . Se estancó ante los contraejemplos ; pero véase el teorema de Ax-Kochen de la lógica matemática .

R

Reducción módulo un número primo o ideal
Vea una buena reducción .
Ideal completo
Un ideal completo en un cuerpo numérico K es un producto formal de un ideal fraccionario de K y un vector de números reales positivos con componentes indexadas por los infinitos lugares de K. [ 34 ] Un divisor completo es un divisor de Arakelov . [ 4 ]

S

Conjetura de Sato-Tate
La conjetura de Sato-Tate describe la distribución de elementos de Frobenius en los módulos de Tate de las curvas elípticas sobre cuerpos finitos, obtenidas al reducir una curva elíptica dada sobre los racionales. Mikio Sato y, de forma independiente, John Tate [ 35 ] la propusieron alrededor de 1960. Es un prototipo para las representaciones de Galois en general.
El método de Skolem
Véase el método de Chabauty .
Conjunto especial
El conjunto especial en una variedad algebraica es el subconjunto en el que se esperaría encontrar muchos puntos racionales. La definición precisa varía según el contexto. Una definición es el cierre de Zariski de la unión de imágenes de grupos algebraicos bajo aplicaciones racionales no triviales; alternativamente, se pueden tomar imágenes de variedades abelianas; [ 36 ] otra definición es la unión de todas las subvariedades que no son de tipo general. [ 19 ] Para variedades abelianas, la definición sería la unión de todas las traslaciones de subvariedades abelianas propias. [ 37 ] Para una variedad compleja, el conjunto especial holomorfo es el cierre de Zariski de las imágenes de todas las aplicaciones holomorfas no constantes de C . Lang conjeturó que los conjuntos especiales analítico y algebraico son iguales. [ 38 ]
Teorema del subespacio
El teorema del subespacio de Schmidt demuestra que los puntos de poca altura en el espacio proyectivo se encuentran en un número finito de hiperplanos. Schmidt también obtuvo una forma cuantitativa del teorema, en la que se calcula el número de subespacios que contienen todas las soluciones, y Schlickewei (1977) lo generalizó para permitir valores absolutos más generales en cuerpos numéricos . El teorema puede utilizarse para obtener resultados sobre ecuaciones diofánticas, como el teorema de Siegel sobre puntos enteros y la solución de la ecuación de la unidad S. [ 39 ]

T

Números de Tamagawa
La definición directa del número de Tamagawa funciona bien únicamente para grupos algebraicos lineales . En este ámbito, se demostró finalmente la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa . Para variedades abelianas, y en particular para la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer (véase), el enfoque del número de Tamagawa para un principio local-global fracasa en un intento directo, aunque ha tenido valor heurístico durante muchos años. Actualmente, una conjetura sofisticada sobre el número de Tamagawa equivariante constituye un importante problema de investigación.
Conjetura de Tate
La conjetura de Tate ( John Tate , 1963) proporcionó un análogo a la conjetura de Hodge , también sobre ciclos algebraicos , pero dentro del ámbito de la geometría aritmética. Asimismo, ofreció, para superficies elípticas , un análogo de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer (véase), lo que condujo rápidamente a una clarificación de esta última y al reconocimiento de su importancia.
Curva de Tate
La curva de Tate es una curva elíptica particular sobre los números p-ádicos introducida por John Tate para estudiar la mala reducción (véase buena reducción ).
Rango Tsen
El rango de Tsen de un cuerpo, llamado así por C. C. Tsen, quien introdujo su estudio en 1936, [ 40 ] es el número natural más pequeño i , si existe, tal que el cuerpo es de clase T i : es decir, tal que cualquier sistema de polinomios sin término constante de grado d j en n variables tiene un cero no trivial siempre que n > Σ d j i . Los cuerpos algebraicamente cerrados son de rango de Tsen cero. El rango de Tsen es mayor o igual que la dimensión diofántica, pero se desconoce si son iguales excepto en el caso de rango cero. [ 41 ]

U

Conjetura de uniformidad
La conjetura de uniformidad afirma que para cualquier cuerpo numérico K y g > 2, existe una cota uniforme B ( g , K ) para el número de puntos K -racionales en cualquier curva de género g . La conjetura se derivaría de la conjetura de Bombieri-Lang . [ 42 ]
Intersección improbable
Una intersección improbable es un subgrupo algebraico que interseca una subvariedad de un toro o variedad abeliana en un conjunto de dimensión inusualmente grande, como la que está involucrada en la conjetura de Mordell-Lang . [ 43 ]

V

Conjetura de Vojta
La conjetura de Vojta es un conjunto de conjeturas de Paul Vojta , que establecen analogías entre la aproximación diofántica y la teoría de Nevanlinna .

W

Pesos
El yoga de pesos es una formulación de Alexander Grothendieck de analogías entre la teoría de Hodge y la cohomología l-ádica . [ 44 ]
Cohomología de Weil
La idea inicial, posteriormente modificada, para demostrar las conjeturas de Weil (véase), consistía en construir una teoría de cohomología aplicada a variedades algebraicas sobre cuerpos finitos que fuera tan eficaz como la homología singular para detectar la estructura topológica, y que tuviera aplicaciones de Frobenius que actuaran de tal manera que el teorema del punto fijo de Lefschetz pudiera aplicarse al conteo en funciones zeta locales . Para más información histórica, véase motivo (geometría algebraica) , cohomología motivacional .
Conjeturas de Weil
Las conjeturas de Weil fueron tres conjeturas de gran influencia de André Weil , publicadas alrededor de 1949, sobre funciones zeta locales. La demostración se completó en 1973. Una vez demostradas, aún quedan extensiones de la congruencia del teorema de Chevalley-Warning , que proviene de un método elemental, y mejoras de las cotas de Weil , por ejemplo, mejores estimaciones para curvas del número de puntos que las que se obtienen con el teorema básico de Weil de 1940. Estas últimas resultan de interés para los códigos de geometría algebraica .
Distribuciones de Weil en variedades algebraicas
En las décadas de 1920 y 1930, André Weil propuso una teoría sobre la descomposición en ideales primos de números algebraicos en coordenadas de puntos sobre variedades algebraicas. Sin embargo, esta teoría ha permanecido algo subdesarrollada.
Función de Weil
Una función de Weil en una variedad algebraica es una función de valor real definida a partir de algún divisor de Cartier que generaliza el concepto de función de Green en la teoría de Arakelov . [ 45 ] Se utilizan en la construcción de las componentes locales de la altura de Néron-Tate . [ 46 ]
Máquina de medición de altura Weil
La máquina de alturas de Weil es un procedimiento eficaz para asignar una función de altura a cualquier divisor en una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo numérico (o a divisores de Cartier en variedades no lisas). [ 47 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Geometría aritmética en el Laboratorio n
  2. ↑ Sutherland, Andrew V. (5 de septiembre de 2013). "Introducción a la geometría aritmética" (PDF) . Consultado el 22 de marzo de 2019 .
  3. 1 2 Schoof, René (2008). "Cálculo de grupos de clases de Arakelov". En Buhler, JP; P., Stevenhagen (eds.). Teoría algorítmica de números: retículos, campos numéricos, curvas y criptografía . Publicaciones MSRI. Vol. 44. Cambridge University Press . págs. 447–495 . ISBN   978-0-521-20833-8. SEÑOR 2467554 . Zbl 1188.11076 .  
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  8. ↑ Lang (1988) págs. 156–157
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  10. ↑ Coates, J. ; Wiles, A. (1977). "Sobre la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer". Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223– 251. Bibcode : 1977InMat..39..223C . doi : 10.1007/BF01402975 . S2CID 189832636 . Zbl 0359.14009 .  
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  12. ↑ Lang (1997) pág. 146
  13. 1 2 3 Lang (1997) pág. 171
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  15. ↑ Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Geometría aritmética . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-96311-1.→ Contiene una traducción al inglés de Faltings (1983)
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Lecturas adicionales

  • Dino Lorenzini (1996), Una invitación a la geometría aritmética , Librería AMS, ISBN 978-0-8218-0267-0