Geometría de Klein

En matemáticas , una geometría de Klein es un tipo de geometría propuesta por Felix Klein en su influyente programa de Erlangen . Más específicamente, se trata de un espacio homogéneo X junto con una acción transitiva sobre X ejercida por un grupo de Lie G , que actúa como grupo de simetría de la geometría.

Para obtener información general y conocer la motivación, consulte el artículo sobre el programa de Erlangen .

Definición formal

Una geometría de Klein es un par ( G , H ) donde G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie cerrado de G tal que el espacio de clases laterales (izquierdas) G / H es conexo . El grupo G se llama grupo principal de la geometría y G / H se llama espacio de la geometría (o, por un abuso de terminología, simplemente geometría de Klein ). El espacio X = G / H de una geometría de Klein es una variedad diferenciable de dimensión

dim X = dim G − dim H .

Existe una acción suave natural hacia la izquierda de G sobre X dada por

g\cdot (aH)=(ga)H.

Claramente, esta acción es transitiva (tomemos a = 1 ), por lo que se puede considerar a X como un espacio homogéneo para la acción de G. El estabilizador de la clase lateral identidad H ∈ X es precisamente el grupo H.

Dada cualquier variedad lisa conexa X y una acción transitiva lisa de un grupo de Lie _Gsobre X , podemos construir una geometría de Klein asociada ( G , H ) fijando un punto base x₀ en X y haciendo que H sea el subgrupo estabilizador de x₀ _enG. El grupo H es necesariamente un subgrupo cerrado de G y X es naturalmente difeomorfo a G / H .

Dos geometrías de Klein ( G ₁ , H ₁ ) y ( G ₂ , H ₂ ) son geométricamente isomorfas si existe un isomorfismo de grupos de Lie φ : G ₁ → G ₂ tal que φ ( H ₁ ) = H ₂ . En particular, si φ es la conjugación por un elemento g ∈ G , vemos que ( G , H ) y ( G , gHg ⁻¹ ) son isomorfas. La geometría de Klein asociada a un espacio homogéneo X es entonces única salvo isomorfismo (es decir, es independiente del punto base elegido x ₀ ).

Descripción del paquete

Dado un grupo de Lie G y un subgrupo cerrado H , existe una acción derecha natural de H sobre G dada por la multiplicación derecha. Esta acción es libre y propia . Las órbitas son simplemente las clases laterales izquierdas de H en G. Se concluye que G tiene la estructura de un fibrado principal liso de H sobre el espacio de clases laterales izquierdas G / H :

H\to G\to G/H.

Tipos de geometrías de Klein

Geometrías efectivas

La acción de G sobre X = G / H no tiene por qué ser efectiva. El núcleo de una geometría de Klein se define como el núcleo de la acción de G sobre X. Está dado por

K=\{k\in G:g^{-1}kg\in H\;\;\forall g\in G\}.

El núcleo K también puede describirse como el núcleo de H en G (es decir , el subgrupo más grande de H que es normal en G ). Es el grupo generado por todos los subgrupos normales de G que se encuentran en H.

Se dice que una geometría de Klein es efectiva si K = 1 y localmente efectiva si K es discreto . Si ( G , H ) es una geometría de Klein con núcleo K , entonces ( G / K , H / K ) es una geometría de Klein efectiva asociada canónicamente a ( G , H ) .

Geometrías orientadas geométricamente

Una geometría de Klein ( G , H ) está geométricamente orientada si G es conexa . (Esto no implica que G / H sea una variedad orientada ). Si H es conexa, se deduce que G también lo es (esto se debe a que se supone que G / H es conexa, y G → G / H es una fibración ).

Dada cualquier geometría de Klein ( G , H ) , existe una geometría orientada geométricamente asociada canónicamente a ( G , H ) con el mismo espacio base G / H . Esta es la geometría ( G₀ _,G₀ _∩H ) donde G₀ es la componente identidad _deG. Nótese que G = G₀H _.

Geometrías reductivas

Se dice que una geometría de Klein ( G , H ) es reductiva y G / H un espacio homogéneo reductivo si el álgebra de Lie ${\mathfrak {h}}$ de H tiene un complemento H -invariante en ${\mathfrak {g}}$ .

Ejemplos

En la siguiente tabla se describe las geometrías clásicas, modeladas como geometrías de Klein.

Referencias

RW Sharpe (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.